數(shù)學(xué)系英文論文翻譯(參考版)
2024-09-12 13:57本頁(yè)面
【正文】 冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)及其應(yīng)用 在上一節(jié)中，我們討論了冪級(jí)數(shù)的收斂性，在其收斂域內(nèi)，冪級(jí)數(shù)總是收斂于一個(gè)和函數(shù)．對(duì)于一些簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)，還可以借助逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分的方法，求出這個(gè)和函數(shù)．本節(jié)將要討論另外一個(gè)問(wèn)題，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù) ()fx，能否將其展開(kāi)成一個(gè)冪級(jí)數(shù)，以及展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)是否以 ()fx為和函數(shù) ?下面的討論將解決這一問(wèn)題． 一、 馬克勞林 (Maclaurin)公式 冪級(jí)數(shù)實(shí)際上可以視為多項(xiàng)式的延伸，因此在考慮函數(shù) ()fx能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí)，可以從函數(shù)()fx與多項(xiàng)式的關(guān)系入手來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．為此，這里不加證明地給出如下的公式． 泰勒 (Taylor)公式 如果函數(shù) ()fx在 0xx? 的某一鄰域內(nèi)，有直到 1n? 階的導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)鄰域內(nèi)有如下公式： ()2000 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! !n nnf x f xf x f x f x x x x x x x r xn???? ? ? ? ? ? ? ? ?…,(9?5?1) 其中 ( 1 ) 10()( ) ( )( 1 ) !n nn fr x x xn ?? ????． 稱(chēng) ()nrx為拉格朗日型余項(xiàng)．稱(chēng) (9?5?1)式為泰勒公式． 如果令 0 0x? ，就得到 2( ) ( 0) ( )n nf x f x x x r x? ? ? ? ? ?…， (9?5?2) 此時(shí)， ( 1 ) ( 1 )111 ( ) ( )() ( 1 ) ! ( 1 ) !nnnnn f f xr x x x??????? ??, (01???)． 稱(chēng) (9?5?2)式為馬克勞林 公式． 公式說(shuō)明，任一函數(shù) ()fx只要有直到 1n? 階導(dǎo)數(shù)，就可等于某個(gè) n 次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)的和． 我們稱(chēng)下列冪級(jí)數(shù) ()2( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 ) ( 0 ) 2 ! !n nfff x f f x x xn???? ? ? ? ? ?… … (9?5?3) 為馬克勞林級(jí)數(shù)．那么，它是否以 ()fx為和函數(shù)呢 ?若令馬克勞林級(jí)數(shù) (9?5?3)的前 1n? 項(xiàng)和為1()nSx? ，即 ()21 ( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 ) ( 0 ) 2 ! !n nn ffS x f f x x xn? ???? ? ? ? ?…， 那么，級(jí)數(shù) (9?5?3)收斂于函數(shù) ()fx的條件為 1lim ( ) ( )nn s x f x??? ?． 注意到馬克勞林公式 (9?5?2)與馬克勞林級(jí)數(shù) (9?5?3)的關(guān)系，可知 1( ) ( ) ( )nnf x S x r x???． 于是，當(dāng) ( ) 0nrx? 時(shí)，有 1( ) ( )nf x S x?? ． 反之亦然．即若 1lim ( ) ( )nn s x f x??? ? 則必有 ( ) 0nrx? ． 這表明，馬克勞林級(jí)數(shù) (9?5?3)以 ()fx為和函數(shù) ? 馬克勞林公式 (9?5?2)中的余項(xiàng) ( ) 0nrx? (當(dāng) n?? 時(shí) )． 這樣，我們就得到了函數(shù) ()fx的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式： ( ) ( )20( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 ) ( 0 )! 2 ! !nnnnnf f ff x x f f x x x?????? ? ? ? ? ? ?? … …(9?5?4) 它就是函數(shù) ()fx的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式，也就是說(shuō)，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的．事實(shí)上，假設(shè)函數(shù) ()fx可以表示為冪級(jí)數(shù) 20 1 20()nnnf x a x a a x a x a x??? ? ? ? ? ? ?? … …， (9?5?5) 那么，根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)，再令 0x? (冪級(jí)數(shù)顯然在 0x? 點(diǎn)收斂 )，就容易得到 ()20 1 2 ( 0 ) ( 0 )( 0 ) , ( 0 ) , , , , ,2 ! !n nnffa f a f x a x a xn???? ? ? ?… …． 將它們代入 (9?5?5)式，所得與 ()fx的馬克勞林展開(kāi)式 (9?5?4)完全相同． 綜上所述，如果函數(shù) ()fx在包含零的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且在此區(qū)間內(nèi)的馬克勞林公式中的余項(xiàng)以零為極限 (當(dāng) n?? 時(shí) )，那么，函數(shù) ()fx就可展開(kāi)成形
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