【正文】 （采用MATLAB中的bertool工具繪。這就說明并不是每一種編碼都會對傳輸性能有改善作用 ，而且編碼后的性能好壞不僅與“最小碼距”相關(guān)，它與碼字集合的“碼距分布”有著更密切的關(guān)系。 (7,3)循環(huán)碼性能的仿真與分析圖54繪制出了兩種情況下，(7,3)循環(huán)編碼的QPSK調(diào)制通過AWGN信道后的誤比特率與信噪比的關(guān)系曲線（源程序詳見附錄）：圖54(7,3)循環(huán)編碼誤比特率性能曲線仿真圖從圖54可以看出，在采用(7,3)循環(huán)碼編碼方式之后，其誤碼性能反而不如編碼前，也就是說這種編碼方式會導(dǎo)致傳輸性能惡化。 循環(huán)碼性能的仿真與分析循環(huán)碼種類很多，包括BCH碼、RS碼、CRC碼等等，由于篇幅限制，不能一一做出分析和仿真。圖53(7,4)漢明編碼誤比特率性能曲線理論圖上圖53給出了 (7,4)漢明碼理論上的性能曲線，用以證明上述仿真以及分析的正確性。因此，在低于信噪比門限時，不編碼的效果要優(yōu)于編碼的效果。這是因為編碼雖然可以帶來編碼增益，但在傳輸總能量不變的情況下，由于傳輸每個編碼碼字中的比特能量減少，信噪比降低，信噪比的下降會造成誤碼率升高，而此時的編碼增益很小，不足以抵消比特能量的減少量。 傳輸性能的仿真分析 Hamming碼性能的仿真與分析下面，我們來看有無編碼對碼字傳輸過程中誤碼性能的影響。需要說明的是，盡管軟判決譯碼也許會有更優(yōu)的性能，但這里為了簡化譯碼過程，只對硬判決譯碼過程做出仿真和性能分析。其中，較為簡單的是調(diào)用軟件內(nèi)置的函數(shù)，但這樣也有一些缺點，比如參數(shù)修改不夠靈活；還可以利用隨機數(shù)生成函數(shù)，產(chǎn)生服從高斯分布的數(shù)字序列，這種方法克服了前面方法的不足，但程序的編寫也略顯繁瑣。然后，將信息序列與生成矩陣相乘就完成了編碼的過程。具體來講，在MATLAB中，信源的設(shè)計非常簡單，直接調(diào)用偽隨機序列生成函數(shù)就可以達到目的，產(chǎn)生任意數(shù)量的二進制信息序列。由信源生成的二進制隨機序列在編碼器中被加入一些校驗元，經(jīng)過QPSK調(diào)制之后送入信道中傳輸；編碼信道中會有高斯白噪聲的疊加，使得接收端接收的信息和發(fā)送碼元之間存在差異并最終造成譯碼準確率的下降；譯碼器就是要利用已編碼的線性約束關(guān)系盡可能正確的恢復(fù)出信源所發(fā)送的二進制序列，讓信宿收到的數(shù)據(jù)真實可靠。接下來，給出本次研究的通信系統(tǒng)模型，之后的仿真以及性能分析將以此為基礎(chǔ)展開：信源信宿糾、檢錯編碼器AWGN信道糾、檢錯譯碼器QPSK調(diào)制QPSK解調(diào)圖 51通信系統(tǒng)模型簡化圖這是一個數(shù)學(xué)隨機模型，對復(fù)雜的通信系統(tǒng)做了數(shù)學(xué)抽象和適當(dāng)化簡。 傳輸模型的建立仿真模型是對實際系統(tǒng)的一種模擬和抽象，但又不是完全的復(fù)制?？梢哉f，之前的分析為下面所要進行的軟件仿真和傳輸性能分析做了必要準備。實際的通信系統(tǒng)是一個功能結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜的系統(tǒng)，因此，在對原有的通信系統(tǒng)做出改進或建立一個新系統(tǒng)之前，通常需要對這個系統(tǒng)進行建模和仿真，通過仿真結(jié)果衡量方案的可行性，從中選擇最合理的系統(tǒng)配置和參數(shù)設(shè)置，然后再應(yīng)用于實際系統(tǒng)中。