備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)備考之平行四邊形壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)-易錯(cuò)-難題篇含答案(1)-文庫吧資料
2025-03-31 22:30本頁面
【正文】 形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如圖2，連接AE，∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45176?！唷螩DE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四邊形CEGF平行四邊形，∴FG∥CE，F(xiàn)G=CE．10．猜想與證明：如圖1，擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展與延伸：（1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為 ．（2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，證明見解析；（2）成立，證明見解析.【解析】試題分析：延長EM交AD于點(diǎn)H，根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根據(jù)Rt△HDE得到HM=DE，則可以得到答案；（1）、延長EM交AD于點(diǎn)H，根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根據(jù)Rt△HDE得到HM=DE，則可以得到答案；（2）、連接AE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠FCE=45176。．在△CBF與△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90176。．∵∠GEH+∠HGE=90176。EC（2）四邊形AECF是菱形∵△ADE≌△B39。C且∠DEA＝∠B39。∴∠D＝∠B39。利用AAS證明全等，則結(jié)論可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，則可證四邊形AECF是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊∴BC＝B39。C，∠B=∠D=∠B39。,∴∠3=∠4,易證△PEM≌△PQM, △PNQ≌△PNC,∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90176。（3）如圖，∵E、Q關(guān)于BP對(duì)稱，PN∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45176?！螧PC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE。(∠BPC45176?！螪CP,∠DCP=∠BPC∠PDC=∠BPC45176?！螧PC,∵∠PAE=90176。+90176。（3）根據(jù)已經(jīng)條件證出△MNQ是直角三角形，計(jì)算直角邊乘積的一半可得其面積.【詳解】(1) 證明：∵點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90176。對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，等角對(duì)等邊等性質(zhì)容易得證?！唷鱌HF∽△PDE，∴，∴PE=2PF．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．7．如圖1，在正方形ABCD中，AD=6，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接PA，PC過點(diǎn)P作PE⊥PC交直線AB于E．（1） 求證：PC=PE?！螪PE+∠HPE=90176?！郞F==2，∴EF=；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90176。15176?！鰽OF≌△DOE，∴∠AOF=15176?！唷螦OF+∠AOE=90176?！唷螦OE+∠DOE=90176。時(shí)，求線段EF的長；（2）如圖2，若Rt△PFE的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD=3BP時(shí)，證明：PE=2PF．【答案】（1）①證明見解析，②；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得：△AOF≌△DOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可；（2）首先過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45176?！嘣赗t△CDF中，由勾股定理得：CF=，∴BF=BCCF=9，由翻折不變性可知，F(xiàn)B=FB′=，∴B′D=DFFB′=.【點(diǎn)睛】四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用翻折不變性解決問題．6．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，在Rt△PFE中，∠EPF=90176。由翻折的性質(zhì)可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=21176。﹣2∠F，∵BG＝BF，∴∠GBF＝180176。K＝3t﹣9，在Rt△PKG39。＝t﹣3，在Rt△F39。＝4，∴S＝；當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)移動(dòng)到F39。N＝15﹣3t，在Rt△DMH39。＝FN＝t，EM＝NG39。NF中，=，∴FN＝t，F(xiàn)39。中，＝＝，t=7，S=15（157）=120.【詳解】（1）設(shè)直線DE的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，將點(diǎn)E（30，0），點(diǎn)D（0，40），∴，∴，∴y＝﹣x+40，直線AB與直線DE的交點(diǎn)P（21，12），由題意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝10，∴當(dāng)點(diǎn)F1移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，t＝10＝10；②當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)移動(dòng)到F39。PK中，=，PK=t3，F(xiàn)39。N=153t，在Rt△DMH39。NF中，=，EM=NG39。=10；②F點(diǎn)移動(dòng)到F39?！唷螮DF＝120176。∴四邊形BCGD是矩形；（2）由折疊可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜邊上的中線，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等邊三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60176?！郣t△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如圖②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，設(shè)AH=BH=m，則HC=BCBH=5m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，
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