【正文】 ( t )≈ ?? ( t )H1( f ) ＝ 1f f 3dB0－ 310lgH( f )/dBPo( t ) ＝ h ? ( t )H2( f ) ＝ H ( f )t2 ?? ?輸出脈沖 2. 多模光纖折射率分布的普遍公式用式 ()n(r)表示 ， 第 q階模式群的傳輸常數(shù)用式 ()的 βq表示 。 設(shè)輸入脈沖和輸出脈沖為式()表示的高斯函數(shù) ， 其 rms脈沖寬度分別為 ζ1和 ζ2， 頻率響應(yīng)分別為 H1(f)和 H2(f)， 根據(jù)傅里葉變換特性得到 H(f)= () 由此得到 ， 信號(hào)通過(guò)光纖后產(chǎn)生的脈沖展寬 ζ= 或 Δη= ， Δη1和 Δη2分別為輸入脈沖和輸 出脈沖的 FWHM。 對(duì)式 ()進(jìn)行傅里葉變換 ， 代入式 ()得到 exp（ 2π2ζ2f23dB） = () 由式 ()得到 3dB光帶寬為 1f3 dB= )(18712 2ln2 MH Z??? ?用高斯脈沖半極大全寬度 (FWHM)Δη= =， 代入式 ()得到 ?2ln2f3 dB= )(440 MH Z?? 式 ()脈沖寬度 ζ和 Δη是信號(hào)通過(guò)光纖產(chǎn)生的脈沖展寬 ，單位為 ns。 光纖傳輸系統(tǒng)通常滿(mǎn)足這個(gè)條件 。 受這種影響 ， 光纖起了低通濾波器的作用 。 如果光纖可以按線性系統(tǒng)處理 ， 其輸入光脈沖功率 Pi(t)和輸出光脈沖功率 Po(t)的一般關(guān)系為 Po(t)= ? ???? ??? dttptth i )()( 當(dāng)輸入光脈沖 Pi(t)=δ(t)時(shí) ， 輸出光脈沖 Po(t)=h(t)， 式中 δ(t)為 δ函數(shù) ， h(t)稱(chēng)為光纖沖擊響應(yīng) 。 用脈沖展寬表示時(shí) ， 光纖色散可以寫(xiě)成 Δη=(Δη2n+Δη2m+Δη2w)1/2 式中 Δηn、 Δηm、 Δηw分別為模式色散 、 材料色散和波導(dǎo)色散所引起的脈沖展寬的均方根值 。 如果信號(hào)是模擬調(diào)制的 ， 色散限制帶寬 (Bandwith)； 如果信號(hào)是數(shù)字脈沖 ， 色散產(chǎn)生脈沖展寬 (Pulse broadening)。 波導(dǎo)色散是由于波導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)與波長(zhǎng)有關(guān)而產(chǎn)生的 ， 它取決于波導(dǎo)尺寸和纖芯與包層的相對(duì)折射率差 。 模式色散是由于不同模式的時(shí)間延遲不同而產(chǎn)生的 ， 它取決于光纖的折射率分布 ， 并和光纖材料折射率的波長(zhǎng)特性有關(guān)材料色散是由于光纖的折射率隨波長(zhǎng)而改變 ， 以及模式內(nèi)部不同波長(zhǎng)成分的光 (實(shí)際光源不是純單色光 )， 其時(shí)間延遲不同而產(chǎn)生的 。 1. 色散 、 色散 (Dispersion)是在光纖中傳輸?shù)墓庑盘?hào) ， 由于不同成分的光的時(shí)間延遲不同而產(chǎn)生的一種物理效應(yīng) 。 損耗限制系統(tǒng)的傳輸距離 ， 色散則限制系統(tǒng)的傳輸容量 。 產(chǎn)生信號(hào)畸變的主要原因是光纖中存在色散 。 光信號(hào)經(jīng)光纖傳輸后要產(chǎn)生損耗和畸變 (失真 )， 因而輸出信號(hào)和輸入信號(hào)不同 。 強(qiáng)雙折射光纖和單模單偏振光纖為偏振保持光纖 。 一般單模光纖 B值雖然不大 ， 但是通過(guò)光纖制造技術(shù)來(lái)消除它卻十分困難 。 把兩個(gè)正交偏振模的相位差達(dá)到 2π的光纖長(zhǎng)度定義為拍長(zhǎng) Lb Lb= () ???2 存在雙折射 ， 要產(chǎn)生偏振色散 ， 因而限制系統(tǒng)的傳輸容量 。 但是實(shí)際光纖難以避免的形狀不完善或應(yīng)力不均勻 ，必定造成折射率分布各向異性 ， 使兩個(gè)偏振模具有不同的傳輸常數(shù) (βx≠βy)。 雙折射和偏振保持光纖前面的討論都假設(shè)了光纖具有完美的圓形橫截面和理想的圓對(duì)稱(chēng)折射率分布 ， 而且沿光纖軸向不發(fā)生變化 。 圖中 ρ是基模 HE11 的注入效率 。 