5. MATLAB建模仿真與結(jié)果分析 通信系統(tǒng)仿真的意義在通信技術(shù)日益發(fā)展的今天，人們對通信系統(tǒng)的性能以及造價都提出了比較高的要求，于是，通信仿真便應(yīng)運而生。而性能限在這里則是以簡單了解為主，因為它的深入研究需要更加強大的數(shù)學(xué)工具，目前難以實現(xiàn)。 小結(jié) 本章內(nèi)容較少，主要討論了三個問題：（1）編碼增益的概念（2）線性分組碼的性能限（3）線性分組碼性能的影響因素。所以，鑒于自身理論知識的儲備有限，再加上時間倉促，這里只能通過軟件仿真對已經(jīng)廣泛應(yīng)用的Hamming碼、BCH碼等碼字的部分性能做簡單分析，再將它們的性能與理論極限（Shannon限）作對比，得出結(jié)論。從廣義編碼信道看來，信道編碼的種類對傳輸性能起關(guān)鍵作用。 線性分組碼性能的影響因素影響信道編碼性能的因素有很多，而且也會隨觀察的角度不同而有所差異。但同時也應(yīng)該看到，碼長的增加會導(dǎo)致編譯碼設(shè)備的復(fù)雜度增大，而且由于分組碼在譯碼時，要求接收端收到整個分組的信息之后在進行譯碼，所以會帶來很大的時間延遲，不利于實時業(yè)務(wù)的應(yīng)用。（4） 漸進性能Shannon信道編碼定理指出，僅當(dāng)分組碼的碼長n→∞時，譯碼錯誤才會無限接近于0。特別的，在二進制情況下該極限可簡化為：kn≤12dn 式（41）（2） Hamming限Hamming限簡稱H限，它說明了線性分組碼的校驗位數(shù)所能達到的最小值，故它是線性分組碼的一個性能上限。這不僅能從理論上指出哪些碼字不可以構(gòu)造，而且也為工程應(yīng)用提供了對碼性能估計的理論依據(jù)。進一步討論性能極限的問題。因為“Shannon限”是任何編碼性能的理論極限值，而實際通信系統(tǒng)可允許的誤比特率在103~106之間，所以人們特別關(guān)心這個范圍內(nèi)的編碼效果。顯然，編碼增益隨著信噪比增大而增大，但當(dāng)Eb/N0→∞時，編碼增益收斂于某一固定值——漸進編碼增益。描述編碼增益的常用方法是對應(yīng)用編碼和未應(yīng)用編碼的同一系統(tǒng)畫出誤碼率Pe與信噪比Eb/N0的關(guān)系曲線，當(dāng)誤碼率用誤比特率表示時，Pe用Pb代替。特別是在某一誤碼率下，采用一個特定的編碼方案與沒有應(yīng)用編碼情況相比信噪比減少dB的數(shù)量。誤碼率Pe與信噪比Eb/N0的關(guān)系曲線體現(xiàn)了各種編碼的“絕對性能”。在糾錯編碼的性能分析中，誤碼字率和誤比特率是最常采用的性能評價標準。糾錯編碼的目的是降低誤碼率，因此評價某個編碼方案優(yōu)劣的標準，就是看在一定條件下編碼與不編碼相比誤碼率的性能改善了多少。下一章將對線性分組碼的性能影響因素以及性能研究方法做出探討。最后，以（7,4）漢明碼、（7,3）循環(huán)碼以及（15,5）BCH碼為例，詳細論述了這三種典型碼字的編譯碼過程。首先對線性分組碼的一般編譯碼過程做了理論上的推導(dǎo)，特別是生成矩陣和校驗矩陣的引入，讓整個過程能夠用數(shù)學(xué)方式加以描述，這給編譯碼電路的設(shè)計與實現(xiàn)帶來了方便。因為該碼是二元碼，錯誤程度為1，故ex=x5+x3，這樣，接收端通過錯誤圖樣ex就可正確譯出接收碼字。