【正文】 現(xiàn)在車上的人以相對車大小恒為v、方向水平向后的初速往車下跳。結(jié)論：第一過程使車子獲得的速度較大。鉛球?qū)Φ氐乃俣仁牵╲ + u3）。它們動量守恒方程為：0 = m(v + u1) +〔M +(N1)m〕u1得：u1 =第二個球與（N 2）個球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u2 。第一個球與（N–1）個球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u1 。車子、人和N個球動量守恒。設(shè)車速方向?yàn)檎?，且第一過程獲得的速度大小為V1 第二過程獲得的速度大小為V2 。設(shè)車和人的質(zhì)量為M ，每個鉛球的質(zhì)量為m 。一般選地面為參照系，這樣對“第二過程”的鉛球動量表達(dá)，就形成了難點(diǎn)，必須引進(jìn)相對速度與絕對速度的關(guān)系。第一過程，保持每次相對地面拋球速率均為v ，直到將球拋完；第二過程，保持每次相對車子拋球速率均為v ，直到將球拋完。三、動量守恒中的相對運(yùn)動問題物理情形：在光滑的水平地面上，有一輛車，車內(nèi)有一個人和N個鉛球，系統(tǒng)原來處于靜止?fàn)顟B(tài)。⑴代入⑵消I1 ，得I2的表達(dá)式，將I2的表達(dá)式代入⑶就行了。建議采取如下步驟——先用⑤⑥式消掉v2 、v3 ，使六個一級式變成四個二級式：I1 = m1 v1 ⑴I2cosα－I1 = m2 v1 ⑵I2sinα= m2 v1 tgβ ⑶I － I2 = m3 v1(cosα+ sinαtgβ) ⑷解⑶⑷式消掉β，使四個二級式變成三個三級式：I1 = m1 v1 ㈠I2cosα－I1 = m2 v1 ㈡I = m3 v1 cosα+ I2 ㈢最后對㈠㈡㈢式消I1 、I2 ，解v1就方便多了。對A用動量定理，有：I1 = m1 v1 ①B的動量定理是一個矢量方程：+= m2 ，可化為兩個分方向的標(biāo)量式，即：I2cosα－I1 = m2 v2cosβ ②I2sinα= m2 v2sinβ ③質(zhì)點(diǎn)C的動量定理方程為：I － I2 = m3 v3 ④AB繩不可伸長，必有v1 = v2cosβ ⑤BC繩不可伸長，必有v2cos(β－α) = v3 ⑥六個方程解六個未知量（I1 、I2 、v1 、v2 、v3 、β）是可能的，但繁復(fù)程度非同一般。其三，由于兩段繩子不可伸長，故三質(zhì)點(diǎn)的瞬時速度可以尋求到兩個約束關(guān)系。模型分析：首先，注意“開始運(yùn)動”的理解，它指繩子恰被拉直，有作用力和沖量產(chǎn)生，但是繩子的方位尚未發(fā)生變化。答：二、動量定理的分方向應(yīng)用物理情形：三個質(zhì)點(diǎn)A、B和C ，質(zhì)量分別為m1 、m2和m3 ，用拉直且不可伸長的繩子AB和BC相連，靜止在水平面上，如圖2所示，AB和BC之間的夾角為（π－α）。忽略地面阻力，試求手的拉力F 。這個解沒有毛病可挑，是正確的。分析動能定理的解題，我們不能發(fā)現(xiàn)，垃圾與飛船的碰撞是完全非彈性的，需要消耗大量的機(jī)械能，因此，認(rèn)為“引擎做功就等于垃圾動能增加”的觀點(diǎn)是錯誤的。 = = = = = nmSv2如果用動能定理，能不能解題呢？同樣針對上面的物理過程，由于飛船要前進(jìn)x = vΔt的位移，引擎推力須做功W = x ，它對應(yīng)飛船和被粘附的垃圾的動能增量，而飛船的ΔEk為零，所以：W = ΔMv2即：vΔt = （n m S取一段時間Δt ，在這段時間內(nèi)，飛船要穿過體積ΔV = S物理過程需要人為截取，對象是太空垃圾。模型分析：太空垃圾的分布并不是連續(xù)的，對飛船的撞擊也不連續(xù)，如何正確選取研究對象，是本題的前提。飛船維持恒定的速率v飛行，垂直速度方向的橫截面積為S ，與太空垃圾的碰撞后，將垃圾完全粘附住。第二講 重要模型與專題一、動量定理還是動能定理？物理情形：太空飛船在宇宙飛行時，和其它天體的萬有引力可以忽略，但是，飛船會定時遇到太空垃圾的碰撞而受到阻礙作用。物體之間有相對滑動時，機(jī)械能損失的重要定勢：－ΔE = ΔE內(nèi) = f滑八、“廣義碰撞”——物體的相互作用當(dāng)物體之間的相互作用時間不是很短，作用不是很強(qiáng)烈，但系統(tǒng)動量仍然守恒時，碰撞的部分規(guī)律仍然適用，但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、機(jī)械能可能膨脹）。根據(jù)“碰撞的基本特征”，0 ≤ e ≤ 1 。三種典型的碰撞a、彈性碰撞：碰撞全程完全沒有機(jī)械能損失。