【正文】 ．（1）求證：是的中點(diǎn)；（2）如果，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．難度一般解（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE．∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．∴AF=DC.∵AF=BD，∴BD=CD.，∴D是BC的中點(diǎn)．（2）四邊形AFBD是矩形，∵AB=AC，是的中點(diǎn),∴AD⊥BCBN=（1+x）（1－x）= －x， （0x1）；（3）由四邊形BGMP是菱形，則有BG=MG，即x=（1－x）?！郈G=CM=BN=1－x。∴四邊形MPBG是平行四邊形； （2）∵正方形BEFG，∴BG=BE=x。∴DB∥ME。 （圖中的三角形多是等腰直角三角形，）證明：（1）∵ABCD、BEFG是正方形∴∠CBA=∠FEB=90176。 1如圖，在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG（BEAB），連接EG并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)M，作MN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，MN交BD于點(diǎn)P，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1。 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90176。第一問(wèn)，證全等即可得AE=BF，AF=DE。． ∴FG=AM= AG，EH=BM= BH． ∴FG= DH，DG= EH， ∠GAF =∠GFA，∠HBE =∠HEB．∴∠FGM =2∠FAM，∠EHM =2∠EBM．∵∠FAM=∠EBM，∴∠FGM =∠EHM．∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．在△EHD與△DGF中，EH = DG，∠EHD =∠DGF，HD = GF，∴△EHD≌△DGF． ∴DE=DF． 1 如圖①，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F?！拷猓海?）∵矩形OABC中，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為，圖6 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則； 若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則；若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則．①當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，即時(shí)，（如圖6） ∵點(diǎn)E在直線上，圖7當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴． ②當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上時(shí)，即時(shí)，（如圖7） ∵點(diǎn)D，E在直線上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴ ． 綜上可得：圖8（2）DM=ME=EN=ND．證明：如圖8．∵四邊形OABC和四邊形O′A′B′C′是矩形，∴CB∥OA， C′B′∥O′A′，即DN∥ME，DM∥NE．∴四邊形DMEN是平行四邊形，且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的圖形為矩形O′A′B′C′，∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．∴ND=NE．∴四邊形DMEN是菱形．∴DM=ME=EN=ND． （3）答：?jiǎn)栴}（2）中的四邊形DMEN中，ME的長(zhǎng)為 2. 5 ． 1探究問(wèn)題1 已知：如圖1，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF．若DE=DF，則的值為_(kāi)____． 拓展問(wèn)題2 已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且∠MAC=∠MBC，過(guò)點(diǎn)M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：DE=DF．推廣問(wèn)題3 如圖3，若將上面問(wèn)題2中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（第三問(wèn)，取BM和AM的中點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，）122某區(qū)的模擬題與此高度相似，圖9問(wèn)題1 的值為 1 ． 問(wèn)題2 證明：如圖9．∵CB=CA，∴∠CAB=∠CBA．∵∠MAC=∠MBC，∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC， 即∠MAB=∠MBA．∴MA=MB．∵M(jìn)E⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠AFM=∠BEM=90176?！竞煤脤W(xué)習(xí)第一問(wèn)的解題方法，第二問(wèn)由兩組平行可得平行四邊形，∠OED=∠O1ED（對(duì)稱性質(zhì)），得菱形?！嗨倪呅蜛BFD為矩形．∴BF= AD=，AB= DF． ∴FC= BC－BF =． ∵Rt△DFC中，∠DFC=90176?！唷螦=90176。；M到CD的距離也就是Rt△DMC斜邊的高M(jìn)N，MN的平方=DN乘以NC=AD乘以BC=ab，） 證明：（1）延長(zhǎng)DM，CB交于點(diǎn)E．（如圖3）∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADM=∠BEM．圖3∵點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，∴AM=BM．在△ADM與△BEM中，∠ADM=∠BEM， ∠AMD=∠BME， AM=BM，∴△ADM≌△BEM． ∴AD=BE=，DM=EM．∴CE=CB+BE=．∵CD=，∴CE=CD． ∴CM⊥DM． 圖4解：（2）分別作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)N，F(xiàn)．（如圖4）∵CE=CD，DM=EM， ∴CM平分∠ECD． ∵∠ABC= 90176。AD=，BC=，DC=，且，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)．（1）求證：CM⊥DM；（2）求點(diǎn)M到CD邊的距離．（用含，的式子表示）（我認(rèn)為答案的思路不是最好。最終得△OPQ是等腰直角三角形，可得PQ=2，從而求得PB=6，在Rt△APB中由勾股定理得的值。）閱讀下列材料：小明遇到一個(gè)問(wèn)題：AD是△ABC的中線， 點(diǎn)M為BC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)M作一直線，使其等分△ABC的面積．他的做法是：如圖1，連結(jié)AM，過(guò)點(diǎn)D作DN//AM交AC于點(diǎn)N，作直線MN，直線MN即為所求直線．D圖1MBANC 請(qǐng)你參考小明的做法，解決下列問(wèn)題：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AE平分ABCD的面積，M為CD邊上一點(diǎn)，過(guò)M作一直線MN，使其等分四邊形ABCD的面積（要求：在圖2中畫出直線MN，并保留作圖痕跡）；圖3圖2（2）如圖3，求作過(guò)點(diǎn)A的直線AE，使其等分四邊形ABCD的面積（要求：在圖3中畫出直線AE，并保留作圖痕跡）．（第二問(wèn)，把△ABC的面積接到DC的延長(zhǎng)線上。即△AGD是（特殊）直角三角形。 ∴AF＝FG∵AF＝FD，　∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30176?！唷?＝∠EFC＝∠AFG＝60176?！逜B＝CD，　∴HF＝HE，∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠EFC。證明：如圖聯(lián)結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)HF、HE， ∵F是AD的中點(diǎn)，∴∠1＝∠3。（也可問(wèn)∠ADG的度數(shù)。在Rt△PDH中，即，解得，∴PH＝（6分）（6分）如圖