接著計算M1，M1=α11 α7α7 α7 式（355）Λ2Λ1 =S3S4 =α11 α7α7 α7α7α14 式（356）求解Λ1和Λ2可得Λ1=α8，Λ2=α11。首先在GF(24)擴域上的伴隨式可以表示為： S1= α5+ α3= α11 式（347）S2= α10+ α6= α7 式（348）S3= α15+ α9= α7 式（349）S4= α20+ α12= α14 式（350） S4= α25+ α15= α5 式（351） S6= α30+ α18= α14 式（352）因為這是一個具有糾正3個錯誤的碼字，首先令v=t=3，M=S1 S2 S3S2 S3 S4S3 S4 S5=α11 α7 α7α7 α7 α14α7 α14 α5 式（353）Det (M)=0，這表明發(fā)生的錯誤小于3個。故有兩個錯誤分別在第4和第6個位置，錯誤圖樣的多項式為e(x)=x5+x3。下面采用彼得森算法對其譯碼。有關(guān)BCH碼編碼和譯碼算法的推導(dǎo)本文不做詳細敘述，如有需要請參考相關(guān)文獻。其中，Xk代表與第k個錯誤的位置相關(guān)的域元素。這樣，v的取值就是實際發(fā)生的錯誤數(shù)目。要求構(gòu)造伴隨矩陣，M=s1?sv???sv?s2v1 式（340） 如果行列式值為零，令v=t1，再次計算行列式。在此簡要說明彼得森算法的基本思路：（1） 羅列出擴域GF(2m)上2t個代表某一種錯誤的部分伴隨式si=[y(x)]modg(x)。常見的時域BCH譯碼方法有彼得森譯碼、迭代譯碼等。時域譯碼則是在時域直接利用碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)進行譯碼。BCH碼的譯碼方法可以有時域譯碼和頻域譯碼兩類。（2） 以本原多項式P(x)的根為本原α，分別計算2t個連續(xù)冪次根α,?,α2t所對應(yīng)的二元域上的最小多項式m1x,?,m2t(x)。其生成多項式有如下形式：gx=LCM[m1x,m3x,?,m2t1x] 式（338）這里，t為糾錯個數(shù)，mix為最小多項式，LCM表示最小公倍式，由此構(gòu)造出的本元BCH碼具有下列參數(shù)：n=2m1nk≤mt dmin=2t+1式中，m（m≥3）和t是任意正整數(shù)。BCH碼與循環(huán)碼的構(gòu)造思想基本相同，也都要借助生成矩陣或生成多項式來描述其編譯碼過程。它由博斯(Bose)、查德胡里(Chaudhuri)和霍昆格姆(Hocquenghem)提出，并以三個人名字的開頭字母命名。下表列出了錯誤圖樣和伴隨式的對應(yīng)關(guān)系：表35錯誤圖樣和伴隨式的對應(yīng)關(guān)系伴隨式錯誤圖樣錯誤個數(shù)伴隨式錯誤圖樣錯誤個數(shù)000000000000100000010001000100000011100100101002001000000101101010001002001101001002101101011003010000001001110010000102010101000102110100100001011010010002111010000001011101000001111110000012只要接收端計算出伴隨式，就可以立即查表得到數(shù)據(jù)傳送過程中的錯誤圖樣，實現(xiàn)譯碼過程中的檢錯、糾錯環(huán)節(jié)，從而較為準確的恢復(fù)發(fā)送信息。