第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-文庫吧資料
2025-08-07 13:02本頁面
【正文】 ≠j 稱該矢量為 正交矢量系 顯然，在 n維設(shè)計(jì)空間里，單位坐標(biāo)矢量系： e1， e2……e n 為正交矢量系 ⑵ 若矢量系 S1， S2……S n對于對稱正定矩陣 A共軛，則它 必為線性獨(dú)立（線性無關(guān)）矢量系。 ⑴ 矢量 S1與 S2正交關(guān)系，是矢量 S1與 S2對 A共軛的特殊情形 對于式②，如果矩陣 A是單位矩陣 E時(shí)，則矢量 S1與 S2的共軛 就是矢量的正交 即為 也可以說，矢量共軛的概念實(shí)際上就是正交概念的廣義化。 一 、 共軛方向的基本概念 首先以二元二次函數(shù)為例予以說明共軛方向概念，設(shè)函數(shù) 式中 2*2階對稱 正定矩陣 函數(shù) F（ x）的梯度為 ▽ F（ x） =Ax+B 由于函數(shù) F（ x）中的 A矩陣對稱正定，所以等值線為一組橢圓， 如右圖 按任意給定的方向 S1，做 F（ x） =F1與 F（ x） =F2兩條等 值切線，兩切線互為平行，切點(diǎn) 分別為 ， 。函數(shù)在其定義域范圍 內(nèi)的各點(diǎn)都對應(yīng)著一個(gè)確定的梯度 ， 即不同點(diǎn) x的最速上 升方向不同 函數(shù)最速下降方向，在優(yōu)化設(shè)計(jì)理論中占有重要地位。 上式可簡寫為 或 …… ⑴ …… 為函數(shù) F（ x）在點(diǎn) 的梯度，記作 gradF（ ）， 矢量的模長為 簡記為 定義矢量： ⑵ 是方向 S的單位矢量，其模長為 將方向?qū)?shù)式 寫為 用記號＜ ， S＞表示矢量 與 S之間的夾角，則 表示的方向?qū)?shù)又可寫為 …… 二、函數(shù)的最速下降方向 函數(shù) F（ x）在 點(diǎn)變化率的值取決于方向 S，不同 方向變化率大小不同 1≤cos＜ ,S＞ ≤1,當(dāng)方向 S與梯度 矢量方向一致時(shí)，方向?qū)?shù) 達(dá)到最大值，即函數(shù)的 變化率最大，其值為梯度的模長 梯度優(yōu)化設(shè)計(jì)的幾個(gè)重要特征 梯度是在設(shè)計(jì)空間里的一個(gè)矢量。 沿 S方向的導(dǎo)數(shù)為 n維函數(shù) F（ x）在點(diǎn) ……+ 式中 ， 為 方向 S和各座標(biāo)軸的夾角 。從 點(diǎn)，沿某一方向 （與 ox1， ox2軸夾角分別為 ， ）前進(jìn)到點(diǎn) 其增量 其模長 函數(shù) F（ x）在 點(diǎn)沿 S方向的方向?qū)?shù)為 或記為 方向?qū)?shù) 表示函數(shù) F（ x）在點(diǎn) 沿 S方向的變化率。設(shè)有連續(xù)可微的 n維目標(biāo) 函數(shù) F（ x） F（ x）在點(diǎn) 的一階偏導(dǎo)數(shù)為 ， …… ， 它們分別表示函數(shù) F（ x）在點(diǎn) 沿各座標(biāo)軸方向的變化率。為了確切表達(dá)函數(shù)在某一點(diǎn)的變化形態(tài)則要用微分的辦法具體分析。以下說明產(chǎn)生搜
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