【正文】 由各個(gè)專(zhuān)家學(xué)者相繼推出了 MATLAB 工具箱，其中的信號(hào)處理 (signal processing)、控制系統(tǒng) (control system)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural work)、圖像處理 (image processing)、魯棒控制 (robust control)、非線性系統(tǒng)控制設(shè)計(jì) (nonlinear system control design)、系統(tǒng)辨識(shí) (system identification)、最優(yōu)化 (optimization)、 模糊邏輯 (fuzzy logic)、小波(wavelet)、通信 (municat。 它是MathWorks 公司于 1982 年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件，它集數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、信號(hào)處理和圖形顯示于一體，構(gòu)成了一人方便的、界面友好的用戶(hù)環(huán)境。反之，如果 j減小，函數(shù) )(tjk? 的定義域變小，平移的間隔 ( 02?j )也變小，則它的線性組合就能表示函數(shù)的更細(xì)微的變化，所以其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多，包括小尺度信號(hào)和大尺度的緩變信號(hào)。 ⑤ Riesz基存在性 :存在 0)( Vt ?? ,使得jj Vkt ??????? ?? )2( 2? 構(gòu)成 jV 的 Riesz。 ③ 伸縮性 :f(t) 1)2( ???? jj VtfV ，伸縮性體現(xiàn)了尺度的變換、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。 空間 L2 (R)中的多分辨率分析是指 L2 (R)中滿(mǎn)足下列條件的一個(gè)空間序列 ??jezjV ： ① 單調(diào)性 :對(duì)任意 j? Z，有 V 1?? jj V 。它可以避免 a 值越大，對(duì) ? (t)的采樣就得越密的缺點(diǎn)，這一算法在小波分析中的地位很重要，相當(dāng)于快速傅立葉算法 (FFT)在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。 二進(jìn)小波變換的重建公式為 : f(t)=???? dtWT KKzk R )()( ,22 ?? ?? () 其中， )(,2 tk??? 為??,2k(t)的對(duì)偶框架，其上、下界分別為 B1? ，和 A1? 多分辨率分析 多分辨率概念是由 Mallat 和 Meyer 于 1986 年提出來(lái)的，它可將此前所有正交小波基的構(gòu)造統(tǒng)一起來(lái)，使小波理論產(chǎn)生突破性的進(jìn)展。 令小波函數(shù)為 ? (t)，其傅立葉變換為 )(?? ，若存在常數(shù) A,B，當(dāng) 0A? B? ，使得 BA zk kw ?? ?? 2)2(? () 此時(shí)， ? (t)才是一個(gè)二進(jìn)小波，我們稱(chēng)上式為二進(jìn)小波的魯棒性條件。這樣， )(, ta?? 就改成 :a ? ? ? ?002021020 )( ???? ktaakata jjjjj ??? ???? () 記為 )(00, tkaj ??離散小波變換定義為 : WT ),( 00 ?kajf = )()()(00 , tdttf ka j ??? j=0,1,2...,k Z? () 在以上的尺度以及位移均離散化的小波序列，如果取離散柵格 a0 = 2 ,0? =0， 即相當(dāng)于連續(xù)小波只在尺度 a上進(jìn)行量化，平移參數(shù) ? 仍然連續(xù)不被離散，我們 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 29 稱(chēng)這類(lèi)小波為二進(jìn)小波，表示為 : )(,2 tK??=2 )2(2 kk t ?? ?? () 二進(jìn)小波介于連續(xù)小波和離散小波之間，由于它只是對(duì)尺度參量進(jìn)行離散化，在時(shí)間域上的 平移量仍保持著連續(xù)的變化，所以二進(jìn)小波具有連續(xù)小波變換的時(shí)移共變性，這個(gè)特點(diǎn)也是離散小波不具有的。