【正文】 滿足1個(gè)這個(gè)條件沒有，所以我們必須使其滿足，最好的方法 就是用14塊奶糖來分，至少每人1塊，當(dāng)每個(gè)人都分得1塊之后，剩下的10塊就可以隨便分了，就回歸到了原題）（3）、10塊奶糖放到編號(hào)為1，2，3的3個(gè)盒子里，每個(gè)盒子的糖數(shù)量不少于其編號(hào)數(shù)，則有幾種方法？（定制插板法： 已然是最后一個(gè)條件不滿足，我們?cè)撛趺刺幚砟兀瑧?yīng)該學(xué)會(huì)先去安排 使得每個(gè)盒子都差1個(gè)，這樣就保證每個(gè)盒子必須分得1個(gè)，從這個(gè)思路出發(fā)，跟第二個(gè)例題是姊妹題思路是一樣的 對(duì)照條件 想辦法使其和條件吻合?。?）、8塊奶糖和另外3個(gè)不同品牌的水果糖要放到編號(hào)為1～11的盒子里面，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，有多少種方法？（多次插空法 這里不多講，見我排列組合基礎(chǔ)講義）遞歸法（枚舉法）公考也有這樣的類型，排錯(cuò)信封問題，還有一些郵票問題歸納法：例如：5封信一一對(duì)應(yīng)5個(gè)信封，其中有3個(gè)封信裝錯(cuò)信封的情況有多少種？枚舉法：例如：10張相同的郵票 分別裝到4個(gè)相同的信封里面，每個(gè)信封至少1張郵票，有多少種方法？ 枚舉： 1，1，1，7 1，1，2，6 1，1，3，5 1，1，4，4 1，2，2，5 1，2，3，4 1，3，3，3 2，2，2，4 2，2，3，3 9種方法！五、疑難問題如何驗(yàn)證重復(fù)問題關(guān)于位置與元素的相同問題，例如： 6個(gè)人平均分配給3個(gè)不同的班級(jí)，跟 6個(gè)學(xué)生平分成3組的區(qū)別關(guān)于排列組合里面，充分運(yùn)用對(duì)稱原理。這樣取出的四條直線構(gòu)成一個(gè)矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有610=60個(gè)解排列組臺(tái)混合問題——采用先選后排策略對(duì)于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進(jìn)行排列的策略。例題：用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)?解含有約束條件的排列組合問題一――采用合理分類與準(zhǔn)確分步的策略 例題：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有________個(gè)。例題：7個(gè)人排座，甲坐在乙的左邊（不一定相鄰）的情況有多少種？例題：一個(gè)正方體有8個(gè)頂點(diǎn) 我們?nèi)我膺x出4個(gè)，有多少種情況是這4個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成四面體的。四、解決排列組合問題的策略逆向思維法：我們知道排列組合都是對(duì)一個(gè)元素集合進(jìn)行篩選排序。（三）這2雙可以任意取出其中每雙中的1只，保證各不成雙； 即 C（6，1）*C（5，2）*2^2=240（4）身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_______。(A)240(B)180(C)120(D)60 分析：顯然本題應(yīng)分步解決。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。第一步構(gòu)建排列組合的定義模式，如果把數(shù)學(xué)邏輯轉(zhuǎn)換的問題。所以采用了乘法原則。做一件事，需要分n個(gè)步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理．說明其每一個(gè)步驟之間都是有必然聯(lián)系的。問有幾種方法，按照分步原則，第一步：我們先對(duì)甲乙之外的5個(gè)人先排序座位，把兩端的座位空下來，A（5，5）第二步：我們?cè)倥偶滓遥珹（2，2）這樣就是 A（5，5）A（2，2）＝240如何區(qū)分兩個(gè)原理：我們知道分類原則也就是加法原則，每一個(gè)分類之間沒有聯(lián)系，都是可以單獨(dú)運(yùn)算，單獨(dú)成題的，也就是說，這一類情況的方法是獨(dú)立的，所以我們采用了加法原理。這就是分類原則。根據(jù)分類的方法?；麨榱悖纾?個(gè)人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。三、排列組合的基本理論精要部分（分類和分步）(1)、加法原理（實(shí)質(zhì)上就是一種分類原則）：一個(gè)物件，它是由若干個(gè)小塊組成的，我們要知道這個(gè)物件有多重，實(shí)際上可以分來算，比如，我們知道每一個(gè)小塊的重量，然后計(jì)算總和就等于這個(gè)物件的重量了，這就是我們要談的分類原則。（N！（M－N）?。l件：N排列：A（M，N）＝M！247。例如：1～3，我們?nèi)〕?個(gè)數(shù)字出來組成2位數(shù)，可以是先取C（3，2）后排P22，就構(gòu)成了 C（3，2）P（2，2）＝A（3，2）A和C的關(guān)系事實(shí)上通過我們上面2個(gè)對(duì)定義的分析，我們可以看出的是，A比C多了一個(gè)排序步驟，即組合是排列的一部分且是第一步驟。例如：編號(hào)1～3的盒子，我們找出2個(gè)來使用，這里就是運(yùn)用組合而不是排列，因?yàn)轭}目只是要求找出2個(gè)盒子的組合。