【正文】 值附近取值的機會較多?！　∪?、隨機變量分布的均值、方差與標準差　　隨機變量X的分布(概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個重要的特征數(shù)，用來表示分布的集中位置(中心位置)和散布大小。連續(xù)隨機變量這一性質(zhì)普遍成立，它給計算帶來方便。實際中不少產(chǎn)品發(fā)生失效(故障)的時間，或發(fā)生故障后需要維修的時間都服從指數(shù)分布，例如某廠生產(chǎn)的推土機發(fā)生故障后的維修時間T(單位:分)服從指數(shù)分布Exp(002)?！　〉貐^(qū)(c)。　　:　　　　地區(qū)(a)?！　　　　瞉考試得分是一個隨機變量，下面是三個不同地區(qū)同一課程考試得分的概率密度函數(shù)()?！　　　∵@里應強調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為“單位長度上的概率”，這是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線，它一定位于x軸上方(即p(x)≥0)，并且與x軸所夾面積恰好為1。　　　　概率密度函數(shù)p(x)有多種形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形狀不同。當累積到很多x值時，就形成一定的圖形，為了使這個圖形得以穩(wěn)定，把縱軸改為單位長度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測質(zhì)量特性值x愈多，這個圖形愈穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條光滑曲線。下面再將上述過程用另一種形式來進行表述。在第一節(jié)中，已經(jīng)詳細介紹過根據(jù)一批樣本數(shù)據(jù)繪制頻率直方圖的方法。還可計算有關(guān)事件的概率，譬如:　　P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=+=　　〔]某廠生產(chǎn)的三極管，每100支裝一盒?！　ν瑯訂栴}，若用放回抽樣，則從10個產(chǎn)品(其中有2個不合格品)中隨機取出4個，其中不合格品數(shù)Y是另一個隨機變量，它可取0，1，2，3，4等五個值?！　　瞉設在10個產(chǎn)品中有2個不合格品，若從中隨機取出4個，則其中不合格品數(shù)X是離散隨機變量，它僅可取0，1，2等三個值。滿足這兩個條件的分布稱為離散分布，這一組pi也稱為分布的概率函數(shù)。　　(一)離散隨機變量的分布　　離散隨機變量的分布可用分布列表示，譬如，隨機變量X僅取n個值:x1，x2，…xn，X取x1的概率為p1，取x2的概率為p2，…，取xn的概率為pn。認識一個隨機變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布，分布包含如下兩方面內(nèi)容:　　(1)X可能取哪些值，或在哪個區(qū)間上取值。更一般的，在n個產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X是可能取0，1，2，…，n等n+1個值的離散隨機變量?！癤=0”表示合格品，“X=　　1”表示不合格品?！　?3)檢驗一個產(chǎn)品，結(jié)果可能是合格品，也可能是不合格品。類似地，一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、一匹布上的疵點數(shù)、一臺車床在一天內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)都是取非負整數(shù){0，1，2，3，…}的離散隨機變量。這些事件有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。例如:　　(1)設X是一只鑄件上的瑕疵數(shù)，則X是一個離散隨機變量，它可以取0，1，2，…等值?！　〖偃缫粋€隨機變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個區(qū)間(a，b)()，則稱此隨機變量為連續(xù)隨機變量，或連續(xù)型隨機變量，其中a可以是∞，b可以是+∞。常用大寫字母X，Y，Z等表示隨機變量，而它們的取值用相應的小寫字母x，y，z等表示。第三節(jié)隨機變量及其分布要求的概率為P(A1 A2 A3)，由于三個標本相互獨立，所以:　　P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=()3= 這個概率是很小的?！　⌒再|(zhì)7:假如兩個事件A與B相互獨立，則A與B同時發(fā)生的概率為:　　P(AB)=P(A)P(B)()　　性質(zhì)8:假如兩個事件A與B相互獨立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率P(A|B)等于事件A的(無條件)概率P(A)?！　∵@里談論的是烏龜?shù)膲勖?，假如我們能獲得彈藥的貯存壽命表，那么就可計算，存放10年的彈藥再放5年仍完好的概率是多少?假如有一個國家或地區(qū)的人的壽命表，就可算得30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險公司正是利用這個條件概率對30歲的投保人計算人身保險費率的?！　　　‖F(xiàn)要尋求下列事件的條件概率:　?、?0歲的烏龜能活到80歲的概率是多少?　　