所以每當(dāng) m 增加 1時(shí)，尺度 a增加一倍，對(duì)應(yīng)的頻率減小一半，可見(jiàn)采樣率可以降低一半而不致引起信息的丟失 (帶通信號(hào)的采樣率決定于其帶寬，而不是決定于其頻率上限 )。通常對(duì) ? 進(jìn)行均勻離散取值，以覆蓋整個(gè)時(shí)間軸。目前通行的辦法是對(duì)尺度進(jìn)行冪級(jí)數(shù)離散化，即令 a 取 a= ma0 ,a0 O,m?Z，此時(shí)對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)是 a ???????? )2(02_0 tjj? j=0 ,1,2,...。 為了減少小波變換的系數(shù)冗余度，我們將小波基函數(shù) ??t???, =a1 ? ?????? ?at ? a,? 限定在一些離散的點(diǎn)上取值。 離散小波變換 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 28 在實(shí)際應(yīng)用中，為了方便計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析、處理，信號(hào) ? (t )都要離散化為離散數(shù)列， a 和 ? 也必須離散化，成為離散小波變換 (Discrete Wavelet Transform),記為 DWT. 由上一節(jié)連續(xù)小波變換的概念我們知道，在連續(xù)變換的尺度 a和 ? 時(shí)間值下，小波基函數(shù) )(, ta?? 具有很大的相關(guān)性，所以一維信號(hào) f(t)做小波變換成二維的WT ),( ?af 后，它的信息是有冗余的，體現(xiàn)在不同點(diǎn)的 WT ),( ?af 滿(mǎn)足重建核方程。為了在頻域上有較好的局限性，要求 ),( ?aWTf 隨 a 的減小，所以這就要求 ? (t)的前 n階原點(diǎn)矩為 0，且 n 值越高越好，即 ??pt （ t） d(t)=0 p =1~ n ，且 n 值越大越好 () 此要求在頻域內(nèi)表示就是， )(?? 在 ? =0處有高階零點(diǎn)，且階次越高越好 (一階零點(diǎn)就是容許條件 )，即 )(?? = ??1?n )(0? 0)0(0 ???? , n 越大越好 () 上兩式就是正則性條件。 在此需要進(jìn)一步說(shuō)明，在小波變換過(guò)程中，所采用的小波必須滿(mǎn)足容許條件反變換才存在，由容許條件 C? = ? ?? ??Rdt ??? )( 可以推斷出 :能用作基本小波 ? (t) 的函數(shù)至少必須滿(mǎn)足 0)0( ???? 或者 ? ?R tdt 0)(?,也就是說(shuō)， )(?? 必須具有帶 通性質(zhì)，且 )(t? 必須是有正負(fù)交替的 MIA波形，使得其平均值 =0，這便是稱(chēng)之為“小波”的原因。但它不同于傅立葉變換的地方是，小波基具有尺 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 27 度 a 和平移 ? 兩個(gè)參數(shù)，所以函數(shù)一經(jīng)小波變換，就意味著一個(gè)時(shí)間函數(shù)投影到二維的時(shí)間一尺度相平面上，這樣有利于提取信號(hào)函數(shù)的某些本質(zhì)特征。根據(jù)直覺(jué)，用不規(guī)則的小波函數(shù)來(lái)逼近尖銳變化的信號(hào)顯然要比光滑的正弦曲線要好，同樣，信號(hào)局部的特性用小波函數(shù)來(lái)逼近顯然要比光滑的正弦函數(shù)來(lái)逼近要好 ???。我們可以用小波和構(gòu)成 Fourier 分析基礎(chǔ)的正弦波做一個(gè)比較， Fourier 分析所用的正弦波在時(shí)間上沒(méi)有限制，從負(fù)無(wú)窮到正無(wú) 窮，但小波傾向于不規(guī)則與不對(duì)稱(chēng)。a0 () 式 ()中， a 為伸縮因子， T為平移因子，我們稱(chēng) ??t???, 為依賴(lài)于參數(shù) a,? 的小波基函數(shù)。 