廣州市高二數(shù)學(xué)競賽試題-文庫吧資料
2025-01-14 21:21本頁面
【正文】 ??，單調(diào)遞減區(qū)間為 110, aa??? ? ?????. 若 0a? ，則 120, 0xx??， 此時，當(dāng) ? ?20,xx? 時， ? ?39。 0,hx? ∴函數(shù) ??hx的單調(diào)遞增區(qū)間為 ? ?0,?? . （ⅱ）當(dāng) 0?? ，即 1a?? 時，方程 2 2 1 0ax x? ? ? 的兩個實(shí)根分別為 1 2 4 4 1 12 aax aa? ? ? ? ? ???，2 11ax a? ? ??. 若 10a? ? ? ，則 120, 0xx??， 此時，當(dāng) ? ?10,xx? 時， ? ?39。 0,hx? 得 12x? . ∴函數(shù) ??hx的單調(diào)遞增區(qū) 間為 10,2??????，單調(diào)遞減區(qū)間為 1,2????????. ② 當(dāng) 0a? 時，令 ? ?39。 12xhx x?? ， 令 ? ?39。 ∴ 點(diǎn) P 的軌跡是以點(diǎn) 1,02F??????為焦點(diǎn)，直線 12x?? 為準(zhǔn)線的拋物線 . ∴ 曲線 C 的方程為 2 2yx? . 解法 2:設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ? ?,xy , 依題意得 , 2 213 122x y x??? ? ? ? ?????. 當(dāng) 32x?? 時 , 得 2 21122x y x??? ? ? ?????, 化簡得 2 2yx? . 當(dāng) 32x?? 時 , 得 2 21522x y x??? ? ? ? ?????得 52x?? 化簡得 2 6 6 0yx? ? ? ,得 1x?? ,矛盾 . ∴ 曲線 C 的方程為 2 2yx? . (2)解 :設(shè) A 、 B 的坐標(biāo)分別為 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,x y x y ,線段 AB 的中點(diǎn)為 ? ?00,D x y . 由21 0,? ? ??? ?? 消去 x ,得 2 2 2 0yy? ? ? . ∴ 1 2 1 22 , 2y y y y? ? ? ? ?. ∴ 120 12yyy ?? ? ?, 0012xy? ? ? . ∴點(diǎn) ? ?2, 1D ? . 7 ? ? ? ?21 2 1 21 1 4A B y y y y??? ? ? ? ???26. 假設(shè)曲線 C 上存在點(diǎn) Q ,使△ QAB 為等邊三角形 ,設(shè)點(diǎn) ? ?33,Qx y , 由 DQ AB? ,得 ? ?331 112yx ? ? ? ? ?? ,即 3330xy? ? ? . 又 33 1 3 3222xyD Q A B??? ? ?,得 3316xy? ? ?? . 由 33333 0,16xyxy? ? ??? ? ? ??或 33333 0,1 ? ? ??? ? ? ? ?? 解得 335,2,xy??? ??或 331,4,xy ???? ??? ∴點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ? ?5,2 或 ? ?1, 4?? . ∵點(diǎn) ? ?5,2 或 ? ?1, 4?? 不在曲線 C 上 , ∴ 曲線 C 上不存在點(diǎn) Q ,使△ QAB 為等邊三角形 . 14.(1) 解 : 當(dāng) 1n? 時 , ? ?1 1 111 aa S aa? ? ??, 解得 1aa? , 當(dāng) 2n? 時 , ? ? ? ?111111n n n n naaa S S a a??? ? ? ? ? ???, 整理得 1nna aa??? . ∴數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 a ,公比為 a? 的等比數(shù)列 . ∴ ? ? ? ?1nnna a a a?? ? ? ? ?. (2)解 :由 (1)得 ? ?11 nn aSaa ??? ? ????,則 1nn nSb a?? ? ?? ?211
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