假設(shè)譯碼器接收到的信息為[0100000]，對應(yīng)的碼字多項式為x5，則計算得到伴隨式：sx=x5modx4+x3+x2+1=x2+x+1 式（337）即[0111]，與監(jiān)督矩陣的第二列一致，由此可以得到錯誤圖樣為[0100000]。為了能夠糾錯，要求每個可糾正的錯誤圖樣必須與一個特定余式（伴隨式）有一一對應(yīng)關(guān)系。這種錯誤稱為不可檢錯誤，其誤碼必定超過了此編碼的檢錯能力。由最小漢明距離與檢錯個數(shù)關(guān)系，dmin=4≥e+1知道，它可以保證檢出3比特的錯誤。因此，可以以余項是否為零來判斷接收碼組中有無錯誤。下面用多項式法來說明其譯碼原理，先根據(jù)典型生成矩陣寫出其典型校驗矩陣：Hx=P I4=1011000111010011000100110001 式（336）校驗多項式hx=(x7+1)/g(x)=x3+x2+1。循環(huán)碼編碼過程中的線性約束關(guān)系與漢明碼類似，這里不再贅述，僅給出以下系統(tǒng)碼編碼結(jié)果[11]：表 34系統(tǒng)碼編碼結(jié)果序 號輸入序列輸出序列序 號輸入序列輸出序列1000000000091001001110200100111011010110100113010010011111110110100140110111010121111110100再來探討譯碼。需特別說明的是系統(tǒng)碼的編碼，其關(guān)鍵在于求出4個監(jiān)督碼元，一般方法是用u(x)與x4相乘，得到的結(jié)果除以生成多項式g(x)，求得的余式就是的監(jiān)督碼元多項式r(x)。直接將3位信息碼元u(x)與生成多項式gx相乘即可得到7位已編碼字。首先，要將多項式x7+1在二元域GF(2)因式分解：x7+1=x+1x3+x2+1(x3+x +1) 式（330）然后，令 g(x)=x+1x3+x +1，可得循環(huán)碼的生成多項式 gx=x4+x3+x2+1 式（331）應(yīng)該注意，其它碼字多項式均為g(x)的倍式，這也是循環(huán)碼生成多項式的重要特性。（4） 計算n維空間中的所有許用碼組c(x)=u(x)?g(x)。（2） 將xn1在二元域內(nèi)因式分解成幾個既約多項式之積。下面，給出設(shè)計循環(huán)碼的一般方法。顯然，循環(huán)碼的譯碼思路和線性分組碼類似。也就是說，當(dāng)sx=0 時，接收碼字無錯，否則出錯，而且它的取值只和錯誤圖樣有關(guān)。 循環(huán)碼的譯碼將發(fā)送碼字記為多項式c(x)，錯誤圖樣記為多項式e(x)，接收到的碼組記為多項式y(tǒng)(x)，則有y(x)=c(x)+e(x)。為了得到系統(tǒng)形式的循環(huán)碼，首先必須將輸入的信息碼多項式u(x)乘以xnk，使得碼組的最左k位是信息碼元，隨后是（nk）位監(jiān)督碼元，這是的碼多項式為：cx=ux? xnk+r(x) 式（326）這里rx=rnk1?xnk1+…+r0 是監(jiān)督碼多項式。但鑒于它的循環(huán)特性，我們這里用多項式描述其特有的編碼方式，這種方式也更易于編碼電路的實現(xiàn)。對應(yīng)的監(jiān)督矩陣Hx如下：Hx= xnr1?h*x? x ?h*x h*x 式（323）式中：h*x=xr+h1?xk1+…+hk1?x +1 式（324）h*x被稱為hx的逆多項式。生成多項式一般用g(x)表示，它是碼字集合中唯一一個冪次為r=nk的碼多項式，也是xn+1的所有因式中次數(shù)最低的碼多項式。設(shè)碼長為n的循環(huán)碼表示為：[1,2,?