【正文】 nnnz z z z nz??? ? ? ???? ? ????? ? ? ? ? ? ?1212121 2 2 11 1 2 1 2222()()39。 0 0l im ( ) ( )zz f z f z? ?注：極限的定義要求 z 以任意的方式趨于 z0 時(shí)，極限均為 f(z0) ，而在實(shí)變函數(shù)中， f(x)在 x=x0 處的連續(xù)性僅要求 x 從小于 x0 和大于 x0兩個(gè)方向趨于 x0 時(shí)， f(x)有相同的極限值。如果任給實(shí)數(shù) ? 0，若存在實(shí)數(shù) ? 0，當(dāng) D 內(nèi)的 z 滿足 0 ?zz0 ? ? 時(shí)，有 ?f (z) w0 ??，則稱 f (z)當(dāng) z 趨于 z0 時(shí)有極限 w0，記作： 幾何意義 當(dāng) z 在 Z 平面進(jìn)入以 z0為圓心， ? 為半徑的圓 C?時(shí) ,相應(yīng)的 w = f (z)就在 W平面進(jìn)入以 w0為圓心， ?為半徑的圓 C?內(nèi)。定義表示，當(dāng) nN 時(shí)，所有的 zn都進(jìn)入圓 C?內(nèi)， ?取值足夠小，對(duì)于 nN的 n，非常接近于 z0，這就是序列{zn}以 z0為極限的幾何意義。若任給實(shí)數(shù) ?0，存在自然數(shù) N，當(dāng) nN 時(shí)，有 ?znz0 ?? ，則稱 {zn}以 z0為極限。函數(shù)關(guān)系很難用圖形表示。 31 鄰域 z 復(fù)平面上圓 ?內(nèi)點(diǎn)的集合 內(nèi)點(diǎn) z 和它的鄰域都屬于 B， 則 z 為 B 的內(nèi)點(diǎn) 外點(diǎn) z 和它的鄰域都不屬于 B， 則 z 為 B 的外點(diǎn) 境界點(diǎn) 不是內(nèi)點(diǎn)，也不是外點(diǎn)的點(diǎn) 境界線 全體境界點(diǎn)的集合 z ?區(qū)域 內(nèi)點(diǎn)組成的連通集合 閉區(qū)域 區(qū)域和境界線的全體 區(qū)域 rzz ?? 0區(qū)域概念總結(jié) 32 多項(xiàng)式 nn zazazaa ???? ?2210有理分式 mmnnzbzbzbbzazazaa??????????22102210根式 nn zazazaa ???? ?2210指數(shù)函數(shù) )s i n( c o s yiyeeeee xiyxiyxz ???? ?三角函數(shù) ieezeez iziziziz2s i n,2c os?? ????雙曲函數(shù) 2s i nh,2c os hzzzz eezeez?? ????對(duì)數(shù)函數(shù) ??? ? iez i ??? lnlnln冪函數(shù) ?? isss ez ?(三 ) 復(fù)變函數(shù)例 實(shí)周期 2? 純虛數(shù)周期 2?i 純虛數(shù)周期 2?i 33 復(fù)變函數(shù) w=u+iv是兩個(gè)函數(shù)的組合，實(shí)部 u 和虛部 v 。 內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn) 開(kāi)集 注意 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的 定義 若點(diǎn)集 G的點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，則稱 G為 開(kāi)集 30 定義 點(diǎn)集 G稱為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足： (1)G是一個(gè)開(kāi)集； (2)G是連通的，就是說(shuō) G中任何兩點(diǎn) z1和 z2都可以用完全屬于 G的一條折線連接起來(lái)。如果存在 z0的一個(gè)鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于 G，則稱 z0為G的內(nèi)點(diǎn)；若點(diǎn) z0的某一個(gè)鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于 G，則稱點(diǎn) z0為 G的外點(diǎn)。 由不等式 0zz ???00 zz ?? ? ?所確定的點(diǎn)集為 z0的去心 ε鄰域或去心鄰域。 B為此函數(shù)的定義域，記 y=f(x) 。 