【正文】 INGHUA UNIVERSITY R ? ?R x y xy? ? ?12 42 2? ? ?? ?x y?2? ?O C TSINGHUA UNIVERSITY —— 半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍； —— 半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致； —— 應(yīng)力圓上某 一點(diǎn)的坐標(biāo)值 對(duì)應(yīng)著微元某一 方向面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力； 二、 應(yīng)力圓的畫(huà)法 點(diǎn)面對(duì)應(yīng) 轉(zhuǎn)向?qū)?yīng) 二倍角對(duì)應(yīng) TSINGHUA UNIVERSITY 點(diǎn)面對(duì)應(yīng) ?y?yx?xy?x??C E e TSINGHUA UNIVERSITY ??C D ?y?yx?xy?xe n ? E 2? 轉(zhuǎn)向?qū)?yīng) 二倍角對(duì)應(yīng) 與二倍角對(duì)應(yīng) x d TSINGHUA UNIVERSITY ??O C D(?x ,?xy) D’(?y ,?yx) 建立坐標(biāo)系 由面找點(diǎn) 確定圓心和半徑 ?xyA ?y?yxB x?具體作圓步驟 xyyyxTSINGHUA UNIVERSITY ??O C D(?x ,?xy) ?y?yxB D’(?y ,?yx) 建立坐標(biāo)系 由面找點(diǎn) 確定圓心和半徑 ?xyA x?再將上述過(guò)程重復(fù)一次 TSINGHUA UNIVERSITY 在應(yīng)用過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)將應(yīng)力圓作為思考、分析問(wèn)題的工具，而不是計(jì)算工具。?30??M P a ，60?x? M P a ,30xy ??,M P a40y ??已知 TSINGHUA UNIVERSITY （ 1） ? 斜面上的應(yīng)力 ???????? ? 2s i n2c os22 xyyxyx ?????)60s i n(30)60c os (2 40602 4060 ?? ???????M ??????? ? 2c os2s i n2 xyyx ???)60c os (30)60s i n(2 4060 ?? ?????M ??y?? x?xy?α =30 。 例題 3：一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)如圖。 試： 1．寫(xiě)出主應(yīng)力 ? ? ?3的表達(dá)式； 2．若已知 ?x＝ MPa， ?xy= MPa， 當(dāng)坐標(biāo) 軸 x、 y反時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) α =120?后至 x′、 y ′ ，求 : ??、 τ? 。 σ τ 3PP 3 32 0 k N 1 0 6 3 7 M Paπ π 5 0 m m 1 0 2 m m 1 0 .FFAD? ??? ? ? ?＝ ＝ ＝ ＝? ? 22 3 3P2 2 6 0 0 N m 7 6 4 M Paπ π 5 0 m m 1 0 2 m m 1 0 .xM MeWd? ???? ? ? ?＝ ＝ ＝ ＝TSINGHUA UNIVERSITY 3． 求斜截面上的應(yīng)力 σx＝ MPa， σy＝ 0， τxy＝ 一 MPa， α ＝ 120186。的斜截 面上的應(yīng)力； 2. D點(diǎn)主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 。m， 軸向載荷 FP＝ 20 kN。 已知圓管的平均直徑 D＝ 50 mm， 壁厚 δ＝ 2 mm。因此 ， 當(dāng)研究平行于 σ 3的這一組方向面上的應(yīng)力時(shí) ， 所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)： Ⅲ 組方向面內(nèi)的最大切應(yīng)力 。因此 ， 當(dāng)研究平行于 σ 2的這一組方向面上的應(yīng)力時(shí) ， 所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)： σx=σ1,σ y=σ 3， τ xy＝ 0。 在平行于主應(yīng)力 σ1方向的任意方向面 Ⅰ 上 ， 正應(yīng)力和剪應(yīng)力都與 σ1無(wú)關(guān) 。 考察微元三對(duì)面上分別作用著三個(gè)主應(yīng)力（ σ 1σ 2σ 3 ? 0） 的應(yīng)力狀態(tài) 。 xyyxτ22??? ?＝1t an ??????? c os 2s i n22 xyyx ???2xy2yx )2( ??? ????minmax???特別指出 : 二者不一定是過(guò)一點(diǎn)的所有方向面中剪應(yīng)力的 最大 和 最小 值 。 用主單元體表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) TSINGHUA UNIVERSITY 由此得出另一特征角 ， 用 α 1表示 對(duì) α 求一次導(dǎo)數(shù) ， 并令其等于零； 不同方向面上的切應(yīng)力亦隨著坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)而變化 ， 因而剪應(yīng)力亦可能存在極值 。 Py? Px?ypxp主單元體 同一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以有無(wú)窮多種表達(dá)形式。x39。 39。?y39。坐標(biāo)系 ?x y39。 TSINGHUA UNIVERSITY ?y?yx?xy?xxyxy坐標(biāo)系 x180。 ??minmax??2xy2yxyx )2(2 ????? ?????????????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ?????TSINGHUA UNIVERSITY 將三個(gè)主應(yīng)力代數(shù)值由大到小順序排列 。39。 0σ??? ?這一主平面上的主應(yīng)力等于零。 求正應(yīng)力的極值面 0c os 22s i n2dd xyyx ????? ??????? ? )(yxxyτ22??? ?＝－t an主應(yīng)力是所有方向面上的正應(yīng)力的極值。 TSINGHUA UNIVERSITY 純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位 TSINGHUA UNIVERSITY 主平面、主應(yīng)力與主方向 平面應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力 面內(nèi)最大切應(yīng)力 過(guò)一點(diǎn)所有方向面中的最大切應(yīng)力 主應(yīng)力、主平面 ，最大切應(yīng)力 TSINGHUA UNIVERSITY yxxyτ22????