【正文】 長(zhǎng)期平均成本函數(shù)可以寫(xiě)為：如圖58所示。11．試用圖從短期平均成本曲線推導(dǎo)長(zhǎng)期平均成本曲線，并說(shuō)明長(zhǎng)期平均成本曲線的經(jīng)濟(jì)含義。它表示：當(dāng)產(chǎn)量為零時(shí)，長(zhǎng)期總成本為零，以后隨著產(chǎn)量的增加，長(zhǎng)期總成本是增加的。所以，LTC曲線表示長(zhǎng)期內(nèi)廠商在每一產(chǎn)量水平上由最優(yōu)生產(chǎn)規(guī)模所帶來(lái)的最小生產(chǎn)總成本。顯然，長(zhǎng)期總成本曲線是無(wú)數(shù)條短期總成本曲線的包絡(luò)線。這樣一來(lái)，廠商可以在任何一個(gè)產(chǎn)量水平上，都找到相應(yīng)的一個(gè)最優(yōu)的生產(chǎn)規(guī)模，都可以把總成本降到最低水平。這樣，廠商就在每一個(gè)既定的產(chǎn)量水平實(shí)現(xiàn)了最低的總成本。廠商在長(zhǎng)期可以變動(dòng)全部的要素投入量，選擇最優(yōu)的生產(chǎn)規(guī)模，于是，廠商必然會(huì)選擇STC2曲線所代表的生產(chǎn)規(guī)模進(jìn)行生產(chǎn)，從而將總成本降低到所能達(dá)到的最低水平，即廠商是在STC2曲線上的b點(diǎn)進(jìn)行生產(chǎn)。圖57 長(zhǎng)期總成本曲線的推導(dǎo)假定廠商生產(chǎn)的產(chǎn)量為Q2，在短期內(nèi)，廠商可能面臨STC1曲線所代表的過(guò)小的生產(chǎn)規(guī)模或STC3曲線所代表的過(guò)大的生產(chǎn)規(guī)模，于是，廠商只能按較高的總成本來(lái)生產(chǎn)產(chǎn)量Q2，即在STC1曲線上的d點(diǎn)或STC3曲線上的e點(diǎn)進(jìn)行生產(chǎn)。由于短期總成本曲線的縱截距表示相應(yīng)的總不變成本TFC的數(shù)量，因此，從圖中三條短期總成本曲線的縱截距可知，STC1曲線所表示的總不變成本小于STC2曲線，STC2曲線所表示的總不變成本又小于STC3曲線，而總不變成本的多少（如廠房、機(jī)器設(shè)備等）往往表示生產(chǎn)規(guī)模的大小。相應(yīng)地，長(zhǎng)期總成本函數(shù)寫(xiě)成以下形式：LTC＝LTC（Q）根據(jù)對(duì)長(zhǎng)期總成本函數(shù)的規(guī)定，可以由短期總成本曲線出發(fā)，推導(dǎo)長(zhǎng)期總成本曲線。答：（1）長(zhǎng)期總成本曲線的推導(dǎo)。（3）當(dāng)產(chǎn)品的價(jià)格P＝100時(shí)，廠商獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量和利潤(rùn)各是多少？解：（1）已知K＝50時(shí)，其總價(jià)格為500，所以對(duì)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝可求出：由，可得：代入生產(chǎn)函數(shù)，得：（2）將L＝2Q代入成本等式C＝5L＋10K可得：總成本函數(shù)平均成本函數(shù)邊際成本函數(shù)（3）由（1）可知，生產(chǎn)者達(dá)到均衡時(shí)，有：因?yàn)镵＝50，所以：L＝50代入生產(chǎn)函數(shù)有：得：Q＝25此時(shí)利潤(rùn)為：假定某廠商短期生產(chǎn)的邊際成本函數(shù)SMC（Q）＝3Q2－8Q＋100，且已知當(dāng)產(chǎn)量Q＝10時(shí)的總成本STC＝2 400，求相應(yīng)的STC函數(shù)、SAC函數(shù)和AVC函數(shù)。求：（1）勞動(dòng)的投入函數(shù)L＝L（Q）。解:由于是短期生產(chǎn),且＝16，PA＝1，PL＝1，PK＝2，故總成本等式C＝PA A＋PL L＋PK K可以寫(xiě)成：C＝1A＋1L＋32C＝A＋L＋32生產(chǎn)函數(shù)可以寫(xiě)成：Ｑ＝A1/4L1/4（16）1/2＝4A1/4L1/4而且，所謂的成本函數(shù)是指相對(duì)于給定產(chǎn)量而言的最小成本。 