【正文】 58 已知波源在原點的一列平面簡諧波，波動方程為=cos()，其中， 為正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、頻率、周期與波長；(2)寫出傳播方向上距離波源為處一點的振動方程；(3)任一時刻，在波的傳播方向上相距為的兩點的位相差． 解: (1)已知平面簡諧波的波動方程 ()將上式與波動方程的標(biāo)準(zhǔn)形式比較，可知：波振幅為，頻率，波長，波速，波動周期．(2)將代入波動方程即可得到該點的振動方程 (3)因任一時刻同一波線上兩點之間的位相差為 將，及代入上式，即得．59 沿繩子傳播的平面簡諧波的波動方程為=(10)，式中,以米計，以秒計．求：(1)波的波速、頻率和波長；(2)繩子上各質(zhì)點振動時的最大速度和最大加速度；(3)求=處質(zhì)點在=1s時的位相，它是原點在哪一時刻的位相?這一位相所代表的運動狀態(tài)在=? 解: (1)將題給方程與標(biāo)準(zhǔn)式相比，得振幅，頻率，波長，波速．(2)繩上各點的最大振速，最大加速度分別為(3) m處的振動比原點落后的時間為故,時的位相就是原點()，在時的位相，即 π．設(shè)這一位相所代表的運動狀態(tài)在s時刻到達(dá)點，則510 如題510圖是沿軸傳播的平面余弦波在時刻的波形曲線．(1)若波沿軸正向傳播，該時刻，各點的振動位相是多少?(2)若波沿軸負(fù)向傳播，上述各點的振動 位相又是多少? 解: (1)波沿軸正向傳播，則在時刻，有題510圖對于點：∵，∴對于點：∵，∴對于點：∵，∴對于點：∵，∴(取負(fù)值：表示點位相，應(yīng)落后于點的位相)(2)波沿軸負(fù)向傳播，則在時刻，有對于點：∵，∴對于點：∵，∴對于點：∵，∴對于點：∵，∴ (此處取正值表示點位相超前于點的位相)511 一列平面余弦波沿軸正向傳播，波速為5m按機械能守恒定律可列式： ③由③式得由①式 ④由②式 ⑤所以求得(2)相碰時小球受到的沖量為∫Fdt=Δmv=mvmv0由①式求得∫Fdt=mvmv0=(Iω)/l=(1/3)Mlω=負(fù)號說明所受沖量的方向與初速度方向相反．題230圖230 (1)碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度v0=Rω設(shè)碎片上升高度h時的速度為v，則有v2=v202gh令v=0，可求出上升最大高度為(2)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量I=(1/2)MR2，碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動慣量I′=(1/2)MR2mR2，碎片脫離前，盤的角動量為Iω，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內(nèi)力變?yōu)榱?，但?nèi)力不影響系統(tǒng)的總角動量，碎片與破盤的總角動量應(yīng)守恒，即Iω=I′ω′+mv0R式中ω′為破盤的角速度．于是(1/2)MR2ω=[(1/2)MR2mR2]ω′+mv0R
[(1/2)MR2mR2]ω=[(1/2)MR2mR2]ω′得ω′=ω(角速度不變)圓盤余下部分的角動量為[(1/2)MR2mR2]ω轉(zhuǎn)動動能為題231圖Ek=(1/2)[(1/2)MR2mR2]ω2231 (1)射入的過程對O軸的角動量守恒Rsinθm0v0=(m+m0)R2ω∴ω=(2)232 以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統(tǒng)，重物下落的過程中，機械能守恒，以最低點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則有mgh=(1/2)mv2+(1/2)Iω2+(1/2)kh2又 ω=v/R故有
題232圖 題233圖233 (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當(dāng)小球滑至B點時，有I0ω0=(I0+mR2)ω ①該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中，機械能守恒，設(shè)小球相對于圓環(huán)的速率為vB，以B點為重力勢能零點，則有(1/2)I0ω20+mgR=(1/2)(I0+mR2)ω2+(1/2)mv2B ②聯(lián)立①、②兩式，得(2)當(dāng)小球滑至C點時，∵Ic=I0 ∴ωc=ω0故由機械能守恒，有mg(2R)=(1/2)mv2c∴vc=2請讀者求出上述兩種情況下，小球?qū)Φ厮俣龋?xí)題三31 慣性系S′相對慣性系以速度運動．當(dāng)它們的坐標(biāo)原點與重合時，==0，發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測者觀測該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標(biāo)系寫出各自觀測的波陣面的方程．解: 由于時間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變原理，光訊號為球面波．波陣面方程為：題31圖32 設(shè)圖34中車廂上觀測者測得前后門距離為2．試用洛侖茲變換計算地面上的觀測者測到同一光信號到達(dá)前、后門的時間差．解: 設(shè)光訊號到達(dá)前門為事件，在車廂系時空坐標(biāo)為，在車站系：光信號到達(dá)后門為事件，則在車廂系坐標(biāo)為，在車站系：于是 或者 33 慣性系S′相對另一慣性系沿軸作勻速直線運動，取兩坐標(biāo)原點重合時刻作為計時起點．在S系中測得兩事件的時空坐標(biāo)分別為=6104m,=2104s，以及=12104m,=1104s．已知在S′系中測得該兩事件同時發(fā)生．試問：(1)S′系相對S系的速度是多少? (2) 系中測得的兩事件的空間間隔是多少?解: 設(shè)相對的速度為，(1) 由題意 則 故 (2)由洛侖茲變換 代入數(shù)值， 34 長度=1 m的米尺靜止于S′系中，與′軸的夾角=