20xx年廣西玉林市、貴港市高考數(shù)學(xué)一模試卷文科(參考版)
2024-11-15 09:10本頁面
【正文】 ∴ DE= ， ∴ AE2+DE2=AD2，即 DE⊥ AB， 又 PD⊥ 平面 ABCD， ∴ PD⊥ AB，則 AB⊥ 平面 PDE，有平面 PDE⊥ 平面 PAB， 過 D 作 DH⊥ PE 于 H， ∴ DH⊥ 平面 PAB， 在 Rt△ PDE 中， PD=1， DE= ，則 PE= ． ∴ DH= ． ∴ C 到平面 PAB 的距離為 ，則 F 到平面 PAB 的距離為 ． ∴ = ． 20．已知拋物線 E： y2=4x 的焦點為 F，圓 C： x2+y2﹣ 2ax+a2﹣ 4=0，直線 l 與拋 物線 E 交于點 A、 B 兩點，與圓 C 切于點 P． （ 1）當(dāng)切點 P 的坐標(biāo)為（ ， ）時，求直線 l 及圓 C 的方程； （ 2）當(dāng) a=2 時，證明： |FA|+|FB|﹣ |AB|是定值，并求出該定值． 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】 （ 1）將 P 代入圓方程，即可求得 a 的值，求得圓心，根據(jù)直線的斜率公式求得 CP 的斜率 k，則直線 l 的方程斜率為﹣ ，利用直線的點斜式方程，即可求得 l 的方程； （ 2）將當(dāng) l 垂直與 x 軸時，求得 A 和 B 點坐標(biāo)，利用兩點之間的斜率公式，即可求得 |FA|+|FB|﹣ |AB|的值；當(dāng) l 不垂直于 x 軸時，由直線 l 與圓 C 相切，求得 4kb+b2=4，將直線 l 代入拋物線方程．利用韋達定理及弦長公式求得 |AB|，利用拋物線的定義，丨 FA 丨 +丨 FB 丨 =x1+x2+p，即可求得 |FA|+|FB|﹣ |AB|是定值． 【解答】 解：（ 1）由圓（ x﹣ a） 2+y2=4，則圓心（ a， 0），半徑為 2， 將 P（ ， ）代入圓方程，解得： a=2，或 a=﹣ ， ∴ 圓的方程（ x﹣ 2） 2+y2=4，或（ x+ ） 2+y2=4， 當(dāng) a=2，圓心 C（ 2， 0）則直線 CP 的斜率 k= =﹣ ， 由直線 l 的斜率為﹣ = ，則直線 l 的方程 y﹣ = （ x﹣ ），整理得： 4y﹣ 3x﹣ 4=0； 當(dāng) a=﹣ 圓心 C（﹣ ， 0）則直線 CP 的斜率 k= = ， 由直線 l 的斜率為﹣ =﹣ ，則直線 l 的方程 y﹣ =﹣ （ x﹣ ），整理得： 20y+15x﹣ 44=0， 綜上可知：直線 l 方程： 4y﹣ 3x﹣ 4=0，圓 C 的方程（ x﹣ 2） 2+y2=4 或 直線 l 方程： 20y+15x﹣ 44=0，圓 C 的方程（ x+ ） 2+y2=4； （ 2）當(dāng) a=2 時，圓 C 的方程（ x﹣ 2） 2+y2=4， 當(dāng) l 垂直與 x 軸時，則 x=4， A（ 4， 4）， B（ 4，﹣ 4）， ∴ 丨 FA 丨 =丨 FB 丨 =5，丨 AB 丨 =8， ∴ |FA|+|FB|﹣ |AB|=2； 當(dāng) l 不垂直于 x 軸時，設(shè)直線 l： y=kx+b（ k≠ 0）， 直線 l 與圓 C 相切，則 =2，則 4kb+b2=4， ∴ b≠ 0， kb＜ 0， 則 ，整理得： k2x2+（ 2kb﹣ 4） x+b2=0， 由 △ =（ 2kb﹣ 4） 2﹣ 4k2b2=﹣ 16kb+4（ 4kb+b2） =4b2＞ 0， 由 x1+x2=﹣ ， x1x2= ， 丨 AB 丨= ? = ? = ?， = ? ， = ， = ， = ， 由拋物線的性質(zhì)可知：丨 FA 丨 +丨 FB 丨 =x1+x2+p=x1+x2+2， ∴ |FA|+|FB|=﹣ +2， ∴ |FA|+|FB|﹣ |AB|=﹣ +2﹣ =2， ∴ |FA|+|FB|﹣ |AB|是定值，定值為 2． 21．