小波函數(shù)與小波變換 連續(xù)小波 基函數(shù) 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 26 小波 (wavelet)，即小區(qū)域的波，是一種特殊的長(zhǎng)度有限、平均值為小波函數(shù)的定義為 :設(shè) ??t? 為一平方可積函數(shù)，即 ??t? ? ?RL2? ，若其 Fourier 變換???? 滿(mǎn)足條件 :C? = ? ?? ??Rdt ??? )( () 則稱(chēng) T (t)為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)，我們稱(chēng)式 ()為小波函數(shù)的可容許條件。多分辨分析原理與人類(lèi)的視覺(jué)和聽(tīng)覺(jué)方式十分接近。一類(lèi)是時(shí)間有限的多分辨分析，另一類(lèi)是樣條多分辨分析。多 分辨分析概念是小波理論最基本的概念之一。 1988 年，數(shù)學(xué)家 Daubechies 提出了具有緊支集光滑正交小波基一 Daubechies 基，現(xiàn)在人們借助 Daubechies 基和Mallat 算法可從事廣泛的應(yīng)用研究。 1986 年， Meyer及其學(xué)生 Lemari。 Morlet 方法所取得數(shù)值分析的成功不僅激發(fā) Morlet 本人對(duì)小波分析進(jìn)行深入研究，而且也大大鼓舞了法國(guó)理論物理學(xué)家 他們攜 手共同研究小波理論。 1976 年， Peetre在用 LP 方法給出 Besov 空間統(tǒng)一描述的同時(shí)，引人了 Besov 空間的一組基，其展開(kāi)系數(shù)的大小刻畫(huà)了 Besov 本身： 1981 年， Stromberg 通過(guò)對(duì) Haar 正交基的改進(jìn)，引入了 Sobolev 空間 H5 的正交基，這些工作為小波分析奠定了基礎(chǔ)。后來(lái)， Calderon,Zy gmund,St ern 和 Weiss 等人將 LP理 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 25 論推廣到高維，并建立了奇異積分算子理論， 1965 年， Coifmann 提出了再生公式， 1974 年， Coif nann 對(duì)一維 HP空間和高維 Hp 空間給出了原子分解， 1975年 Calderon 用他早先提出的再生公式給出了拋物型 H，的原子分解，這一公式現(xiàn)在己成為許多函數(shù)分解的出發(fā)點(diǎn)，它的離散形式已接近小波展開(kāi)。 1936 年 Litlewood 和 Paley 對(duì) Fourier 級(jí)數(shù)建立了二進(jìn) 制頻率分量分組理論，對(duì)頻率按 21進(jìn)行劃分，其 Fourier 變換的相位變化并不影響函數(shù)的大小，這是多尺度分析思想的最早來(lái)源。 小波分析的發(fā)展歷程 任何理論的提出和發(fā)現(xiàn)都有一個(gè)漫長(zhǎng)的準(zhǔn)備過(guò)程，小波分析也不例外。 小波分析是一個(gè)范圍可變的窗口方法 ，可以用長(zhǎng)的時(shí)間間隔來(lái)獲得更精確的 低頻信息，用短的時(shí)間間隔來(lái)獲得高頻信息，這樣就有效地克服了 Fourier 變換在處理非平穩(wěn)的復(fù)雜圖像信號(hào)時(shí)存在的局限性。 小波變換是將信號(hào)分解成時(shí)域和尺度域的一種變換 ???，不同的尺度對(duì)應(yīng)于不同的頻率范圍，因此，對(duì)于圖像信號(hào)這樣的時(shí)頻信號(hào)而言，小波變換是一種很好的分析工具。出現(xiàn)這種局面的原因是處于迅速發(fā)展的“小波”在成長(zhǎng)過(guò)程中得益于物理學(xué)、計(jì) 算機(jī)科學(xué)、信號(hào)和圖 像處理科學(xué)、數(shù)學(xué)和地球物理學(xué)等眾多科學(xué)研究領(lǐng)域和工程 技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域的專(zhuān)家和工程師們的共同努力。 