C＝2Ｑ＋Ｑ－Ｑ1Ｑ2. Ｑ1＋Ｑ2 ＝40將以上拉格朗日函數(shù)分別對(duì)ＱＱ2和λ求導(dǎo)，得最小值的一階條件為：由前兩個(gè)式子可得：4Ｑ1 －Ｑ2＝2Ｑ2－Ｑ1即：Ｑ1＝將Ｑ1＝，得：40－－Ｑ2＝0解得：Ｑ2*＝25再由Ｑ1＝，得：Ｑ1*＝157．已知生產(chǎn)函數(shù)Ｑ＝A1/4L1/4K1/2；各要素價(jià)格分別為PA＝1，PL＝1，PK＝2；假定廠商處于短期生產(chǎn)，且＝16。（1）第一種方法：當(dāng)一個(gè)廠商用兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品時(shí)，它必須使兩個(gè)工廠生產(chǎn)的邊際成本相等，即MC1＝MC2,才能實(shí)現(xiàn)成本最小的產(chǎn)量組合。求：當(dāng)公司生產(chǎn)的總產(chǎn)量為40時(shí)能夠使得公司生產(chǎn)成本最小的兩工廠的產(chǎn)量組合。（2）總成本函數(shù)、總可變成本函數(shù)，以及平均成本函數(shù)、平均可變成本函數(shù)。5．假定某廠商的邊際成本函數(shù)MC＝3Ｑ2－30Ｑ + 100，且生產(chǎn)10單位產(chǎn)量時(shí)的總成本為l 000。故令＝0，有解得：Ｑ＝10又由于，所以當(dāng)Ｑ＝10時(shí)，AVC（Q）達(dá)到最小值。解：（1）在短期成本函數(shù)TC（Q）＝Q3－5Q2＋15Q＋66中，可變成本部分為T(mén)VC（Q）＝Q3－5Q2＋15Q；不變成本部分為AFC（Q）＝66（2）根據(jù)已知條件和（1），可以得到以下相應(yīng)的各類(lèi)短期成本函數(shù)：TVC（Q）＝Q3－5Q2＋15QAC（Q）＝＝Q2－5Q＋15＋AVC（Q）＝＝Q2－5Q＋15AFC（Q）MC（Q）＝3Q2－10Q＋154．已知某企業(yè)的短期總成本函數(shù)是STC（Ｑ）＝ －＋10Ｑ＋5，求最小的平均可變成本值。見(jiàn)下圖56。和B39。圖55 短期成本曲線答：在產(chǎn)量Q1和Q2上，代表最優(yōu)生產(chǎn)規(guī)模的SAC曲線和SMC曲線是SAC1和SAC2以及SMC1和SMC2。2．下面是一張某廠商的LAC曲線和LMC曲線圖55。前者遞增時(shí)，后者遞減；前者遞減時(shí)，后者遞增；前者的最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)后者的最低點(diǎn)。如圖所示：當(dāng)總產(chǎn)量TPL曲線下凸時(shí)，總成本TC曲線和總可變成本TVC曲線是下凸的；當(dāng)總產(chǎn)量TPL曲線存在一個(gè)拐點(diǎn)時(shí)，總成本TC曲線和總可變成本TVC曲線也各存在一個(gè)拐點(diǎn)。聯(lián)系圖53和圖54，可以看出：MPL曲線的上升段對(duì)應(yīng)MC曲線的下降段；MPL曲線的下降段對(duì)應(yīng)MC曲線的上升段；MPL曲線的最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)MC曲線的最低點(diǎn)。61301200120/132071351400280/2740（4）根據(jù)（3）中的短期生產(chǎn)的成本表所繪制的TVC曲線、AVC曲線和MC曲線如圖54所示。）（5）根據(jù)（2）、（4），說(shuō)明短期生產(chǎn)函數(shù)和短期成本函數(shù)之間的關(guān)系。表52 短期生產(chǎn)的成本表LQ1102303704100512061307135（4）根據(jù)表522，在一張坐標(biāo)圖上作出TVC曲線，在另一張坐標(biāo)圖上作出AVC曲線和MC曲線。（提示：為了便于作圖與比較，TPL曲線圖的縱坐標(biāo)的刻度單位大于APL曲線圖和MPL曲線圖。第5章 課后習(xí)題詳解1．