【正文】 s*,s*+,σ*，則有如下對結(jié)論： 44 （ 1） 若 σ*=1， 則 DMUj0為弱 DEA有效 （ 純技術(shù) ） 。 x? y?x?y?（ 4）若存在 λj*(j=1,2,? ,m),使 =1成立，則 DMUj0為規(guī)模效益不變；若不存在 λj*(j=1,2,? ,m)，使 =1成立，則 1? DMUj0為規(guī)模效益遞增；若不存在 λ j*(j=1,2,? ,m)，使 =1成立，則 1? DMUj0為規(guī)模效益遞減。m,..2,1i,0,1n,.. .,2,1j,0.wxwxwyyhmaxir0ijm1iip1rm1iijirjrp1r0rjr0j（ 2） 41 其對偶問題為： ???????????????????? ?? ???無約束,0p,.. .,2,1r,m,.. .,2,1i,.minjn1j0rrjjn1j0iijjDyyxxv（ 3） 寫成向量形式有： ???????????????????? ?? ???????,0,0,0jn1j0jj0jn1jjssysyxsx. 無約束 （ 4） minθ 42 設(shè)問題（ 4）的最優(yōu)解為 λ*， s*,s*+,θ*，則有如下結(jié)論： （ 1） 若 θ*=1， 則 DMUj0為弱 DEA有效 （ 總體 ） 。 r=1,2,? ,p n,.. .,2,1j,1m1iijip1rrjrxvyu??????（ 1） 40 這是一個分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。即評價第 j0個決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對于其他所有決策單元而言的。 這 n個企業(yè)及其輸入 輸出關(guān)系如下： 38 … … : … … … : … … y1n y2n : ypn y1j y2j : ypj … … : … y12 y22 : yp2 y11 y21 : yp1 u1 u2 : up 1 2 : p 輸 出 x1n x2n : xmn x1j x2j : xmj … … : … x12 x22 : xm2 x11 x21 : xm1 v1 v2 : vm 1 2 : m 輸 入 n j … 2 1 部門 指標(biāo) 權(quán)數(shù) 每個決策單元的效率評價指數(shù)為： ?????m1iijip1rrjrjxvyuhj=1,2,? ,n 39 而第 j0個決策單元的相對效率優(yōu)化評價模型為： 上述模型中 xij,yrj為已知數(shù)（可由歷史資料或預(yù)測數(shù)據(jù)得到）， vi,ur為變量。這意味著，若第 k個企業(yè) hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對而言有效的；若 hk1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。這個最大的效率評價值是該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說不可能更高的相對效率評價值。 1m ax ?h j即 vvvuuh321211 81541260????max 12415 622321212 ?????vvvuu 14527824321213 ?????vvvuuh因此，建立第一個企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下： 這是一個分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。 33 對于第一個企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為 60u1+12u2,投入綜合值4v1+15v2+8v3， 其中 u1 u2 v1 v2 v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)。 例如：區(qū)域可持續(xù)發(fā)展的 DEA評價、企業(yè)營銷效果的DEA評價、企業(yè)競爭能力的 DEA評價等。 評價相對有效性的 DEA模型 DEA模型 （ 也稱數(shù)據(jù)包絡(luò)分析 ） 最早由美國運籌學(xué)家 1978年提出 ， 在中國最早由中國人民大學(xué)的魏權(quán)齡教授于 1985向國內(nèi)介紹 。迭代的最優(yōu)表如下： 30 2 1 1 1 1 1 0 2 0 Z1 Z2 Z3 1 0 0 0 0 0 1 0 6/5 2/5 1 3/5 1 0 0 0 0 0 1 0 6/5 2/5 1 3/5 7/5 1/5 1 1/5 0 1 0 0 0 0 0 1 18/5 24/5 2 24/5 d3+ x2 d2 x1 d3+ d2+ d1+ d3 d2 d1 x3 x2 x1 b XB 因而滿意解為： x1=24/5， x2=24/5， d2=2， d3+=18/5 其中第一 、 三目標(biāo)已達(dá)到最優(yōu) ， 第二個目標(biāo)未達(dá)最優(yōu) 。 例 1 例 20 用單純形法求解如下線性目標(biāo)規(guī)劃模型 minZ1=d1， minZ2=d2++d2， minZ3=d3 2x1+3x2≤24 加入松馳變量化為標(biāo)準(zhǔn)形 2x1+3x2+ x3=24 s． t． x1+x2+ d1 d1+ =0 3x1+2x2+ d2d2+ =26 4x1+3x2+ d3d3+ =30 解：取 x3， d1， d2， d3為基變量，建立初始單純形表 29 1 2 1 1 2 3 1 3 4 0 26 30 Z1 Z2 Z3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 [ 1 ] 2 3 2 1 3 4 24 0 26 30 x3 d1 d2 d3 d3+ d2+ d1+ d3 d2 d1 x3 x2 x1 b XB 迭代的步驟完全與線性規(guī)劃的單純形法一樣 。 28 求解目標(biāo)規(guī)劃有圖解法和單純形法 ， 在這里我們主要介紹單純形法 。 