【正文】 4＝249??3，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字相同，即67999的個位數(shù)字是3。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當a的個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球??當100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即aa叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2＝aa；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝aaa。3．有一串數(shù)，前兩個數(shù)是9和7，從第三個數(shù)起，每個數(shù)是它前面兩個數(shù)乘積的個位數(shù)。4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。那么怎么辦呢？仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，這串數(shù)的前四個數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串數(shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??可以看出，這串數(shù)是按照四個奇數(shù)一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠不會出現(xiàn)四個偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000”。從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。問：這串數(shù)中第88個數(shù)是幾？628088640448?分析與解：這串數(shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個相鄰數(shù)字與前面的某兩個相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。第24個數(shù)與第4個數(shù)相同，是9。也就是說，這串數(shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。已知第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。12＝8??4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。例1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、??這樣排下去。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。5A634B能被33整除，求A+B。所以，A=5，B＝9?；喌肂A＝4或AB＝7。例6 六位數(shù)能被99整除，求A和B。為了保證這個數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?＋32=11，這個數(shù)就能被11整除。例4 用3，3，7，7四個數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？ 解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個3和一個7即可。11=799247。11＝1??4，所求余數(shù)是114=7。因為17＜32，所以應(yīng)給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]247。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。也就是說，個位、百位、萬位??是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位??是偶數(shù)位。4．有一個2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是D。2．求下列各式除以9的余數(shù)：（1）67235＋82564；（2）9725647823； 綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（3）27836451；（4）3477+265841。說明：因為除法是乘法的逆運算，被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，所以當余數(shù)為零時，利用棄九法驗算除法可化為用棄九法去驗算乘法。如果不等，那么這個乘法計算肯定不正確。利用棄九法檢驗加法、減法、乘法（見例5）運算的結(jié)果是否正確時，如果等號兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個算式肯定不正確；如果等號兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因為九余數(shù)只有0，1，2，?，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）6＝6知，原題等號左邊的九余數(shù)是6。因為0≠1，所以這個算式不正確。例3 檢驗下面的加法算式是否正確：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。因為一個數(shù)與它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋?＋100除以9的余數(shù)相同。這樣在這個大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個多位數(shù)除以9余1。例1 求多位數(shù)764582***15除以9的余數(shù)。有沒有更簡便的方法呢？因為我們只是判斷這個式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個數(shù)的和是9時，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個3（如下圖），所以這個數(shù)除以9的余數(shù)是3。8．學校買了72只小足球，發(fā)票上的總價有兩個數(shù)字已經(jīng)辨認不清，只看到是□□元，你知道每只小足球多少錢嗎？ 第5講 棄九法從第4講知道，如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)能被9整除；如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。36＝4171。六位數(shù)綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程各位數(shù)字之和為12＋B＋C。六位數(shù)此C可取1，3，5，7，9。再由六位數(shù)能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成89，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。因為72＝89，8和9是互質(zhì)數(shù)，所既能被8整除，又能被9整除。例3 從0，2，5，7四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進行排列。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學過能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。（6＇）一個數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。因為99和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x99＋3x9）能被9整除。這就證明了（4）。（6）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個數(shù)就能被9整除。（2）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0或5，那么這個數(shù)就能被5整除。性質(zhì)3 如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)： 綠藤星教育（***）小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。綜合列式為：（31）（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2［（1＋10）10247。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+?+24 ＝（3＋24）8247。例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。例4 求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。公差+1，末項=首項+公差（項數(shù)1）。原式=（11+31）21247。由等差數(shù)列求和公式可得原式=（1＋1999）1999247。其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補“0”。當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補同”型，即“頭互補，尾相同”型。如43與57互補，99與1互補，555與445互補?！把a同”速算法簡單地說就是： 積的末兩位數(shù)是“尾尾”，前面是“頭頭+尾”。我們在三年級時學到的1515，2525，?，9595的速算，實際上就是“同補”速算法。例1（1）7674＝？（2）3139＝？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補”類型。兩個數(shù)之和等于10，則稱這兩個數(shù)互補。他們共加工了多少個零件？：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。練習1：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。例5 8864＝？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到8864＝（80＋8）（60＋4）＝（80＋8）60＋（80＋8）4＝8060＋860＋804＋84＝8060＋806＋804＋84＝80（60＋6＋4）＋84＝80（60＋10）＋84＝8（6＋1）100+84。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。解：292=2929＝（29＋1）（291）＋12＝3028＋1＝840+1＝841。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法。10＝455（千克）。同時考慮到基準數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來，所以基準數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。作為“基準”的數(shù)（如例1的80）叫做基準數(shù)，各數(shù)與基準數(shù)的差的和叫做累計差。實際計算時只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。分析與解：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發(fā)展。再由表4知，教師住在天津，即席輝住在天津。三者的關(guān)系需要兩兩構(gòu)造三個表，即人物與地點，人物與職業(yè)，地點與職業(yè)三個表。問：雞、兔各幾只？高冠軍，所以由（1）知乙不是數(shù)學博士。小建得了60分，那么他做對了幾道題？8．有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。練習131．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？2．學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。例8 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。＝3（只）。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？分析：假設(shè)500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，500=120（元）。解：436247。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要4536=9（輛）小卡車。答：有大瓶20個，小瓶30個。例5 現(xiàn)有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：兩種文化用品各買了多少套？分析與解：我們設(shè)想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100－80＝20（人）。問：大、小和尚各有多少人？分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。（42）=10（只），有兔16——10＝6（只）。當然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有416＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當作兔了。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數(shù)。許多小學算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計算。問：父女兩人現(xiàn)在各多少歲？5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。（1＋1＋1－1）＝6（年）。問：幾年后爺爺?shù)哪挲g等于三個孫子年齡之和？分析：今年三個孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。問：父子今年各多少歲？解法一：假設(shè)父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。父親在2000年的年齡應(yīng)是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加26＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。2=39（歲）。例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請問哥哥今年多少歲？ 分析與解：在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，若把弟弟歲數(shù)看成一份，那么哥哥的歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。小學奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級）例3 兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？ 分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48——20”歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年齡差還是這個數(shù)，這樣就可以用“差倍問題”的解法。問：這些煤共可以供暖多少天？第2講 年齡問題年齡問題是一類以“年齡為內(nèi)容”的數(shù)學應(yīng)用題。問：每天要工作幾小時？6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場買雞蛋。答：再用40天可以完成。（3）剩下