要求的概率是條件概率P(A80|A20)，按公式應為:　　　　由于活到80歲的烏龜一定要先活到20歲，這意味著A80A20，從而交事件A20 A80=A80，故上述條件概率為:　　即100只活到20歲的烏龜中大約有95只能活到80歲?！　☆愃频?，利用這個解釋，可得P(B|A)=5/15=1/3。這時事件A所含樣本點在ΩB中所占比率為5/7。即中18個樣本點可不予考慮，可能的情況是事件B中的7個樣本點之一?！　]設某樣本空間含有25個等可能的樣本點，又設事件A含有其中15個樣本點，事件B含有7個樣本點，交事件AB含有5個樣本點。條件概率的計算公式為:　　這表明:條件概率可用兩個特定的(無條件)概率之商來計算，在舉例說明之前，先導出概率的乘法公式。另外由于事件A1與A2是可能同時發(fā)生的，故A1與A2不是互不相容事件，應用性質(zhì)(4)來求，即:　　這表明在未來兩場比賽中至少有一場獲勝的概率為2/3?！　　瞉某足球隊在未來一周中有兩場比賽，在第一場比賽中獲勝概率為1/2，在第二場比賽中獲勝概率是1/3，如果在兩場比賽中都獲勝概率是1/6，那么該隊在這兩場比賽中至少有一場獲勝的概率是多少?　　解:設事件Ai=“第i場比賽獲勝”，i=1，2。據(jù)A0的定義，從100件產(chǎn)品隨機抽出10件的所有樣本點共有)個。再由性質(zhì)1，立即可得:　　P(A3)=1P()=11/8=7/8=　　[]一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格品，現(xiàn)從中隨機抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是多少?　　解:設A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示為:　　A=A0∪A1 U A2并且A0，A1，A2為三個互不相容事件，由性質(zhì)(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)?！　　瞉拋三枚硬幣，至少一個正面出現(xiàn)(記為事件A3)的概率是多少?　　解:在拋三枚硬幣的隨機試驗中，諸如(正，反，正)這樣的樣本點共有8個?！　　　　　　　∪⒏怕实男再|(zhì)及其運算法則　　(一)概率的基本性質(zhì)及加法法則　　根據(jù)概率的上述定義，可以看出它具有以下基本性質(zhì):　　性質(zhì)1:概率是非負的，其數(shù)值介于0與1之間，即對任意事件A，有:　　0≤P(A)≤1　　特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　性質(zhì)2:若是A的對立事件，則:　　P(A)+P()=1　　或　　P()=1P(A)　　性質(zhì)3:若AB，則:　　P(AB)=P(A)P(B)　　性質(zhì)4:事件A與B的并的概率為:　　P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)　　這個性質(zhì)稱為概率的加法法則。發(fā)現(xiàn)各個字母的使用頻率相當穩(wěn)定?！　?2)在英語中某些字母出現(xiàn)的頻率遠高于另外一些字母。也是正面出現(xiàn)的概率。歷史上有不少人做過更多次重復試驗。在實際中人們無法把一個試驗無限次地重復下去、只能用重復試驗次數(shù)n較大時的頻率去近似概率?！　∮谑侵TBm發(fā)生的概率為:　　P(B0)==　　P(B1)=4=　　　　P(B4)==　　可見，在放回抽樣中，B0和B1發(fā)生的可能性最大，而B4發(fā)生的可能性很小，B4在1000次中發(fā)生還不到二次?！　〖偃缃o定N=10，M=2，n=4，在放回抽樣場合來計算諸Bm的概率。故事件B1的概率為:　　　　類似地，事件Bm共含有　　個樣本點。這樣就有M(NM)n1種取法。由于每次都有N種可能，故在放回抽樣的問題中共有Nn種等可能的樣本點。這時要講究先后次序，現(xiàn)對上例采取放回抽樣方式討論事件Bm=“恰好有m個不合格品”的概率。因此可不論其次序?！　](放回抽樣)抽樣有兩種形式:不放回抽樣與放回抽樣?！　〖偃缃o定N=10，M=2和n=4，下面來計算諸事件Am的概率:　　　　而A3，A4等都是不可能事件。故事件Am的概率是:　　其中r=min(n，M)是m的最大取值，這是因為m既不可能超過取出的產(chǎn)品數(shù)n，也不可能超過不合格品總數(shù)M，即m≤n和m≤M。故事件A1的概率為:　　　　最后，要使事件Am發(fā)生，必須從M個不合格品中隨機抽取m個，而從NM個合格品中隨機抽取nm個。第一步從M個不合格品中隨機取出1個，共有　　種取法；第二步從NM個合格品中隨機取出n1個，共有　　種取法。要使取出的n個產(chǎn)品全是合格品，那必須從該批中NM個合格品中抽取，這有　　種取法。下面我們先計算事件A0、A1的概率，然后計算一般事件Am的概率。其中“隨機抽取”必導致這　　個樣本點是等可能的。這24種排列在組合中只算一種?！　?5)組合:從n個不同元素中任取r(r≤n)個元素并成一組(不考慮其間順序)稱為一個組合，此種組合數(shù)為:規(guī)定0!=1，因而　　=1。　　例如，從10個產(chǎn)品中每次取一個做檢驗，放回后再取下一個，如此連續(xù)抽取4次，所得重復排列數(shù)為104。按乘法原理，此種重復排列共有n＇個。按乘法原理，此種排列共有n(n1)…(nr+1)個，記為P＇n。　　例如，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具:汽車、火車和飛機，而汽車有5個班次，火車有3個班次，飛機有2個班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個班次供旅游選擇。　　