【正文】 ．∴AE⊥DF；（4）如圖：由于點P在運動中保持∠APD=90176。．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF延長FD交AE于點G，則∠CDF+∠ADG=90176。．在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90176。所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于點P在運動中保持∠APD=90176。DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因為∠CDF+∠ADF=90176。DE==，當DE與DA重合時，a=，∴＜a＜；③如圖∵△DEF是等邊三角形∴∠FDC=30176。設NJ=x，則IQ=QN=2x，QJ=x，∵IJ=6cm，∴2x+x=6，∴x=126，即NJ=126（cm）．（3）分三種情況：①如圖：設等邊三角形的邊長為b，則0＜b≤6，則tan60176。由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15176。、∠MIN=60176。設NJ=x，則IQ=QN=2x、QJ=x，根據IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理進行計算，畫出圖形即可．（1）證明：∵①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC是正三角形：（2）證明：①如圖∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90176。根據A、C點求得直線AC的解析式，根據B、E點求出直線BE的解析式，聯(lián)立方程求得的解，即為F點的坐標；由E、C、F、D的坐標可知DF和EC互相垂直平分，則可判定四邊形CDEF為菱形．【詳解】（1）∵拋物線y=mx2+2mx+n經過A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點，∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2+x﹣；（2）∵y=x2+x﹣，∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1，∵CE∥x軸，∴C、E關于對稱軸對稱，∵C（0，﹣），∴E（﹣2，﹣），∵A、B關于對稱軸對稱，∴B（1，0），設直線AC、BE解析式分別為y=kx+b，y=k′x+b′，則由題意可得，解得，∴直線AC、BE解析式分別為y=﹣x﹣，y=x﹣，聯(lián)立兩直線解析式可得，解得，∴F點坐標為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明：∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，∴D（﹣1，﹣2），∵F（﹣1，﹣1），∴DF⊥x軸，且CE∥x軸，∴DF⊥CE，∵C（0，﹣），且F（﹣1，﹣1），D（﹣1，﹣2），∴DF和CE互相平分，∴四邊形CDEF是菱形．【點睛】本題考查菱形的判定方法，二次函數的性質，以及二次函數與二元一次方程組．14．小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處，再折出PB、PC，最后用筆畫出△PBC(圖1)．（1）求證：圖1中的 PBC是正三角形： （2）如圖2，小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求證：IH=IJ②請求出NJ的長； （3）小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為6cm，當另一邊的長度a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同．請根據小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說明問題即可)，并直接寫出對應的a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②126（3）3＜a＜4，a＞4【解析】分析：（1）由折疊的性質和垂直平分線的性質得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”證Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一點Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15176?！郃、K、B、P四點共圓，∴∠BPH=∠KAB=60176?！摺螦KB=60176?！唷鰽EF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四邊形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=2，∴△APB周長的最大值=4+4．（3）如圖③中，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH=PB．∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60176?！嗨倪呅蜤FPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90176。∴AM⊥BN．（2）如圖②中，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90176?！唷螦BN+∠BAM=90176。作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP，證明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可；（3）如圖③，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH=PB，證明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可.試題解析：（1）結論：AM⊥BN．理由：如圖①中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90176?！郙E＝MB．(3) 如圖3中，結論：EM=BM?tan．理由：同法可證：BM⊥EM，BM平分∠ABC，所以EM=BM?tan．【點睛】本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題．12．問題探究（1）如圖①，已知正方形ABCD的邊長為4．點M和N分別是邊BC、CD上兩點，且BM＝CN，連接AM和BN，交于點P．猜想AM與BN的位置關系，并證明你的結論．（2）如圖②，已知正方形ABCD的邊長為4．點M和N分別從點B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD方向向終點C和D運動．連接AM和BN，交于點P，求△APB周長的最大值；問題解決（3）如圖③，AC為邊長為2的菱形ABCD的對角線，∠ABC＝60176。即∠BME＝9017