已知關(guān)于 x 的函數(shù) g（ x） = ﹣ alnx（ a∈ R）， f（ x） =x2g（ x）． （ 1）當(dāng) a=﹣ 2 時，求函數(shù) g（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若 f（ x）在區(qū)間（ ， e）內(nèi)有且只有一個極值點，試求 a 的取值范圍． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ 2）求出函數(shù) f（ x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)零點存在定理得到 f′（ ） ?f′（ e） ＜ 0，求出a 的范圍即可． 【解答】 解：（ 1） a=﹣ 2 時， g（ x） = +2lnx， g′（ x） = ，（ x＞ 0）， 令 g′（ x） ＞ 0，解得： x＞ 1，令 g′（ x） ＜ 0，解得： 0＜ x＜ 1， 故 g（ x）在（ 0， 1）遞減，在（ 1， +∞ ）遞增； （ 2） f（ x） =x2g（ x） =2x﹣ ax2lnx，定義域是（ 0， +∞ ）， f′（ x） =2﹣ a（ x+2xlnx）， 若 a=0，則 f′（ x） =2≠ 0，不存在極值點，故 a≠ 0， 令 h（ x） =f′（ x） =2﹣ a（ x+2xlnx）， h′（ x） =﹣ a（ 3+2lnx）， x∈ （ ， e）時， 3+2lnx＞ 0， 故 h′（ x） ＞ 0 恒成立或 h′（ x） ＜ 0 恒成立， ∴ f′（ x）在（ ， e）是單調(diào)函數(shù)， ∵ f（ x）在區(qū)間（ ， e）內(nèi)有且只有 1 個極值點， ∴ f′（ x）在（ ， e）有唯一解， 由零點存在定理，得： f′（ ） ?f′（ e） ＜ 0， 得（ 2+ a）（ 2﹣ 3ea） ＜ 0，解得： a＜ ﹣ 2e 或 a＞ ， 綜上， a＜ ﹣ 2e 或 a＞ ． 請考生在第 2 23 題中任選一題作答【選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 22．已知平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以 O 為極點， x 軸的非負半軸為極軸建立極 坐標(biāo)系， P 點的極坐標(biāo)為（ 3， ）．曲線 C 的參數(shù)方程為 ρ=2cos（ θ﹣ ）（ θ為參數(shù)）． （ Ⅰ ）寫出點 P 的直角坐標(biāo)及曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （ Ⅱ ）若 Q 為曲線 C 上的動點，求 PQ 的中點 M 到直線 l： 2ρcosθ+4ρsinθ= 的距離的最小值． 【考點】 簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】 （ I）由 P 點的極坐 標(biāo)為（ 3， ），利用 可得點 P 的直角坐標(biāo)．曲線 C 的參數(shù)方程為 ρ=2cos（ θ﹣ ）（ θ 為參數(shù)），展開可得： ρ2=（ ρcosθ+ρsinθ），利用 及其 ρ2=x2+y2即可得出直角坐標(biāo)方程． （ II）直線 l ： 2ρcosθ+4ρsinθ= 的直角坐標(biāo)方程為：： 2x+4y= ．設(shè)Q ，則 M ，利用點到直線的距離公式與三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出． 【解答】 解：（ I）由 P 點的極坐標(biāo)為（ 3， ）， ∴ xP=3 = ，yP=3 = ， ∴ 點 P 的直角坐標(biāo)為 ． 曲線 C 的參數(shù)方程為 ρ=2cos（ θ﹣ ）（ θ 為參數(shù)），展開可
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