【正文】 股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得，∴所求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接PC，PE．拋物線的對稱軸為x＝＝1．當(dāng)x＝1時，y＝4，∴點D的坐標(biāo)為（1，4）．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，則， 解得．∴直線BD的解析式為：y＝2x+6，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），則PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，則y＝﹣22+6＝2，∴點P的坐標(biāo)為（2，2）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點，若△PAC面積為3，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖2，D為拋物線的頂點，在線段AD上是否存在點M，使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，然后將A、B、C的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；（2））過P點作PQ垂直x軸，交AC于Q，把△APC分成兩個△APQ與△CPQ，把PQ作為兩個三角形的底，通過點A，C的橫坐標(biāo)表示出兩個三角形的高即可求得三角形的面積．（3）通過三角形函數(shù)計算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O為頂點的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，∠AOM=∠CAB=45176。又∵△AOQ≌△PQN，∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，∴∠MOQ=∠HQN，∴△OQM≌△QNH（AAS），∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，解得：x=（負(fù)值舍去），當(dāng)x=時，HN=QM=﹣x2+2x+2=，點M（，0），∴點N坐標(biāo)為（+，﹣1），即（，﹣1）；或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；如圖3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，當(dāng)x=4時，點M的坐標(biāo)為（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴點N的坐標(biāo)為（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；綜上點M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及到的知識有待定系數(shù)法、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發(fā)，以每秒個單位的速度沿線段AD向點D運動，運動時間為t秒．過點P作PE⊥x軸交拋物線于點M，交AC于點N． （1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）當(dāng)t為何值時，△ACM的面積最大？最大值為多少？（3）點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CD向點D運動，當(dāng)t為何值時，在線段PE上存在點H，使以C、Q、N、H為頂點的四邊形為菱形？【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）當(dāng)t＝２時，△AＭC面積的最大值為1；（3）或．【解析】（1）由矩形的性質(zhì)得到點A的坐標(biāo)，由拋物線的頂點為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x－1）2＋4，把點C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；（2）由點P的坐標(biāo)以及拋物線解析式得到點M的坐標(biāo)，由A、C的坐標(biāo)得到直線AC的解析式，進(jìn)而得到點N的坐標(biāo)，即可用關(guān)于t的式子表示MN，然后根據(jù)△ACM的面積是△AMN和△CMN的面積和列出用t表示的△ACM的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到當(dāng)t＝２時，△AＭC面積的最大值為1；（3）①當(dāng)點Ｈ在Ｎ點上方時，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四邊形PNCQ為平行四邊形，所以當(dāng)PQ＝CQ時，四邊形FECQ為菱形，據(jù)此得到，解得t值；②當(dāng)點Ｈ在Ｎ點下方時，NH=CQ=，NQ＝CQ時，四邊形NHCQ為菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．解：（1）由矩形的性質(zhì)可得點A（1，4），∵拋物線的頂點為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x－1）2＋4，代入點C（3, 0），可得a＝－1．∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）∵P（，４），將代入拋物線的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝，∴M（，），設(shè)直線AC的解析式為，將A（１,４），C（３,０）代入，得：，將代入得，∴N（，），∴MN ，∴，∴當(dāng)t＝２時，△AＭC面積的最大值為1．（3）①如圖１，當(dāng)點Ｈ在Ｎ點上方時，∵Ｎ（，），P（，４），∴PＮ＝４—（）＝＝CQ，又∵PN∥CQ，∴四邊形PNCQ為平行四邊形，∴當(dāng)PQ＝CQ時，四邊形FECQ為菱形，PQ2＝PD2+DQ2 ＝，∴，整理，得．解得，（舍去）；②如圖２當(dāng)點Ｈ在Ｎ點下方時，NH=CQ=，NQ＝CQ時，四邊形NHCQ為菱形，NQ2＝CQ2，得：．整理，得．．所以，（舍去）．“點睛”此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會用頂點式求拋物線，會用兩點法求直線解析式，會設(shè)點并表示三角形的面積，熟悉矩形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線y＝x2+bx+c的表達(dá)式；（2）點D為拋物線對稱軸上一點，當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標(biāo)；（3）點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線y＝x+m與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）．【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）如圖1，設(shè)D（2，y），利用兩點間的距離公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后討論：當(dāng)BD為斜邊時得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；當(dāng)CD為斜邊時得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分別解方程即可得到對應(yīng)D的坐標(biāo)；（3）先證明∠CEF=90176。＝3，設(shè)EC為y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k，聯(lián)立兩個方程可得：，解得：，所以M2（，