即=ΣF外 三、動量守恒定律定律、矢量性條件a、原始條件與等效b、近似條件c、某個方向上滿足a或b，可在此方向應(yīng)用動量守恒定律四、功和能功的定義、標(biāo)量性，功在F—S圖象中的意義功率，定義求法和推論求法能的概念、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律功的求法a、恒力的功：W = FScosα= FSF = FS Sb、變力的功：基本原則——過程分割與代數(shù)累積；利用F—S圖象（或先尋求F對S的平均作用力）c、解決功的“疑難雜癥”時，把握“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一要點(diǎn)五、動能、動能定理動能（平動動能）動能定理a、ΣW的兩種理解b、動能定理的廣泛適用性六、機(jī)械能守恒勢能a、保守力與耗散力（非保守力）→ 勢能（定義：ΔEp = －W保）b、力學(xué)領(lǐng)域的三種勢能（重力勢能、引力勢能、彈性勢能）及定量表達(dá)機(jī)械能機(jī)械能守恒定律a、定律內(nèi)容b、條件與拓展條件（注意系統(tǒng)劃分）c、功能原理：系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力與耗散內(nèi)力做功的代數(shù)和。第五部分 動量和能量第一講 基本知識介紹一、沖量和動量沖力（F—t圖象特征）→ 沖量。正確的做法是：將vC分解出垂直于矢徑的分量（分解方式可參看圖12，但分解的平行四邊形未畫出）vC cosθ，再用vA（a－c）=（vC cosθ）a ，化簡之后的形式成為vA（a－c）= vC b要理解這個關(guān)系，有一定的難度，所以建議最好不要對A、C兩點(diǎn)用開普勒第二定律第三講 典型例題解析教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》，知識出版社，2002年8月第一版。然后，F(xiàn)萬n =ΣFn = m an ，即：F萬cosθ= m即：G針對地球從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程，機(jī)械能守恒m+（－）= m+（－）比較A、B兩點(diǎn)，應(yīng)用開普勒第二定律，有：vA（a－c）= vB（a + c）結(jié)合橢圓的基本關(guān)系：c = 解以上三式可得：vA = ， vB = 再針對地球從A到C的過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有m+（－）= m+（－）代入vA值可解得：vC = 為求A、C兩點(diǎn)的曲率半徑，在A、C兩點(diǎn)建自然坐標(biāo)，然后應(yīng)用動力學(xué)（法向）方程。地球軌道的離心率很?。ㄆ渲怠?，其中c為半焦距），這是我們常常能將它近似為圓的原因。試求地球在橢圓頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的運(yùn)動速度，以及軌跡在A、C兩點(diǎn)的曲率半徑。具體過程如下FAm = GFBm = G = －G最后，兩物之間的萬有引力 F = FAm + FBm = G－G需要指出的是，在一部分同學(xué)的心目中，可能還會存在另一種解題思路，那就是先通過力矩平衡求被挖除物體的重心（仍然要用到“填補(bǔ)法”、負(fù)質(zhì)量物體的重力反向等），它將在O、O′的連線上距離O點(diǎn)左側(cè)R/14處，然后“一步到位”地求被挖除物與m的萬有引力F = G然而，這種求法違背了萬有引力定律適用的條件，是一種錯誤的思路。既然A、B兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬有引力，就可以使用“拓展條件”中的定勢來計(jì)算了?？涨焕铿F(xiàn)在雖然空無一物，但可以看成是兩個半徑為R/2的球的疊加：一個的質(zhì)量為+M/8 ，一個的質(zhì)量為－M/8 。模型分析：無論是“基本條件”還是“拓展條件”，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處理方法。對A→最高點(diǎn)的過程用機(jī)械能守恒定律（設(shè)A所在的平面為參考平面），有m+ 0 = + mg Hm容易得到：Hm = L五、萬有引力的計(jì)算物理情形：如圖9所示，半徑為R的均質(zhì)球質(zhì)量為M，球心在O點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個半徑為R/2的球形空腔（球心在O′）。解法一：運(yùn)動學(xué)途徑。由于在D點(diǎn)之后繩子就要彎曲，則此時繩子的張力T為零，而此時仍然在作圓周運(yùn)動，故動力學(xué)方程仍滿足Gn = Gsinθ= m ①在再針對A→D過程，小球機(jī)械能守恒，即（選A所在的平面為參考平面）：m+ 0 = mg ( L + Lsinθ) +m ②代入v0值解①、②兩式得：θ= arcsin ，（同時得到：vD = ）小球脫離D點(diǎn)后將以vD為初速度作斜向上拋運(yùn)動。）下面先解脫離點(diǎn)的具體位置。法向動力學(xué)方程為T + Gn = ΣFn = man = m由于T≥0 ，Gn＞0 ，故v≠0 。（學(xué)生活動）小球會不會在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧后作自由落體運(yùn)動？