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 23 網(wǎng)絡(luò)多媒體技術(shù)的廣泛應(yīng)用使得 利用公用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行保密通信有了新的思路，利用數(shù)字化聲像信號(hào)相對(duì)于人的視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)冗余，可以進(jìn)行各種時(shí)（空）域和變換域的信息隱藏，從而實(shí)現(xiàn)隱蔽通信。 網(wǎng)絡(luò)情報(bào)戰(zhàn)是信息戰(zhàn)的重要組成部分，其核心內(nèi)容是利用公用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行保密數(shù)據(jù)傳送。與其他水印不同，這類(lèi)水印必須是脆弱的，并且檢測(cè)水印信號(hào)時(shí)，不需要原始數(shù)據(jù)。為實(shí)現(xiàn)該目的，通常可將原始圖像分成多個(gè)獨(dú)立塊，再將每個(gè)塊加入不同的水印。這種方法已經(jīng)被國(guó)外一些公開(kāi)的遙感圖像數(shù)據(jù)庫(kù)所采用。沒(méi)有標(biāo)識(shí)信息的數(shù)據(jù)有時(shí)甚至無(wú)法使用，但直接將這些重要信息標(biāo)記在原始文件上又很危險(xiǎn)。數(shù)字水印技術(shù)可以為各種票據(jù)提供不可見(jiàn)的認(rèn)證標(biāo)志，從而大大增加了偽造的難度。 另一方面，在從傳統(tǒng)商務(wù)向電子商務(wù)轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)大量過(guò)度性的電子文件，如各種紙質(zhì)票據(jù)的掃描圖像等。目前，美國(guó)、日本以及荷蘭都 已開(kāi)始研究用于票據(jù)防偽的數(shù)字水印技術(shù)。 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 22 ，特別是精度超過(guò) 1200dpi的彩色噴墨、激光打印機(jī)和高精度彩色復(fù)印機(jī)的出現(xiàn)，使得貨幣、支票以及其他票據(jù)的偽造變得更加容易。由于數(shù)字作品的拷貝、修改非常容易，而且可以做到與原作完全相同，所以原創(chuàng)者不得不采用一些嚴(yán)重 損害作品質(zhì)量的辦法來(lái)加上版權(quán)標(biāo)志，而這種明顯可見(jiàn)的標(biāo)志很容易被篡改。作為數(shù)據(jù)安全領(lǐng)域中的新生事物，它具有很高的技術(shù)含量和很強(qiáng)的生命力，同時(shí)也孕育著廣闊的市場(chǎng)和巨大的商機(jī)。但其缺點(diǎn)就是運(yùn)算量偏大。而且它是目前使用最多的圖像壓縮系統(tǒng) JPEG的核心，算法簡(jiǎn)單，執(zhí)行速度快。目前基于 DFT的水印算法相對(duì)較少。 這三種變換各有其特點(diǎn) : (1)DFT變換的優(yōu)點(diǎn)在于可以把信號(hào)分解為相位信息 和幅值信息， DFT變換對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等攻擊具有魯棒性。 ，他們對(duì)宿主圖像作多層小波變換，并在每一層小波變換系數(shù)上加入水印。小波變換一般是采用多級(jí)分解方法，對(duì)圖像進(jìn)行小波分解。到達(dá)接收端以后通過(guò)反離散余弦變換回到圖像空間，雖然會(huì)有一定的失真，但人類(lèi)視覺(jué)是可以接受的。 由于大多數(shù)圖像的高頻分量較小，相應(yīng)于圖像高頻分量的系數(shù)經(jīng)常為零，加上人類(lèi)視覺(jué)對(duì)高頻成分的失真不太敏感，所以可用更粗的量化。 (2)DCT變換 離散余弦變換是數(shù)碼率壓縮需要常用的一個(gè)變換編碼方法。它與原始算法的計(jì)算量之比為 NN 2log 。 傅立葉變換是復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的變換，如果在計(jì)算機(jī)上按照其定義式來(lái)計(jì)算的話(huà)，計(jì)算量將非常大。 DFT域算法有利于實(shí)現(xiàn)水印的仿射不變性，而且可利用變換后的相位信息嵌入水印。但就目前應(yīng)用中這三種方法是使用最多的。變換域方法可以有效減少個(gè)別像素受到破壞而導(dǎo)致水印