【正文】 …，cm的公比為q．因?yàn)閏2≤，所以q＝≤． 從而＝c1qn－1≤（1≤n≤m，n∈N*）． 所以c1＋c2＋…＋cm≤＋＋＋…＋＝[1－] ＝－． ………… 13分設(shè)函數(shù)f(x)＝x－，（m≥3，m∈N*）．當(dāng)x∈(0，＋∞)時，函數(shù)f(x)＝x－為單調(diào)增函數(shù)．因?yàn)楫?dāng)t∈N*，所以1＜≤2． 所以f()≤2－．即 c1＋c2＋…＋cm≤2－． ……… 16分（南京三模）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn，且對任意的m，n∈N*，都有(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n． （1）求的值；（2）求證：{an}為等比數(shù)列；（3）已知數(shù)列{}，{dn}滿足||＝|dn|＝an，p(p≥3)是給定的正整數(shù)，數(shù)列{}，{dn}的前p項(xiàng)的和分別為Tp，Rp，且Tp＝Rp，求證：對任意正整數(shù)k(1≤k≤p)，ck＝dk．解：（1）由(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m，得(S2＋S1)2＝4a，即(a2＋2a1)2＝4a．因?yàn)閍1＞0，a2＞0，所以a2＋2a1＝a2，即＝2． ………………………… 3分證明：（2）（方法一）令m＝1，n＝2，得(S3＋S1)2＝4a2a4，即(2a1＋a2＋a3)2＝4a2a4，令m＝n＝2，得S4＋S1＝2a4，即2a1＋a2＋a3＝a4．所以a4＝4a2＝8a1．又因?yàn)椋?，所以a3＝4a1． ………………………… 6分由(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m，得(Sn＋1＋S1)2＝4a2na2，(Sn＋2＋S1)2＝4a2na4．兩式相除，得＝，所以＝＝2．即Sn＋2＋S1＝2(Sn＋1＋S1)，從而Sn＋3＋S1＝2(Sn＋2＋S1)．所以an＋3＝2an＋2，故當(dāng)n≥3時，{an}是公比為2的等比數(shù)列．又因?yàn)閍3＝2a2＝4a1，從而an＝a1 10分18．在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)；（2）問是否存在正整數(shù)，使得成立？如果存在，請求出的關(guān)系式；如果不存在，請說明理由．18．解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則 ………………………………………………………2分解得． …………………………………………………………………4分所以． …………………………………………………………6分（2）因?yàn)椋? ………………………………………7分所以有．………（*）若，則，（*）不成立，所以，．………9分若為奇數(shù)，①當(dāng)時，不成立， …………………………………10分②當(dāng)時，設(shè)，則 ……12分若為偶數(shù)，設(shè)，則，因?yàn)椋裕?4分綜上所述，只有當(dāng)為大于1的奇數(shù)時，．當(dāng)為偶數(shù)時，不存在． …………………………………………………………16分?jǐn)?shù)列、滿足：，；（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列、都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，試判斷當(dāng)時，數(shù)列是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論．19．證明：（1）設(shè)數(shù)列的公差為．∵，∴，∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列． ………………4分（2）當(dāng)時，．∵，∴，∴，∴．∵數(shù)列，都是等差數(shù)列，∴為常數(shù)，∴數(shù)列從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列． ………………10分（3）數(shù)列成等差數(shù)列．解法1 設(shè)數(shù)列的公差為．∵，∴，∴，…，∴．設(shè)，∴，兩式相減得，即，∴，∴，∴．　　　　　　　　 ………………12分令，得．∵，∴，∴．∴，∴，∴數(shù)列（）是公差為的等差數(shù)列．　　　　 ………………14分∵，令，即，∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．　　　　　　　　　 ………………16分解法2 ∵，令，即． ………………12分∵，∴．∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴，∴．　　 ……………14分∵，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列．…………16分（泰州二模）已知，都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和， 是公差為的等差數(shù)列．（1）若數(shù)列是常數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若（是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若（為常數(shù)，），求證：對任意的，數(shù)列單調(diào)遞減．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列，所以，則由及得，當(dāng)時，兩式相減得， 當(dāng)時，也滿足，故． …………4分（2）因?yàn)椋?dāng)時，兩式相減得，即，即，又，所以，即，所以當(dāng)時，兩式相減得，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是公差為等差數(shù)列；又當(dāng)時，由得，當(dāng)時，由得，故數(shù)列是公差為等差數(shù)列． …………15分（3）由（2）得當(dāng)時，即，因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以，?dāng)時，兩式相減得 ，即，故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，所以當(dāng)時，另外由已知條件得，又，所以，因而，令，則，因?yàn)?，所以，所以對任意的，?shù)列單調(diào)遞減． ……………16分已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)數(shù)列滿足．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列，都是以2為公比的等比數(shù)列，求滿足不等式的所有正整數(shù)n的集合．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以， …………………………………………1分由，得，及由，又由，得對一切都成立， ………………………………………………………………3分即對一切都成立．令，解之得或　經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以的通項(xiàng)公式為或． …………………………………………5分（2）由題意得，．…………………………………6分． ……………………………………………………7分 ． ………………………………………8分． ………………………9分記，即， ……………10分記，則 ，當(dāng)，2，3時，當(dāng)時， …………………………12分因?yàn)闀r，所以；且；．所以在時也是單調(diào)遞增， …………14分時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，所以滿足條件的正整數(shù)n的集合為｛1，2，3，4，5，6｝．………………………16分（南京鹽城模擬一）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對于正整數(shù)，（），求證：“且”是“，這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”的充要條件；（3）設(shè)數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)，都有，且集合，N*}中有且僅有3個元素，試求的取值范圍．解：（1）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，又，；…………4分（2）（ⅰ）必要性：設(shè)，這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，①若，則， …………6分②若，則，左邊為偶數(shù)，等式不成立．③若，同理也不成立．綜合①②③，得，所以必要性成立. …………8分（ⅱ）充分性：設(shè)，則，這三項(xiàng)為，即，調(diào)整順序后易知， 成等差數(shù)列，所以充分性也成立.綜合（ⅰ）（ⅱ），原命題成立. …………10分（3）因?yàn)椋?，?）當(dāng)時，（**）則（**）式兩邊同乘以2，得，（***）（*）－（***），得，即．又當(dāng)時，即，適合，.…14分，時，即；時，此時單調(diào)遞減，又，． ……………16分（揚(yáng)州期