盡管對于本問題，能量分析是可行的（BC之間不可能出現(xiàn)動能為零的點(diǎn)，則小球脫離圓弧的初速度vD不可能為零），但用動力學(xué)的工具分析，是本模型的重點(diǎn)——在BC階段，只要小球還在圓弧上，其受力分析必如圖9所示。能量關(guān)系的運(yùn)用，也是對常規(guī)知識的復(fù)習(xí)。當(dāng)小球在最低點(diǎn)時，給球一個vo = 2的水平初速，試求所能到達(dá)的最大高度。結(jié)論：Hm = 。時，最大射程Sxmax = （學(xué)生活動）若v0 、θ確定，試用兩種方法求小球到達(dá)的最大高度。設(shè)初速度方向與水平面夾θ角，建立水平、豎直的x、y軸，將運(yùn)動學(xué)參量沿x、y分解。所以：v2 = v1 / cosθ三、斜拋運(yùn)動的最大射程物理情形：不計(jì)空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為v0 ，方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。將此三角放大成圖7（乙），得出：S2 = S1 / cosθ 。由于過程極短，等腰三角形ACD的頂角∠A→0，則底角∠ACD→90176。從考查位置開始取一個極短過程，將繩的運(yùn)動和船的運(yùn)動在圖7（甲）中標(biāo)示出來，AB是繩的初識位置，AC是繩的末位置，在AB上取=得D點(diǎn)，并連接CD。解法一：在圖6（乙）中，當(dāng)我們挖掘、分析了滑輪繩子端點(diǎn)的運(yùn)動后，不難得出：船的沿水面運(yùn)動是v2合運(yùn)動，端點(diǎn)參與繩子的縮短運(yùn)動v1和隨繩子的轉(zhuǎn)動v轉(zhuǎn) ，從而肯定乙方案是正確的。錯誤的根源分析：和試驗(yàn)修訂本教材中“飛機(jī)起飛”的運(yùn)動分析進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系。故只能引入瞬時方位角θ，看v1和v2的瞬時關(guān)系。當(dāng)船比較靠岸時，可作圖比較船的移動距離、繩子的縮短長度，得到v2＞v1 。（學(xué)生活動）如果v1恒定不變，v2會恒定嗎？若恒定，說明理由；若變化，定性判斷變化趨勢。即：v2＜v1時，S合min = d ，此時，θ= arccos結(jié)論：若v1＜v2 ，θ= arccos時，S合min = d 若v2＜v1 ，θ= arccos時，S合min = d二、滑輪小船物理情形：如圖5所示，岸邊的汽車用一根不可伸長的輕繩通過定滑輪牽引水中的小船，設(shè)小船始終不離開水面，且繩足夠長，求汽車速度v1和小船速度v2的大小關(guān)系。此時，v合⊥v1 ，vv2和v合構(gòu)成一個直角三角形，αmax = arcsin并且，此時：θ= arccos有了αmax的值，結(jié)合圖1可以求出：S合min = d最后解決v2＜v1時結(jié)果不切實(shí)際的問題。當(dāng)θ變化時，v合矢量的大小和方向隨之變化，具體情況如圖4所示。我們可以通過v1與v2合成v合矢量圖探討v合與下游河岸夾角的最大可能。解法二：純物理解——矢量三角形的動態(tài)分析從圖2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量與下游河岸的夾角越大，亦即v合矢量與下游河岸的夾角越大（但不得大于90176。結(jié)論得出后，我們還不難發(fā)現(xiàn)一個問題：當(dāng)v2＜v1時，Smin＜d ，這顯然與事實(shí)不符。將S合沿x、y方向分解成Sx和Sy ，因?yàn)镾y ≡ d ，要S合極小，只要Sx極小就行了。）求渡河的位移和最小位移在上面的討論中，小船的位移事實(shí)上已經(jīng)得出，即S合 = = = 但S合（θ）函數(shù)比較復(fù)雜，尋求S合的極小值并非易事。時，渡河時間的最小值 tmin = （從“解法三”我們最容易理解t為什么與v2無關(guān)，故tmin也與v2無關(guān)。針對這一思想，有以下兩種解法解法一： t = 其中v合可用正弦定理表達(dá)，故有 t = = 解法二： t = = = 此外，結(jié)合靜力學(xué)正交分解的思想，我們也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐標(biāo)x、y，然后先將v1分解（v2無需分解），再合成，如圖2所示?？梢栽O(shè)船頭與河岸上游夾角為θ（即v1的方向），速度矢量合成如圖1（學(xué)生活動）用余弦定理可求v合的大小v合=（學(xué)生活動）用正弦定理可求v合的方向。試求小船渡河的最短時間和最小位移。六、宇宙速度、天體運(yùn)動第一宇宙速度的常規(guī)求法從能量角度求第二、第三宇宙速度萬有引力勢能EP = －G解天體運(yùn)動的本來模式時，應(yīng)了解橢圓的數(shù)學(xué)常識第二講 重要模型與專題一、小船渡河物理情形：在寬度為d的河中，水流速度v2恒定。因而相互作用的物體間有引力勢能。四、萬有引力定律定律內(nèi)容條件a、基本條件b、拓展條