表51是一張關(guān)于短期生產(chǎn)函數(shù)的產(chǎn)量表：表51 短期生產(chǎn)的產(chǎn)量表L1234567TPL103070100120130135APLMPL（1）在表中填空。的相切處E點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)最下的成本。在這種情況下，廠商只要從a點(diǎn)出發(fā)，沿著等產(chǎn)量線往下向E點(diǎn)靠攏，或者，從b點(diǎn)出發(fā)，沿著等產(chǎn)量曲線往上向E點(diǎn)靠攏，即都可以在既定的產(chǎn)量條件下，通過(guò)對(duì)生產(chǎn)要素投入量的調(diào)整，不斷地降低成本，最后在等產(chǎn)量線與等成本線A39。圖47 既定產(chǎn)量下成本最小化（2）在約束條件即等產(chǎn)量曲線給定的條件下，先看等成本曲線AB，該線處于等產(chǎn)量曲線以下，與等產(chǎn)量曲線既無(wú)交點(diǎn)又無(wú)切點(diǎn)，所以，等成本線AB所代表的成本過(guò)小，它不可能生產(chǎn)既定產(chǎn)量。B39。10．利用圖說(shuō)明廠商在既定產(chǎn)量條件下是如何實(shí)現(xiàn)最小成本的最優(yōu)要素組合的。任何更高的產(chǎn)量在既定成本條件下都是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，任何更低的產(chǎn)量都是低效率的。因?yàn)?，此時(shí)廠商在不增加成本的情況下，只需由a點(diǎn)出發(fā)向右或由b點(diǎn)出發(fā)向左沿著既定的等成本線AB改變要素組合，就可以增加產(chǎn)量。這表明等產(chǎn)量曲線Q3所代表的產(chǎn)量是企業(yè)在既定成本下無(wú)法實(shí)現(xiàn)的產(chǎn)量，因?yàn)閺S商利用既定成本只能購(gòu)買(mǎi)到位于等成本線AB上或等成本線AB以內(nèi)區(qū)域的要素組合。圖46 既定成本條件下產(chǎn)量最大的要素組合（2）分析代表既定成本的惟一的等成本線AB與三條等產(chǎn)量曲線2和Q3之間的關(guān)系。答：（1）以在圖46為例來(lái)說(shuō)明廠商在既定成本條件下是如何實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量的最優(yōu)要素組合的。K＝C，求得最小成本：C*＝2L*＋1K*＝2800＋1800＝2 400在此略去關(guān)于極小值的二階條件的討論。將拉格朗日函數(shù)分別對(duì)L、K和181。K＝C，求得最小成本：C*＝2L*＋1K*＝2800＋1800＝2 400本題的計(jì)算結(jié)果表示：在Ｑ＝800時(shí)，廠商以L*＝800，K*＝800進(jìn)行生產(chǎn)的最小成本為C*＝2 400。 將拉格朗日函數(shù)分別對(duì)L、K和λ求偏導(dǎo)，得極值的一階條件： ① ② ③由①式、②式可得：，即K＝L將K＝L代入約束條件即③式，可得：3 000－2L－L＝0解得L*＝1 000且有K*＝1 000再將L*＝K*＝1 000代入目標(biāo)函數(shù)即生產(chǎn)函數(shù)，得最大產(chǎn)量：Ｑ*＝（L*）2/3（K*）1/3＝1 0002/3 + 1/3＝1 000在此略去關(guān)于極大值得二階條件的討論。（2）當(dāng)產(chǎn)量Ｑ＝800時(shí)，企業(yè)實(shí)現(xiàn)最小成本時(shí)的L、K和C的均衡值。8．已知某企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為Ｑ＝L2/3K1/3，勞動(dòng)的價(jià)格w＝2，資本的價(jià)格r＝1?？梢?jiàn)，當(dāng)時(shí)，該生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模報(bào)酬不變的特征。