＝－0t an主平面、主應(yīng)力與主方向 切應(yīng)力 ?α =0的方向面為主平面。)， 壓應(yīng)力最大 。)， 拉應(yīng)力最大； α ＝－ 45186。 α ＝ 45186。 進(jìn)行 鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)時(shí) ， 正是沿著最大拉應(yīng)力作用面 （ 即－ 45186?；?α ＝－ 45186。y39。y39。 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為純剪應(yīng)力狀態(tài)。y39。 因此，可以認(rèn)為屈服是由最大切應(yīng)力引起的。 軸向拉伸時(shí)最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線夾 45186。時(shí) ， 斜截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力 ， 其值分別為 在所有的方向面中 ， 45186。y39。 平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力公式 ???????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ??????????? ? c os 2s i n22 xyyx ???x? x?TSINGHUA UNIVERSITY ?y＝ 0， ?yx＝ 0。y39。 TSINGHUA UNIVERSITY 分析軸向拉伸桿件的最大剪應(yīng)力的作用面，說(shuō)明低碳鋼拉伸時(shí)發(fā)生屈服的主要原因。 dA ? ??x ? 平衡方程 ? ? ? ? cos ) cos ( dA x ? ? ? ? y dA ( sin ) sin ?0dA ? ?? ? ? ? dA ( cos ) sin xy ? ? ? ? dA ( sin ) cos yx TSINGHUA UNIVERSITY ? ?? 0 yF?xy?y? yx ｙ ? dA ? ????x ? 平衡方程 ? ? dA ? ? ? ? x dA ( cos ) sin ? ? ? ? xy dA ( cos ) cos ? ? ? ? y dA ( sin ) cos ? ? ? ? yx dA ( sin ) sin ?0TSINGHUA UNIVERSITY 平面應(yīng)力狀態(tài)中 任意方向面上 正應(yīng)力與切應(yīng)力的表達(dá)式： 3 平面應(yīng)力狀態(tài)中任意方向面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力 ???????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ??????????? ? c os 2s i n22 xyyx ???TSINGHUA UNIVERSITY 用 斜截面截取，此截面上的應(yīng)力為 2p?? ?????????? ? 2s i n2c os22 xyyxyx ??????????? ? 2c os2s i n2 xyyx ?????x?yyx??xy????????TSINGHUA UNIVERSITY ?x?yyx??xy?????????? ?? ??yx ???? ?? ???即單元體兩個(gè)相互垂直面上 的正應(yīng)力之和是一個(gè)常數(shù)。x ??微元體平衡 x180。 x?xy?yx?y?????x y ?x?y?yx?xy? 截取微元體 TSINGHUA UNIVERSITY ? 平衡對(duì)象 0F 39。y39。 yx?yx?方向角 ?的符號(hào)約定 由 x正向 逆時(shí)針 轉(zhuǎn)到截面外法線 x‘ 正向?yàn)檎? 反之為負(fù)。 切應(yīng)力符號(hào)約定 xy?39。 主應(yīng)力、主平面，最大切應(yīng)力 。 微元的局部平衡 。 A：縱、橫兩截面均不是主平面； B：橫截面是主平面、縱截面不是主平面； C：縱、橫二截面均是主平面； D：縱截面是主平面，橫截面不是主平面； TSINGHUA UNIVERSITY 167。 72 二向和三向應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例 TSINGHUA UNIVERSITY 球型壓力容器 TSINGHUA UNIVERSITY 一、承受內(nèi)壓圓柱型薄壁容器任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) TSINGHUA UNIVERSITY ｐ （壁厚為 t，內(nèi)直徑為 D， tD，內(nèi)壓為 p） L 圓柱型薄壁容器任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) TSINGHUA UNIVERSITY Ｄ ? ｐ πD２ ４ t D p x ? ｐ 0?? xF4DpDt 2xpp? ?t4pDx ??x?x?軸線方向的應(yīng)力 TSINGHUA UNIVERSITY ｐ ｐ Ｄ ｌ 0?? yF0lDplt2y ???????t2pDy ??橫向應(yīng)力 y?y?l2ty ???TSINGHUA UNIVERSITY x ? y ? x ? y ? 承受內(nèi)壓圓柱型薄壁容器任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) : 二向不等值拉伸應(yīng)力狀態(tài) TSINGHUA UNIVERSITY 二、承受內(nèi)壓球型薄壁容器任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) （壁厚為 t，內(nèi)直徑為 D， tD，內(nèi)壓為 p） ｐ TSINGHUA UNIVERSITY ｐ tDy ??p?4Dp 2p?0?? yF04DptD2y ?????pp?4tpDy ??y?y?TSINGHUA UNIVERSITY ｐ tDx ??p?4Dp 2p?x?0F x ??04DptD2x ?????pp?4tpDx ??σ x σy TSINGHUA UNIVERSITY 三向應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例 滾珠軸承中，滾珠與外圈接觸點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) σ Z σx σy 火車車輪與鋼軌的接觸點(diǎn)處于幾向應(yīng)力狀態(tài)？ TSINGHUA UNIVERSITY 已知薄壁容器的內(nèi)壓為ｐ，內(nèi)徑為 D，壁厚為ｔ，