實(shí)函數(shù)定義 : 對(duì)于實(shí)數(shù)域中一區(qū)域 B 中的每一實(shí)數(shù) x 都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù) y 與之對(duì)應(yīng)。 ∞ ， 無(wú)意義 00 ,??關(guān)于新“數(shù)” ∞還需作如下幾點(diǎn)規(guī)定： 擴(kuò)充復(fù)平面的一個(gè)幾何模型就是復(fù)球面 21 222111 , iyxziyxz ????加法 )()( 212121 yyixxzz ????? 2121 zzzz ???減法 )()( 212121 yyixxzz ????? 2121 zzzz ???乘法 )()( 1221212121 yxyxiyyxxzz ???????除法 )(21222221122222212121 21 ???? ???????? ieyxyxyxiyxyyxxzz冪（ n整數(shù)） ?? innn ez ?根 ninn ez /???逼近 000 , yyxxzz ????（三）復(fù)數(shù)的運(yùn)算 交換律、結(jié)合律、分配律成立 22 例 求 1的 n次方根，討論根在復(fù)平面單位圓周上的位置 . 【解】 設(shè)方根為kw，根據(jù) 上面公式 有 2 πi1 kn nk e??w ? ?0 , 1 , 2 , , 1kn?? … 當(dāng) n =2 時(shí)，其根為 1? . 對(duì)應(yīng)于單位圓與實(shí)軸的兩交點(diǎn) . 2 πi 2 π 2 π[ c o s ( ) i s in ( ) ] , ( 0 , 1 , 2 , , 1 )knnnkkkennkn? ????? ??? ? ?? ? ? ? ?w復(fù)數(shù)的方根 ninn ez /???23 當(dāng) 3?n 時(shí)，各根分別位于單位圓 1?z 的內(nèi)接正多邊 形的頂點(diǎn)處，其中一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)著主根：0 1 , ( 0 )k??w. 圖 ( ) 表示當(dāng) n = 3,4 和 6 時(shí)根的位置分布情況 . 1w y y 1w y 1w 2w 1 3w x 2w 3w 4w 5w n = 3 n = 4 n =6 圖 1 . 4 03 1ww 課后閱讀：正 17邊形問(wèn)題 —— 復(fù)數(shù)在幾何學(xué)的一個(gè)應(yīng)用 費(fèi)馬數(shù) 12F n2n ?? 0 1 23 , 5 , 17F F F? ? ?24 i π0 a r gi4zz????作業(yè)： P6， 1, 3（ 7）（ 8） 例：不等式 所確定的點(diǎn)集 [ 解法 1] 等式i πa r gi4zz???表示到兩定點(diǎn)i , i?的張角 之差 等于定數(shù)π4的點(diǎn) z 的集合 . 由平面幾何知，這是缺了點(diǎn) i 和 i? 的兩個(gè)圓弧 . 見(jiàn)圖，圖中兩個(gè)圓弧實(shí)際上只有實(shí)線圓弧才是i πa r gi4zz???所確定的點(diǎn)集；虛線圓弧是i πa r gi4zz???所確定的點(diǎn)集 . 等式 ia r g 0izz???確定的點(diǎn)集 : 虛軸上點(diǎn) i 以上，點(diǎn) i? 以下的點(diǎn)的全體 。 ??????? aa(4)運(yùn)算 ∞ 177。 NA ’AS20 (1) ∞ 的實(shí)部，虛部及幅角都無(wú)意義， ????(2)b≠0( 但可為 ∞ )時(shí)， ,????? bb。故我們?yōu)榉奖?，將無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作一個(gè)點(diǎn)。這個(gè)投影叫 測(cè)地投影 ，這個(gè)球叫 復(fù)數(shù)球 。 復(fù)球面 復(fù)平面的無(wú)限遠(yuǎn)處看成一個(gè)“點(diǎn)” ——無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn) 包括有無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)數(shù)平面稱為擴(kuò)充了的復(fù)平面 實(shí)數(shù)： (?,+?)→ [ ?,+?] 模有限的復(fù)數(shù)跟復(fù)平面上的有限遠(yuǎn)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)