20xx屆黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學高三上學期期中考試數(shù)學理試題解析版(參考版)
2025-04-07 02:48本頁面
【正文】 C2的參數(shù)方程消去參數(shù)φ，得到曲線C2的普通方程，由此能求出曲線C2的極坐標方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=1cosα+sinα,|OB|=ρB=4cosα，OBOA=4cosα(cosα+sinα)=2+22sin(2α+π4) ，由此利用0≤απ2，求出當α=π8時，OBOA 有最大值2+22．【詳解】（Ⅰ）曲線C1 的極坐標方程為ρ(cosθ+sinθ)=1 ，即ρsin(θ+π4)=22．曲線C2的普通方程為(x2)2+y2=4 ，即x2+y24x=0，所以曲線C2的極坐標方程為ρ=4cosθ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA|=ρA=1cosα+sinα,|OB|=ρB=4cosα，OBOA=4cosα(cosα+sinα)=2(1+2cos2α+sin2α)=2+22sin(2α+π4) 由0≤απ2，知π4≤2α+π45π4，當2α+π4=π2 ，即α=π8時， OBOA 有最大值2+22．【點睛】本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查兩線段比值的最大值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．23．（Ⅰ）a∈[1,2]；（Ⅱ）詳見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）利用絕對值的幾何意義可知函數(shù)f(x)=|2x34|+|2x+54|，從而可得f(x)min=2，解相應的不等式即可；（Ⅱ）利用分析法結(jié)合基本不等式即可證得結(jié)論．試題解析：解：（Ⅰ）f(x)=|2x34|+|2x+54|（Ⅱ）∵f(x)min=2，∴只需證明：2m+1+2n+1≤22成立，∵2(2m+1)≤2+(2m+1)2=m+32；2(2n+1)≤2+(2n+1)2=n+32．于是2(2m+1)+2(2n+1)≤m+32+n+32=m+n+3=4，∴2m+1+2n+1≤22成立， 故要證明的不等式成立．考點：1．絕對值不等式；2．恒成立問題；3．分析證明．。C1：x+y=1，能求出曲線x0，gx在(12,x0)單調(diào)遞減，gx在x0,0單調(diào)遞增， 又g0=0,g(12)0，∴x∈(12,0),h39。φx在(12,0)單調(diào)遞增且φ(0)0，φ(12)0，即存在x0∈(12,0)使得φx0=0即x∈(12,x0),g39。x=2lnx+1+x2x+12，令g(x)=2lnx+1+x2x+12，∴g39。(x)=2x2+2x4x+10，得1x1；令f39。(x)0，得x1，即可得到求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間；（II）由（I）可知：當0m12時，函數(shù)f（x）存在兩個極值點x1，x2，滿足x1+x2=1,x1x2=m2, x2∈(12,0)，可得fx2x1=2x2lnx2+1x22x2+1，令gh(x)=2xln(x+1)x2(x+1),x∈(12,0)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出范圍．【詳解】（Ⅰ）依題意知函數(shù)定義域為1,+∞，f39。(x) =2x2+2x+mx+1，當m=4時，令f39。（Ⅱ）∵F1A∥F1C，F(xiàn)1B∥F1D，AC?BD=0，∴直線AC,BD垂直相交于點F1(2,0)．①直線AC,BD有一條斜率不存在時，AC+BD=6+8=14②直線AC,BD斜率均存在，則斜率均不為0，不妨設(shè)AC方程y=k(x+2)聯(lián)立y=k(x+2)x216+y212=1，得(3+4k2)x2+16k2x+16k248=0Δ=(16k2)24(3+4k2)(16k248)=242(1+k2)0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1+x2=16k23+4k2，x1x2=16k2483+4k2∴AC=1+k2x1x2=24(1+k2)3+4k2．把1k代入上式可得：BD=24(1+k2)4+3k2，∴AC+BD=168(k2+1)2(4+3k2)(3+4k2)≥168(k2+1)2(4+3k2)+(3+4k2)22=967，當且僅當4+3k2=3+4k2，即k=177。即可得到答案.【詳解】由f(2x)+f(x)=0，知f(x)關(guān)于點1,0中心對稱，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的周期為2，已知f1=0，f3=f5=0，作出函數(shù)f(x)和hx=2sinπx在區(qū)間(3,5)上的的圖像如圖所示， 已知，所有零點之和為8+4+0+4+2+1+0+1+2+3+4=15.【點睛】】本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)周期與對稱性性的應用，屬于中檔題．13．3x+2y1=0【解析】【分析】因為直線l與已知直線垂直，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為1，由已知直線的斜率求出直線l的斜率，然后根據(jù)（1，2）和求出的斜率寫出直線l的方程即可．【詳解】因為直線2x3y+9=0的斜率為23 ，所以直線l的斜率為32 ，則直線l的方程為：y2=32（x+1） ，化簡得3x+2y1=0.即答案為3x+2y1=0．【點睛】本題考查學生掌握兩直線垂直時斜率的關(guān)系，會根據(jù)一點和斜率寫出直線的點斜式方程，是一道基礎(chǔ)題．14．19【解析】【分析】利用誘導公式和二倍角公式求解即可.【詳解】sinθ=cosπ2θ=12sin2π4θ2=19. 即答案為19.【點睛】本題考查誘導公式
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