（1）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，該生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模報(bào)酬不變的特征？（2）證明：在規(guī)模報(bào)酬不變的情況下，相應(yīng)的邊際產(chǎn)量是遞減的。以上的推導(dǎo)過(guò)程表明該生產(chǎn)函數(shù)在短期生產(chǎn)中受邊際報(bào)酬遞減規(guī)律的支配。②由，得：，6．已知生產(chǎn)函數(shù)。（3）①對(duì)于生產(chǎn)函數(shù)，由，可得：則即為廠商長(zhǎng)期生產(chǎn)擴(kuò)展線方程。（2）①對(duì)于生產(chǎn)函數(shù)來(lái)說(shuō)，有：，由，可得：即廠商長(zhǎng)期生產(chǎn)擴(kuò)展線方程為。解：（1）①對(duì)于生產(chǎn)函數(shù)來(lái)說(shuō)，有：，由最優(yōu)要素組合的均衡條件，可得：即廠商長(zhǎng)期生產(chǎn)擴(kuò)展線方程為：。5．已知生產(chǎn)函數(shù)為：（1）；（2）；（3）；（4）。因?yàn)橐阎猀=36，解得L＝18，K＝12。（3）當(dāng)勞動(dòng)的平均產(chǎn)量APL達(dá)到最大時(shí)，一定有APL＝MPL，即＝，得：此時(shí)APL＝MPL＝10。由勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量函數(shù)可知，＜0，邊際產(chǎn)量曲線是一條斜率為負(fù)的直線。（1）寫(xiě)出在短期生產(chǎn)中該廠商關(guān)于勞動(dòng)的總產(chǎn)量TPL函數(shù)、勞動(dòng)的平均產(chǎn)量APL函數(shù)和勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量MPL函數(shù)；（2）分別計(jì)算當(dāng)勞動(dòng)的總產(chǎn)量TP、勞動(dòng)的平均產(chǎn)量AP和勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量MPL各自達(dá)到極大值時(shí)的廠商的勞動(dòng)投入量；（3）什么時(shí)候APL＝MPL？它的值又是多少？解：（1）將K＝10代入生產(chǎn)函數(shù)中，得：于是，根據(jù)總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量的定義，有以下函數(shù)：勞動(dòng)的總產(chǎn)量函數(shù) 勞動(dòng)的平均產(chǎn)量函數(shù) 勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量函數(shù) （2）令，解得即當(dāng)勞動(dòng)的投入量為20時(shí)，勞動(dòng)的總產(chǎn)量TPL達(dá)到最大。點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的是TPL，曲線上的切點(diǎn)C。因此，在圖45中，在L＝L2時(shí)，TPL曲線與MPL曲線相交于APL，曲線的最高點(diǎn)C39。該切線是由原點(diǎn)出發(fā)與TPL曲線上所有的點(diǎn)的連線中斜率最大的一條連線，故該切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是的最大值點(diǎn)。關(guān)于APL曲線。＝0時(shí)，TPL曲線存在一個(gè)拐點(diǎn)，換言之，在L＝L１時(shí)，MPL曲線斜率為零的A點(diǎn)與TPL曲線的拐點(diǎn)A39。＞0時(shí)，TPL曲線的斜率遞增，即TPL曲線以遞增的速率上升；當(dāng)MPL39。點(diǎn)是相互對(duì)應(yīng)的。由于，所以，當(dāng)MPL＞0時(shí)，TPL曲線是上升的；當(dāng)MPL＜0時(shí)，TPL曲線是下降的；而當(dāng)MPL＝0時(shí)，TPL曲線達(dá)最高點(diǎn)。