偏差變量：為各目標(biāo)的正 、 負(fù)偏差變量 。公司領(lǐng)導(dǎo)的目標(biāo)如下： （ 1） 提級后在職員工的工資總額不超過 550千元； （ 2） 各級員工不要超過定編人數(shù)； （ 3） 為調(diào)動積極性 ， 各級員工的升級面不少于現(xiàn)有人數(shù)的18%； （ 4） 總提級面不大于 20%， 但盡可能多提； （ 5） 4級不足編制人數(shù)可錄用新工人。 則對于目標(biāo) 1， 可將它表示為等式約束的形式 x1+x2+ d1 d1+ =0 (目標(biāo)約束 ) 同樣設(shè) d2和 d2+分別表示安排生產(chǎn)時 ， 低于可利用工時和高于可利用工時 ， 即加班工時的偏差變量 ， 則對目標(biāo) 2， 有 3x1+2x2+ d2d2+ =26 對于目標(biāo) 3，設(shè) d3和 d3+分別表示安排生產(chǎn)時，低于計劃利潤 30元和高于計劃利潤 30元的偏差變量，有： 23 4x1+3x2+ d3d3+ =30 （ 2） 約束條件：有資源約束和目標(biāo)約束 資源約束： 2x1+3x2≤24 目標(biāo)約束：為上述各目標(biāo)中得出的約束 （ 3） 目標(biāo)函數(shù)：三個目標(biāo)依次為： minZ1=d1 ， minZ2=d2++d2 ， minZ3=d3 因而該問題的數(shù)學(xué)模型可表述如下： minZ1=d1 ， minZ2=d2++d2， minZ3=d3 2x1+3x2≤24 s． t． x1+x2+ d1 d1+ =0 3x1+2x2+ d2d2+ =26 4x1+3x2+ d3d3+ =30 24 例 20（提級加新問題） 某公司的員工工資有四級，根據(jù)公司的業(yè)務(wù)發(fā)展情況，準(zhǔn)備招收部分新員工，并將部分員工的工資提升一級。 如對于目標(biāo) 1， 設(shè) d1表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量低于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù) ， d1+表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量高于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù) 。 （ 3） 應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計劃利潤 30元 。 目標(biāo)規(guī)劃模型的建立 21 引例： 對于生產(chǎn)計劃問題： 甲 乙 資源限額 材料 2 3 24 工時 3 2 26 單位利潤 4 3 現(xiàn)在工廠領(lǐng)導(dǎo)要考慮市場等一系列其他因素 ， 提出如下目標(biāo)： （ 1） 根據(jù)市場信息 ， 甲產(chǎn)品的銷量有下降的趨勢 ， 而乙產(chǎn)品的銷量有上升的趨勢 ， 故考慮乙產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)大于甲產(chǎn)品的產(chǎn)量 。 當(dāng)所有的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性時 ， 我們稱其為線性目標(biāo)規(guī)劃問題 。 而決策者希望在某些限制條件下 ， 依次實現(xiàn)這些目標(biāo) 。 20 167。 其中 1)對兩地不能直接運輸?shù)膯挝贿\價定為 M（ 很大的正數(shù) ） 3)對產(chǎn)量列的各數(shù)據(jù)可按下式計算并填入： Ai的產(chǎn)量 =ai+?,Tj產(chǎn)量 =?， Bj的產(chǎn)量 =? 4)對銷量行的各數(shù)據(jù)可按下式計算并填入： Aj的產(chǎn)量 =?,Tj銷量 =?， Bj的銷量 =?+bj (2)用表上作業(yè)法進(jìn)行求解 ? ?? ??? m1in1j ji},max{ ba2)對所有中轉(zhuǎn)站 Tj的產(chǎn)量和銷量定為相等，設(shè)定為 19 例 26（ P61）已知甲、乙兩處分別有 100噸和 85噸同種物質(zhì)外運， A、 B、 C三處各需物質(zhì) 55， 60， 70（噸），物質(zhì)可以直接運到目的地，也可以經(jīng)某些中轉(zhuǎn)點轉(zhuǎn)運，已知各處之間的距離如下表所示，試確定一個最優(yōu)的調(diào)運方案。 “ 轉(zhuǎn)運問題 ” 的思路是把問題中所有的產(chǎn)地 、 中轉(zhuǎn)站和銷地都既看作產(chǎn)地 ， 又都看作銷地 ， 把 “ 轉(zhuǎn)運問題 ” 變成擴(kuò)大后的產(chǎn)銷平衡的運輸問題處理 。 (3)除產(chǎn) 、 銷地之外 ， 還可以有幾個中間轉(zhuǎn)運站 ， 在產(chǎn)地之間 ， 銷地之間或產(chǎn)銷地之間轉(zhuǎn)運 。 B5 0 0 0 40 16 銷地 廠家 B1 B2 B3 B4 產(chǎn)量（萬臺） A1 6 3 12 6 10 A2 4 3 9 — 12 A3 9 10 13 10 10 最低需求 6 14 0 5 最高需求 10 14 6 不限 (12) 銷地 廠家 B1 B1` B2 B3 B4 B4` 產(chǎn)量（萬臺） A1 6 6 3 12 6 6 10 A2 4 4 3 9 M M 12 A3 9 9 10 13 10 10 10 A4 M 0 M 0 M 10 10 銷量 6 4 14 6 5 7 化為產(chǎn)銷平衡的運輸問題有： 17 三、轉(zhuǎn)運問題及其解法 ： (1)每個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品不直接運到銷地 ， 可以幾個產(chǎn)地集中一起運 。 ?????? ? ?? ?? nj jmi i ba 11 ?????? ? ????nj jmi iba11 ?????? ????nj jmi iba1115 例題