例如，甲城到乙城有3條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有32=6條旅游線路?，F(xiàn)概要介紹如下:　　排列與組合是兩類計數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計數(shù)原理。　　(4)定義事件D=“點數(shù)之和大于3，而小于7”={(1，3)(2，2)，(3，1)，(1，4)(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，它含有12個樣本點，故它的概率P(D)=12/36 =1/3?！　?2)定義事件B=“點數(shù)之和為5”={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，它含有4個樣本點，故P(B)=4/36=1/9。這一隨機現(xiàn)象的樣本空間為:　　Ω={(x，y)，x，y=1，2，3，4，5，6}它共含36個樣本點，并且每個樣本點出現(xiàn)的可能性都相同。特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　二、概率的古典定義與統(tǒng)計定義　　確定一個事件的概率有幾種方法，這里介紹其中兩種最主要的方法，相應于概率的兩種定義，即古典定義及統(tǒng)計定義。概率是一個介于0到1之間的數(shù)?！　∩鲜稣娉霈F(xiàn)的機會、市場占有率、中簽率以及常見的廢品率、命中率等都是用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小?！　?2)某廠試制成功一種新止痛片在未來市場的占有率是多少呢?市場占有率高，就應多生產(chǎn)，獲得更多利潤；市場占有率低，就不能多生產(chǎn)，否則會造成積壓，不僅影響資金周轉(zhuǎn)，而且還要花錢去貯存與保管。例如:　　(1)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2。但隨機事件發(fā)生的可能性還是有大小之別，是可以設法度量的?！　　　?4)事件A對B的差，由在事件A中而不在B中的樣本點組成的新事件稱為A對B的差，記為AB。交事件AB發(fā)生意味著“事件A與B同時發(fā)生”。并事件A∪B發(fā)生意味著“事件A與B中至少一個發(fā)生”。特別，必然事件Ω與不可能事件φ互為對立事件，即=φ，=Ω?？梢娋褪恰癆不發(fā)生”，例如在檢查一匹布中，事件“至少有一個疵點”的對立事件是“沒有疵點”?！　?三)事件的運算事件的運算有下列四種?！　　　?3)相等:在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A與B含有相同的樣本點，則稱事件A與B相等，記為A=B。這時事件A與B不可能同時發(fā)生，如在電視機壽命試驗里，“電視機壽命小于1萬小時”與“電視機壽命超過4萬小時”是兩個互不相容事件，因為它們無相同的樣本點，或者說，它們不可能同時發(fā)生。顯然，對任一事件A，有ΩAφ?！　?1)包含:在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A中任一個樣本點必在B中，則稱A被包含在B中，或B包含A，記為AB，或BA，這時事件A的發(fā)生必導致事件B發(fā)生?！　ˇ?{(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}　　下面幾個事件可用集合表示，也可用語言表示?！　=“至少有一件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)}；　　B=“至少有一件不合格品”={(0，1)，(1，0)，(1，1)}C=“恰好有一件合格品”={(0，1)(1，0)}；　　Ω=“至多有兩件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}；　　φ=“有三件不合格品”?！　ˇ?{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}其中樣本點(0，1)表示第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，其他樣本點可類似解釋?！　　　]若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格，并記合格品為“0”，不合格品為“1”?！　?5)任一樣本空間Ω都有一個最小子集，這個最小子集就是空集，它對應的事件稱為不可能事件，記為φ?！　?4)任一樣本空間Ω都有一個最大子集，這個最大子集就是Ω，它對應的事件稱為必然事件，仍用Ω表示?！　?2)事件A發(fā)生當且僅當A中某一樣本點發(fā)生，若記ω1，ω2是Ω中的兩個樣本點():　　當ω1發(fā)生，且ω1∈A(表示ω1在A中)，則事件A發(fā)生；　　當ω2發(fā)生，且ω2A(表示ω2不在A中)，則事件A不發(fā)生。　　　　從隨機事件的定義可見，事件有如下幾個特征:　　(1)任一事件A是相應樣本空間Ω中的一個子集?！　　皰佉幻队矌拧钡臉颖究臻gΩ={正面，反面}；　　“擲一顆骰子”的樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}；　　“一顧客在超市中購買商品件數(shù)”的樣本空間Ω={0，1，2，…}；　　“一