20xx屆二輪復習--------函數(shù)與導數(shù)的綜合問題--學案(全國通用)(參考版)
2025-04-03 02:17本頁面
【正文】 東北四市聯(lián)合體模擬(一))已知函數(shù)f(x)＝＋alnx(a＞0).(1)若函數(shù)y＝f(x)圖象上各點切線斜率的最大值為2，求函數(shù)f(x)的極值點；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)＜2有解，求a的取值范圍.解：f′(x)＝－＋(x＞0).(1)∵a＞0，∴當＝時，f′(x)取得最大值，∴＝2.∵a＞0，∴a＝′(x)＝－＋＝，當x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，∴f(x)的極小值點為x＝，無極大值點.(2)∵f′(x)＝(x＞0且a＞0)，∴當x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，∴f(x)≥f＝a＋aln.∵關(guān)于x的不等式f(x)＜2有解，∴a＋aln＜2.∵a＞0，∴l(xiāng)n＋1－＜0.令g(x)＝lnx＋1－x，則g′(x)＝－1＝，當x∈(0，1)時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增，當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減，∴g(x)≤g(1)＝0，∴由ln＋1－＜0可解得＞0且≠1，∴a的取值范圍是.4.(2020濟南高三期末)已知函數(shù)f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)為f(x)的導數(shù).(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點；(2)若x∈[0，π]時，f(x)≥ax，求a的取值范圍.解：(1)證明：設(shè)g(x)＝f′(x)，則g(x)＝cosx＋xsinx－1，g′(x)＝xcosx.當x∈時，g′(x)0；當x∈時，g′(x)0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又g(0)＝0，g0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零點.所以f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點.(2)由題設(shè)知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一個零點，設(shè)為x0，且當x∈(0，x0)時，f′(x)0；當x∈(x0，π)時，f′(x)0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，π)上單調(diào)遞減.又f(0)＝0，f(π)＝0，所以當x∈[0，π]時，f(x)≥0.又當a≤0，x∈[0，π]時，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，a的取值范圍是(－∞，0].2.(2020＝1－0，故g(x)＝0在(0，＋∞)內(nèi)有唯一解，從而f′(x)＝0在(0，＋∞)內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為x0，則1x0ln.當x∈(0，x0)時，f′(x)＝＝0，所以f(x)在(0，x0)內(nèi)單調(diào)遞增；當x∈(x0，＋∞)時，f′(x)＝＝0，所以f(x)在(x0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，因此x0是f(x)的唯一極值點.令h(x)＝lnx－x＋1，則當x1時，h′(x)＝－10，故h(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，從而當x1時，h(x)h(1)＝0，所以lnxx－1，從而f＝ln－aeln＝ln－ln＋1＝h0.又因為f(x0)f(1)＝0，所以f(x)在(x0，＋∞)內(nèi)有唯一零點.又f(x)在(0，x0)內(nèi)有唯一零點1，從而，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)恰有兩個零點. [題后悟通]判斷函數(shù)零點個數(shù)的2種常用方法直接法直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，分離參數(shù)法分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為a＝g(x)，根據(jù)導數(shù)的知識求出函數(shù)g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性，求出極值以及最值，＝a與函數(shù)y＝g(x)(x)的極值和最值進行比較即可[跟蹤訓練]已知函數(shù)f(x)＝(x－1)2－x＋lnx(a＞1).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若1＜a＜e，試判斷f(x)的零點個數(shù).解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，令f′(x)＝0，則x1＝1，x2＝，因a＞1，則0＜＜1，當x∈時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)，當x∈時，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)，當x∈時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù).所以當a＞1時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù).(2)當1＜a＜e時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)的極小值為f(1)＝－1＜0，f(x)的極大值為f＝－＋ln＝－－lna－1.設(shè)g(a)＝－－lna－1，其中a∈(1，e)，則g′(a)＝＋－＝＝＞0，所以g(a)在(1，e)上是增函數(shù)，所以g(a)＜g(e)＝－－2＜0.因為f(4)＝(4－1)2－4＋ln 4＞9－4＋ln 4＝ln 4＋＞0，所以存在x0∈(1，4)，使f(x0)＝0，所以當1＜a＜e時，f(x)有且只有一個零點.根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)范圍[例2] (2020＝lnx－＋1，設(shè)g(x)＝lnx－＋1，則g′(x)＝＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而g(1)＝0，∴x∈(0，1)時，g(x)＜0，即f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)時，g(x)＞0，即f′(x)＞0，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞).(2)由(x－1)lnx＋ax＞0，得－ax＜(x－1)lnx，而x＞0，∴－a＜＝lnx－.記h(x)＝lnx－，則h′(x)＝－＝，設(shè)m(x)＝lnx＋x－1(x＞0)，顯然m(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而m(1)＝0，∴x∈(0，1)時，m(x)＜0，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減，x∈(1，＋∞)時，m(x)＞0，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增，∴h(x)min＝
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