另解：先在11個(gè)位置中排上新添的三個(gè)節(jié)目有P(11,3)種，再在余下的8個(gè)位置補(bǔ)上原有的8個(gè)節(jié)目，只有一解，所以所有方法有P3111=990種。所以最后要去除這種可能情況 所以在上述結(jié)果的情況下要247。則只有5種可能性接下來3個(gè)位置滿足P53原則＝543＝60 即總數(shù)是 605＝300（2）能組成多少個(gè)自然數(shù)？（1631）【解析】自然數(shù)是從個(gè)位數(shù)開始所有情況分情況1位數(shù)： C6取1＝62位數(shù)： C5取2P22＋C5取1P11＝25 3位數(shù)： C5取3P33＋C5取2P222＝100 4位數(shù)： C5取4P44＋C5取3P333＝3005位數(shù)： C5取5P55＋C5取4P444＝6006位數(shù)： 5P55＝5120＝600 總數(shù)是1631這里解釋一下計(jì)算方式 比如說2位數(shù)： C5取2P22＋C5取1P11＝25先從不是0的5個(gè)數(shù)字中取2個(gè)排列 即C5取2P22 還有一種情況是從不是0的5個(gè)數(shù)字中選一個(gè)和0搭配成2位數(shù) 即C5取1P11 因?yàn)?不能作為最高位 所以最高位只有1種可能（3）能組成多少個(gè)六位奇數(shù)？（288）【解析】高位不能為0 個(gè)位為奇數(shù)1，3，5 則 先考慮低位，再考慮高位 即 34P44＝1224＝288（4）能組成多少個(gè)能被25整除的四位數(shù)？（21）【解析】 能被25整除的4位數(shù)有2種可能后2位是25： 33＝9后2位是50： P42＝43＝12 共計(jì)9＋12＝21（5）能組成多少個(gè)比201345大的數(shù)？（479）【解析】從數(shù)字201345 這個(gè)6位數(shù)看 是最高位為2的最小6位數(shù) 所以我們看最高位大于等于2的6位數(shù)是多少？4P55＝4120＝480 去掉 201345這個(gè)數(shù) 即比201345大的有480－1＝479（6）求所有組成三位數(shù)的總和.（32640）【解析】每個(gè)位置都來分析一下百位上的和：M1=100P52(5+4+3+2+1)十位上的和：M2=4410(5+4+3+2+1)個(gè)位上的和：M3=44(5+4+3+2+1)總和 M＝M1+M2+M3=32640生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進(jìn)行檢查.（1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？（152096）【解析】 也就是說被抽查的5件中有3件合格的，即是從98件合格的取出來的所以 即C2取2C98取3＝152096（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少種？（7224560）【解析】同上述分析，先從2件次品中挑1個(gè)次品，再?gòu)?8件合格的產(chǎn)品中挑4個(gè)C2取1C98取4＝7224560（3）“其中沒有次品”的抽法有多少種？（67910864）【解析】則即在98個(gè)合格的中抽取5個(gè) C98取5＝67910864（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少種？（7376656）【解析】全部排列 然后去掉沒有次品的排列情況 就是至少有1種的C100取5－C98取5＝7376656（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少種？（75135424）【解析】所有的排列情況中去掉有2件次品的情況即是至多一件次品情況的C100取5－C98取3＝75135424從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有（）(A)140種(B)84種(C)70種(D)35種【解析】根據(jù)條件我們可以分2種情況第一種情況：2臺(tái)甲＋1臺(tái)乙 即 C4取2C5取1＝65＝30 第二種情況：1臺(tái)甲＋2臺(tái)乙 即 C4取1C5取2＝410＝40 所以總數(shù)是 30＋40＝70種在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽5件，【解析】至少有3件 則說明是3件或4件3件：C4取3C46取2＝4140 4件：C4取4C46取1＝46共計(jì)是 4140＋46＝4186有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù), 甲需2人承擔(dān), 乙、, 不同的選法共有（C）(A)1260種(B)2025種(C)2520種(D)5040種－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】分步完成第一步：先從10人中挑選4人的方法有：C10取4＝210第二步：分配給甲乙并的工作是C4取2C2取1C1取1＝621＝12種情況則根據(jù)分步原則 乘法關(guān)系 21012＝2520 12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有__C(4,12)C(4,8)C(4,4)___種－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】每個(gè)路口都按次序考慮第一個(gè)路口是C12取4第二個(gè)路口是C8取4 第三個(gè)路口是C4取4則結(jié)果是C12取4C8取4C4取4可能到了這里有人會(huì)說 三條不同的路不是需要P33嗎 其實(shí)不是這樣的 在我們從12人中任意抽取人數(shù)的時(shí)候，其實(shí)將這些分類情況已經(jīng)包含了對(duì)不同路的情況的包含。