由邊際報(bào)酬遞減規(guī)律決定的MPL曲線出發(fā)，可以方便地推導(dǎo)出TPL曲線和APL曲線，并掌握它們各自的特征及其相互之間的關(guān)系。答：短期生產(chǎn)函數(shù)的TPL曲線、APL曲線和MPL曲線的綜合圖，如圖45所示。本題的生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出邊際報(bào)酬遞減的現(xiàn)象，具體地說(shuō)，由表可見(jiàn)，當(dāng)可變要素的投入量由第4單位增加到第5單位時(shí)，該要素的邊際產(chǎn)量由原來(lái)的24下降為12。由上表中數(shù)據(jù)可知，從第5單位的可變要素投入量開(kāi)始出現(xiàn)規(guī)模報(bào)酬遞減。圖315 吉芬物品的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)第4章 課后習(xí)題詳解1．下面是一張一種可變生產(chǎn)要素的短期生產(chǎn)函數(shù)的產(chǎn)量表：表41 短期生產(chǎn)函數(shù)的產(chǎn)量表可變要素的數(shù)量可變要素的總產(chǎn)量可變要素的平均產(chǎn)量可變要素的邊際產(chǎn)量122103244125606677080963（1）在表中填空。在圖315中，a點(diǎn)必定落在b、c兩點(diǎn)之間。的絕對(duì)值，所以，最后形成的總效應(yīng)X1180。X1180。是收入效應(yīng)，它是一個(gè)負(fù)值。X1180。通過(guò)補(bǔ)償預(yù)算線FG可得：X1X1180。商品1的價(jià)格P1下降前后的消費(fèi)者的效用最大化的均衡點(diǎn)分別為a點(diǎn)和b點(diǎn)，相應(yīng)的商品1的需求量的減少量為X1180。但是，在少數(shù)場(chǎng)合下，某些低檔物品的收入效應(yīng)的作用會(huì)大于替代效應(yīng)。減少到X1，這就是收入效應(yīng)，它是一個(gè)負(fù)值。這就是替代效應(yīng)，它是一個(gè)正值。P1下降引起的商品相對(duì)價(jià)格的變化，使消費(fèi)者由均衡點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到均衡點(diǎn)c，相應(yīng)的需求增加量為X1180。作與預(yù)算線AB180。商品1的價(jià)格P1下降前后的消費(fèi)者的效用最大化的均衡點(diǎn)分別為a、b點(diǎn)，因此，價(jià)格下降所引起的商品1的需求量的增加量為X1180。正因?yàn)槿绱?，正常物品的需求曲線是向右下方傾斜的。 就是收入效應(yīng)。 圖313 正常物品的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)收入效應(yīng)：把補(bǔ)償預(yù)算線FG再推回到AB180。于是，由a點(diǎn)到c點(diǎn)的商品1的需求量的增加量X1180。進(jìn)一步地，就預(yù)算線AB和補(bǔ)償預(yù)算線FG而言，它們分別與無(wú)差異曲線U1相切于a、c兩點(diǎn)，但斜率卻是不相等的。補(bǔ)償預(yù)算線FG與U1相切與均衡點(diǎn)c，與原來(lái)的均衡點(diǎn)a相比，需求量的增加量為X1180。FG與AB180。FG與U1相切，表示假設(shè)的貨幣收入的減少（預(yù)算線的位置由AB180。替代效應(yīng)：作一條平行于預(yù)算線AB180。這便是價(jià)格下降所引起的總效應(yīng)。商品1的價(jià)格P1下降前的消費(fèi)者的效用最大化的均衡點(diǎn)為a，P1下降后消費(fèi)者的均衡點(diǎn)為b。圖312 由價(jià)格－消費(fèi)曲線推導(dǎo)出消費(fèi)者的需求曲線12．分別用圖分析正常物品、低檔物品和吉芬物品的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)，并進(jìn)一步