初中一年級數(shù)學(xué)競賽題(五)(參考版)
2024-10-28 17:47本頁面
【正文】 得點P4，……，重復(fù)操作依次得到點P1，P2，…，則點P2010的坐標(biāo)是（）．（A）（2010，2）（B）（2010，（C）（2012，））（D）（0，2）解：B由已知可以得到，點記，其中，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，．）．根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：，令，同樣可以求得，點，的坐標(biāo)為（）．，），即（．），由于2010=4502+2，所以點二、填空題 6．已知a＝ 解：0 的坐標(biāo)為（2010，－1，則2a＋7a－2a－12 的值等于 ．由已知得(a＋1)＝5，所以a＋2a＝4，于是2a＋7a－2a－12＝2a＋4a＋3a－2a－12＝3a＋6a－12＝0．7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝ ． 解：15設(shè)在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得，①32322222，②由①②，得． ③（分）．，所以，x=30． 故8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是 ．解：如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點N．由已知得點M（2，3）是OB，AF的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因為點N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．于是，直線即為所求的直線．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則解得 ,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則 ．解：．． 見題圖，設(shè)因為Rt△AFB∽Rt△ABC，所以又因為 FC＝DC＝AB，所以 即，解得，或（舍去）．又Rt△∽Rt△，所以，即=．10．對于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值，則正整數(shù)的最小值為 ．解： 因為為的倍數(shù)，所以的最小值，其中由于表示的最小公倍數(shù)．，因此滿足三、解答題（共4題，每題20分，共80分）的正整數(shù)的最小值為．滿足滿足△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓求證：．證明：如圖，連接ED，所以ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點共線.…………（5分）連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）作AH⊥EF，垂足為H，則AH=△ABC∽△AEF可得，從而，所以.…………（20分）12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，（1，4），點B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點）.（1）求實數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有解得，.于是，直線AB與y軸的交點坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標(biāo)為（，）．因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以解得 …………（10分）（2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（設(shè)拋物線因為∠COD＝∠BOD＝，4），于是CO＝=2，所以.，0）.（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點D，則點D的坐標(biāo)為（，所以∠COB=.（i）將△中點，點延長繞點O順時針旋轉(zhuǎn)）.=，得到△.這時，點(，2)是CO的的坐標(biāo)為（4，到點，使得，這時點（8，）是符合條件的點.（1，）；延長到（ii）作△點，使得＝關(guān)于x軸的對稱圖形△，這時點E２（2，），或（2，得到點）是符合條件的點．）.…………（20分）所以，點 的坐標(biāo)是（8，13．求滿足．解：由題設(shè)得所以（1）若的所有素數(shù)p和正整數(shù)m.，由于p是素數(shù)，故，令，或.……（5分），k是正整數(shù)，于是故，（2）若當(dāng)時，有解得，令…………（10分），k是正整數(shù).，故 由于，從而，所以，從而.，時，無正整數(shù)解.；當(dāng)，無正整數(shù)解；當(dāng)綜上所述，所求素數(shù)p=5，正整數(shù)m=9.…………（20分）14．從1，2，…，2010這2010個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除？解：首先，如下61個數(shù)：11，…
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