所以我們不考慮左右問題 則總數(shù)是P77＝5040 ,根據(jù)左右概率相等的原則 則排在左邊的情況種數(shù)是5040247。所以該題結(jié)果是566＝336七個(gè)同學(xué)排成一橫排照相.（1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？（3600）【解析】這個(gè)題目我們分2步完成第一步： 先給甲排 應(yīng)該排在中間的5個(gè)位置中的一個(gè) 即C5取1＝5 第二步： 剩下的6個(gè)人即滿足P原則 P66＝720 所以 總數(shù)是7205＝3600（2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？（1440）【解析】第一步：確定乙在哪個(gè)位置 排頭排尾選其一 C2取1＝2 第二步：剩下的6個(gè)人滿足P原則 P66＝720 則總數(shù)是 7202＝1440（3）甲不在排頭或排尾，同時(shí)乙不在中間的不同排法有多少種？（3120）【解析】特殊情況先安排特殊第一種情況：甲不在排頭排尾 并且不在中間的情況去除3個(gè)位置 剩下4個(gè)位置供甲選擇 C4取1＝4，剩下6個(gè)位置 先安中間位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5開始，剩下的5個(gè)位置滿足P原則 即5P55＝5120＝600 總數(shù)是4600＝2400第2種情況：甲不在排頭排尾，甲排在中間位置則 剩下的6個(gè)位置滿足P66＝720因?yàn)槭欠诸愑懻摗Ｗ畛Ｒ姷睦泳褪?1，2，3，4四個(gè)數(shù)字可以組成多少4位數(shù)？ 也是滿足這樣的分步原則。P33＝6種這 里稍微介紹一下為什么是P33，我們來看第一個(gè)同學(xué)可以有3種書選擇，選擇完成后，第2個(gè)同學(xué)就只剩下2種選擇的情況，最后一個(gè)同學(xué)沒有選擇。知道最后一個(gè)旅客也是4種可能。屬于分步關(guān)系。接著再放第2封，也有3種可能性，直到第4封，所以分步屬于乘法原則 即3333＝3^4（2）3位旅客，到4個(gè)旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？【解析】跟上述情況類似 對(duì)于每個(gè)旅客我們都有4種選擇。信與信之間是分步關(guān)系。1＝（1＋11）6247。2，（不能為1 否則兩者之和會(huì)小于11，不能為11，因?yàn)榈谝环N情況包含了11，10的組合）如果為9 則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是 9，8，7。以取值N的階層作為分母P53＝543 P66＝654321通過這2個(gè)例子PMN＝從M開始與自身連續(xù)N個(gè)自然數(shù)的降序乘積 當(dāng)N＝M時(shí) 即M的階層排列、組合的本質(zhì)是研究“從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，有序和無序擺放的各種可能性”.區(qū)別排列與組合的標(biāo)志是“有序”與“無序”.解答排列、組合問題的思維模式有二：其一是看問題是有序的還是無序的？有序用“排列”，無序用“組合”；其二是看問題需要分類還是需要分步？分類用“加法”，分步用“乘法”.分 類：“做一件事，完成它可以有n類方法”，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時(shí)要注意滿足兩條基本原則：①完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；②：“做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟”，這是說完成這件事的任何一種方法，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個(gè)可行的分步標(biāo)準(zhǔn)；其次，步驟的設(shè)置要滿足完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后， 個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類有關(guān)，這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論那一類辦法中的那一種方法都能單獨(dú)完 成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個(gè) 步驟各有若干種不同的方法，：1．有限制條件的排列問題常見命題形式：“在”與“不在” “鄰”與“不鄰”在解決問題時(shí)要掌握基本的解題思想和方法：⑴“相鄰”問題在解題時(shí)常用“合并元素法”，可把兩個(gè)以上的元素當(dāng)做一個(gè)元素來看，這是處理相鄰最常用的方法.⑵“不鄰”問題在解題時(shí)最常用的是“插空排列法”.⑶“在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，．有限制條件的組合問題，常見的命題形式：“含”與“不含”“至少”與“至多”在解題時(shí)常用的方法有“直接法”或“間接法”.3． 在處理排列、組合綜合題時(shí)，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重、不