由此得到 2221 ?? nna? ? V= 或 λc= ???v HE11的電磁 Ψ(r)=A exp ])([ 20wr? 式中 ， A為場(chǎng)的幅度 ， r為徑向坐標(biāo) ， w0為高斯分布 1/e點(diǎn)的半寬度 ， 稱(chēng)為模場(chǎng)半徑 。 HE11稱(chēng)為基模 ，由兩個(gè)偏振態(tài)簡(jiǎn)并而成 。 當(dāng) V值減小時(shí) ， 不斷發(fā)生模式截止 ， 模式數(shù)目逐漸減少 。 用 q和 Q代替 m(β)和 M， 從式 ()得到第 q個(gè)模式群的傳輸常數(shù) 21221 ])(21[???? ggq Qqkn? 光強(qiáng)分布多模漸變型光纖端面的光強(qiáng)分布 (又稱(chēng)為近場(chǎng) )P(r)主要由折射率分布 n(r)決定 ， )()0()()()0()(2222annanrncprp??? 式中 P(0)為纖芯中心 (r=0)的光強(qiáng) ， C為修正因子 。 q稱(chēng)為主模數(shù) ， 表示模式群的階數(shù) ， 第 q個(gè)模式群有 2q個(gè)模式 ， 把各模式群的簡(jiǎn)并度加起來(lái) ， 就得到模式數(shù) m(β)=q2。 經(jīng)計(jì)算 2)2()2(2122 vggnkaggM?????)2(2122212)2()( ???? ggnknkMm ?? 由式 ()看到：對(duì)于突變型光纖 ， g→∞ ， M=V2/2； 對(duì)于平方律漸變型光纖 ， g=2， M=V2/4。 我們不準(zhǔn)備討論這種方法的推導(dǎo)過(guò)程 ， 只給出用這種方法得到的一些有用的結(jié)果 。 由于折射率是徑向坐標(biāo) r的函數(shù) ， 波動(dòng)方程式 ()沒(méi)有解析解 。 若干低階 LPvμ模簡(jiǎn)化的本征方程和相應(yīng)的模式截止值 uc和遠(yuǎn)離截止值 u∞列于表 ， 這些低階模式和相應(yīng)的 V值范圍列于表 ， 圖 。 這些模式稱(chēng)為線性偏振(Linearly Polarized)模 ， 并記為 LPvμ。 這種光纖稱(chēng)為弱導(dǎo)光纖 ， 對(duì)于弱導(dǎo)光纖 β滿(mǎn)足的本征方程可以簡(jiǎn)化為 )()()(1 1wkwwKuJuJvvVV???? 由此得到的混合模 HEv+1μ和 EHv1μ(例如 HE31和 EH 11)傳輸常數(shù) β相近 ， 電磁場(chǎng)可以線性疊加 。 波動(dòng)方程和特征方程的精確求解都非常繁雜 ， 一般要進(jìn)行簡(jiǎn)化 。 第二個(gè)下標(biāo) μ是貝塞爾函數(shù)的根按從小到大排列的序數(shù) ， 稱(chēng)為徑向模數(shù) ， 它表示從纖芯中心 (r=0)到纖芯與包層交界面(r=a)電場(chǎng)變化的半周期數(shù) 。 下標(biāo) v和 μ都是整數(shù) 。 當(dāng) v≠0時(shí) ， 電磁場(chǎng)六個(gè)分量都存在 ， 這些模式稱(chēng)為混合模(波 )。 另一類(lèi)只有 Hz、 Hr和 Eθ分量 ， Ez=Er=0，Hθ=0， 這類(lèi)在傳輸方向無(wú)電場(chǎng)的模式稱(chēng)為橫電模 (波 )， 記為T(mén)E0μ。 awr )(akv )exp( awr? )exp(awr? 當(dāng) v=0時(shí) ， 電磁場(chǎng)可分為兩類(lèi) 。 其 u、 w和 β值記為 uc、 wc和 βc， 此時(shí) V=Vc=uc。 如果 w0， 電磁場(chǎng)將在包層振蕩 ， 傳輸模式將轉(zhuǎn)換為輻射模式 ， 使能量從包層輻射出去 。 分析這兩種情況的 u、 w和 β， 對(duì)了解模式特性很有意義 。 圖中縱坐標(biāo)的傳輸常數(shù) β取值范圍為 n2k≤β≤n1k 相當(dāng)于歸一化傳輸常數(shù) b的取值范圍為 0≤b≤1， 圖 若干低階模式歸一化傳輸常數(shù)隨歸一化頻率變化的曲線 0 1 2 3 4 5 60b1n1n2? / kHE11TE01HE31HM01HE21EH11EH12HE41EH21TM02TE02HE22V222122222 )/(nnnkvwb???? ? 坐標(biāo)的 V稱(chēng)為歸一化頻率 ， 根據(jù)式 () V= () 圖中每一條曲線表示一個(gè)傳輸模式的 β隨 V的變化 ， 所以方程 ()又稱(chēng)為色散方程 。 