【正文】 D∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN， 又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝AD＝CD，即點E是CD的中點．（3）延長AE，BC交于點P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90176?！唷?+∠2＝90176。DE=x，AE=6x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6x）2，解得：x= ，∵BD= =2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．點睛：本題主要考查了矩形的性質，菱形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，熟練掌握矩形的性質和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關鍵 7．如圖（1）在正方形ABCD中，點E是CD邊上一動點，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G交AD于F（1）求證：AF＝DE；（2）連接DG，若DG平分∠EGF，如圖（2），求證：點E是CD中點；（3）在（2）的條件下，連接CG，如圖（3），求證：CG＝CD．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CG＝CD，見解析．【解析】【分析】（1）證明△BAF≌△ADE（ASA）即可解決問題．（2）過點D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點M，N．想辦法證明AF＝DF，即可解決問題．（3）延長AE，BC交于點P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜邊中線的性質，只要證明BC＝CP即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90176?！唷鱀BI和△ABC是互補三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考點：作圖﹣應用與設計，三角形面積5．如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發(fā)．以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了x秒．（1）P點的坐標為多少（用含x的代數(shù)式表示）；（2）試求△NPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值；（3）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由．【答案】（1）P點坐標為（x，3﹣x）．（2）S的最大值為，此時x=2．（3）x=，或x=，或x=．【解析】試題分析：（1）求P點的坐標，也就是求OM和PM的長，已知了OM的長為x，關鍵是求出PM的長，方法不唯一，①可通過PM∥OC得出的對應成比例線段來求；②也可延長MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根據(jù)CQ的長和∠ACB的正切值求出PQ的長，然后根據(jù)PM=AB﹣PQ來求出PM的長．得出OM和PM的長，即可求出P點的坐標．（2）可按（1）②中的方法經求出PQ的長，而CN的長可根據(jù)CN=BC﹣BN來求得，因此根據(jù)三角形的面積計算公式即可得出S，x的函數(shù)關系式．（3）本題要分類討論：①當CP=CN時，可在直角三角形CPQ中，用CQ的長即x和∠ABC的余弦值求出CP的表達式，然后聯(lián)立CN的表達式即可求出x的值；②當CP=PN時，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的長，然后根據(jù)QN=CN﹣CQ求出QN的表達式，根據(jù)題設的等量條件即可得出x的值．③當CN=PN時，先求出QP和QN的長，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的長，聯(lián)立CN的表達式即可求出x的值．試題解析：（1）過點P作PQ⊥BC于點Q，有題意可得：PQ∥AB，∴△CQP∽△CBA，∴∴解得：QP=x，∴PM=3﹣x，由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），P點坐標為（x，3﹣x）．（2）設△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=4﹣x，NC邊上的高為，其中，0≤x≤4．∴S=（4﹣x）x=（﹣x2+4x）=﹣（x﹣2）2+．∴S的最大值為，此時x=2．（3）延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC．①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．②若CP=CN，則CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，∴x=；③若CN=NP，則CN=4﹣x．∵PQ=x，NQ=4﹣2x，∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，∴x=．綜上所述，x=，或x=，或x=．考點：二次函數(shù)綜合題．6．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當四邊形BEDF是菱形時，求EF的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】分析：（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的長.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，∴∠A=90176。﹣x=180176。﹣90176。﹣x=180176。∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①邊長為、的三角形如圖4所示．∵S△ABC=34﹣2﹣﹣3=，∴S六邊形=17+13+10+4=62．②如圖3中，平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，設∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90176?！唷螮AF+∠BAC=180176。到△CHD的位置．這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1），過點F作FM⊥AE于點M（圖略），利用SAS公理可判斷△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90176。∴AE＝∴.3．在圖1中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE＝2b，且邊AD和AE在同一直線上．操作示例當2b＜a時，如圖1，在BA上選取點G，使BG＝b，連結FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分別拼接到△FEH和△CHD的位置構成四邊形FGCH．思考發(fā)現(xiàn)小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將△