【正文】 比較兩個仿真結果，具有狀態(tài)觀測器的單級倒立擺狀態(tài)反饋系統(tǒng)的控制效果和沒有狀態(tài)觀測器的控制系統(tǒng)的控制效果十分接近，令人滿意。然后運行仿真程序。不妨取狀態(tài)觀測器的特征值為： 201 ??s輸入以下命令 計算結果為 求出狀態(tài)觀測器矩陣為 ? ?T24 31 2040 59 027 8090 ???G 如果采用 MATLAB/Simulink構造具有狀態(tài)觀測器的單級倒立擺狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的仿真模型，如下圖所示。 234 ??s223 ??s212 ??s 設計狀態(tài)觀測器矩陣，使的特征值的實部均為負，且其絕對值要大于狀態(tài)反饋所配置極點的絕對值。因為系統(tǒng)是能觀測的，所以，可以設計狀態(tài)觀測器。 ?0??2. 狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋極點配置及其仿真 首先，使用 MATLAB，判斷系統(tǒng)的能觀性矩陣是否為滿秩。然后運行仿真程序。 不失一般性，不妨將極點配置在 61 ??s ??s 73 ??s ??s在 MATLAB中輸入命令 得到計算結果為 因此，求出狀態(tài)反饋矩陣為 ? ? ?????K 采用 MATLAB/Simulink構造單級倒立擺狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的仿真模型，如下圖所示。輸入以下程序 計算結果為 根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的。 ),a c k e r( PCAG TTT ?例 513 線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 uBAxx ???Cx?y其中 ???????????200120001A???????????101B ? ?011?C要求設計系統(tǒng)狀態(tài)觀測器，其特征值為 :－ 3, － 4, － 5。 P為一個行向量，其各分量為所希望的狀態(tài)觀測器的各極點。 狀態(tài)觀測器設計 在 MATLAB中，可以使用函數(shù)命令 acker( )計算出狀態(tài)觀測器矩陣 。 例 512 線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 uBAxx ???其中 ?????????? ????0100016116A???????????001B要求確定狀態(tài)反饋矩陣，使狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點配置為 101 ??s 112 ??s 123 ??s解 首先判斷系統(tǒng)的能控性，輸入以下語句 語句執(zhí)行結果為 這說明系統(tǒng)能控性矩陣滿秩，系統(tǒng)能控，可以應用狀態(tài)反饋，任意配置極點。即：該命令計算出狀態(tài)反饋陣 K，使得（ AbK）的特征值為向量 P的各個分量。 狀態(tài)反饋的系統(tǒng)方程為 BvxBKAx ??? )(?Cxy ? 在 MATLAB中，用函數(shù)命令 place( )可以方便地求出狀態(tài)反饋矩陣 K；該命令的調用格式為： K = place(A,b,P)。 MATLAB的應用 極點配置 線性系統(tǒng)是狀態(tài)能控時，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置系統(tǒng)的極點。而對于實際工程系統(tǒng)來說，要求系統(tǒng)為李亞普諾夫意義下漸近穩(wěn)定。 uxx?????????????????????????100001321100000? xy??????? 100 0111）系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為 解 ?????????????????????????? ?)2)(1()2)(1(1)2)(1(1)2)(1(13][)(2101ssssssssssssss BAICG2）判斷系統(tǒng)能解耦性 01 ?d 02 ?d ? ?011 ?Tr ? ?102 ?Tr??????????????100121TTrrE 因為 ，系統(tǒng)能解耦。這是構造性證明方法。 ),( FKG sTi例 59 中 ?????? ???????110122),(221 sssssssT FKG? ?01),(1 ?FKTr?????? ????? 43121),(222 sssssT FKG? ?31),(2 ?FKTr),( FKG sTi約定：對于 為零向量時， 0),( ?FKr Ti 能解耦性判據(jù) 定理 56 一個具有傳遞函數(shù) 的系統(tǒng)，能用狀態(tài)反饋 實現(xiàn)解耦的充分必要條件是以下矩陣非奇異。 i定義 1 ? ? 1,m in),( )()(2)(1 ?? imiii FKd ??? ?（ 54） 其中， 為 的第 k 個元素分母多項式和分子多項式次數(shù)之差， ),( FKG sTi)(ik?mk ,2,1 ?????????????????????????????),(),(4312111122)(212222FKGFKGGssssssssssssTTKF例 59 傳遞函數(shù)矩陣如下，求不變量 id解 對于 來說， ， 因此 ),(1 FKG sT 11211 ???? 20212 ????? ? 01m in),( 12111 ??? ??FKd對于 來說， ， 因此 ),(2 FKG sT 20221 ???? 20222 ????? ? 11m in),( 22212 ??? ??FKd),( FKG sTi約定：對于 為零向量時， nFKd i ?),(定義 2 （ 55） ),(lim),( 1 FKGFK ssr TidtTi i ???? 這是一個 m 維非零向量。 BFVxBKAKxFVBAxx ?????? )()(?Cxy ?（ 52） 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 BFBKAICG 1)]([)( ???? ssKF所謂解耦問題，就是尋求適當?shù)?K 和 F 矩陣使得狀態(tài)反饋傳遞函數(shù)矩陣 為對角陣。 ? ?ff CA ? ?rr CA設 )d e t()(ff ss AI ??? )d e t()( rr ss AI ???)(sr?)(sf? 和 在 s右半閉平面零點的最小公倍式為 )(s?0111)( asasass mmm ????? ?? ??)(s? 的所有零點都具有非負實部，內(nèi)模 可實現(xiàn)為 )(1 s??CCy x?eCCCC bxAx ????（ 50） ?????????????100?Cb????????????????????? 110100001000010mCaaa ????????A其中 duryre ????? Cxrdudur CCCCCCCCC bbCxbxACxbxAx ???????? )(?組合系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 rudCCCCCC????????????? ?????????????? ???????? bbbxxACbAxx 00??當 時，狀態(tài)反饋的組合系統(tǒng)特征多項式為 0?d???????????CCCKK sssC AICbbKbKAI )(d e t)(Δ對狀態(tài)反饋組合系統(tǒng)，如果給出 (n+m)個希望極點，求出 )(Δ* sCKK)(Δ* sCKK )(Δ sCKK比較 和