由Eθ和 Hθ的邊界條件導(dǎo)出 β滿(mǎn)足的特征方程為 )11)(11(])()( )(][)()( )([ 2222212222221wunnwuvwwkKwuJuJnnWwKKuuJuJvVvVvvvV???????? 這是一個(gè)超越方程 ， 由這個(gè)方程和式 ()定義的特征參數(shù) V聯(lián)立 ， 就可求得 β值 。 由式 ()確定電磁場(chǎng)的縱向分量 Ez和 Hz后 ， 就可以通過(guò)麥克斯韋方程組導(dǎo)出電磁場(chǎng)橫向分量 Er、 Hr和 Eθ、 Hθ的表達(dá)式 。 圖 （ a)貝賽爾函數(shù)；（ b)修正的貝賽爾函數(shù) )看到 ， 在光纖基本參數(shù) n n a和 k已知的條件下 ， u和 w只和 β有關(guān) 。 u和 w決定纖芯和包層橫向 (r)電磁場(chǎng)的分布 ， 稱(chēng)為橫向傳輸常數(shù)； β決定縱向 (z)電磁場(chǎng)分布和傳輸性質(zhì) ， 所以稱(chēng)為 (縱向 )傳輸常數(shù) 。 Jv(u)和 Kv(w)如圖 ， Jv(u)類(lèi)似振幅衰減的正弦曲線 ， Kv(w)類(lèi)似衰減的指數(shù)曲線 。 根據(jù)這些特點(diǎn) ， 式 ()的解應(yīng)取 v階貝塞爾函數(shù) Jv(ur/a)，而式 ()的解則應(yīng)取 v階修正的貝塞爾函數(shù) Kv(wr/a)。 為求解方程 ()， 引入無(wú)量綱參數(shù) u, w和 V。 這樣就把分析光纖中的電磁場(chǎng)分布 ， 歸結(jié)為求解貝塞爾 ( Bessel)方程 ()。 由于光纖的圓對(duì)稱(chēng)性 ， Ez(θ) θ的周期函數(shù) ， 設(shè)為exp(jvθ)， v為整數(shù) 。 把 Ez(r, θ, z)分解為 Ez(r)、 Ez(θ)和 Ez(z)。 將式 ()在圓柱坐標(biāo)中展開(kāi) ， 得到電場(chǎng)的 z分量 Ez的波動(dòng)方程為 0)(11 22222222????????????? ZZZZZ EwZEErrErrE ?圖 光纖中的圓柱坐標(biāo) xryz?包層 n2纖芯 n1 磁場(chǎng)分量 Hz的方程和式 ()完全相同 ， 不再列出 。 1. 波動(dòng)方程和電磁場(chǎng)表達(dá)式 設(shè)光纖沒(méi)有損耗 ， 折射率 n變化很小 ， 在光纖中傳播的是角頻率為 ω的單色光 ， 電磁場(chǎng)與時(shí)間 t的關(guān)系為 exp(jωt)， 則標(biāo)量波動(dòng)方程為 0)( 22 ??? EwE 0)( 22 ?? HwH 式中 ， E和 H分別為電場(chǎng)和磁場(chǎng)在直角坐標(biāo)中的任一分量 ， c為光速 。 雙曲正割函數(shù)折射率分布 雖然幾何光學(xué)的方法對(duì)光線在光纖中的傳播可以提供直觀的圖像 ， 但對(duì)光纖的傳輸特性只能提供近似的結(jié)果 。 入射角小的光線情況正相反 ， 其路程較短 ， 但速度較慢 。 它們有相同的傳輸時(shí)延 ， 這種現(xiàn)象稱(chēng)為自聚焦 (Self Focusing)效應(yīng) 。0)0(11 rAdzdrA z ??這就是拋物線分布的漸變型光纖中近軸子午光線的傳輸軌跡。 設(shè)光線以 θ0從特定點(diǎn) (z=0,r=r0)入射到光纖 ， 并在任意點(diǎn) (z, r)以θ*從光纖射出 。 由于折射率分布具有圓對(duì)稱(chēng)性和沿軸線的均勻性 ， n與 θ和 z無(wú)關(guān) 。 選用圓柱坐標(biāo) (r, θ， z)， 把漸變型多模光纖的子午面 (r z)示于圖 。 具有這種分布的光纖 ， 不同入射角的光線會(huì)聚在中心軸線的一點(diǎn)上 ，因而脈沖展寬減小 。 在 g→∞ ， (r/a)→ 0的極限條件下 ， 式 ()表示突變型多模光纖的折射率分布 。 2. 漸變型多模光纖 、 增加帶寬的優(yōu)點(diǎn) 。 設(shè)光纖NA=， n1=， L=1 km， 根據(jù)式 ()得到脈沖展寬Δη=44ns， 相當(dāng)于 10MHz 由式 ()得到最大入射角 (θ=θc)和最小入射角 (θ=0)的光線之間時(shí)間延遲差近似為 ????? c LnNALL c 12121)(22 ??