高二數(shù)學(xué)構(gòu)造函數(shù)法在不等式證明中運用-wenkub.com
2024-11-08 17:00 本頁面
【正文】 22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222（lgx+lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1+222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy 而 lgx0,lgy0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy ∴ 1從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。另證：類比萬能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡單。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x 而 0得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過來，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。0（當且僅當a=,b=,c=時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當a=,b=,c=時，(++)min=36 632abc構(gòu)造函數(shù)證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性+例巳知a、b、c∈R，且a b+mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。,b,c,d206。3同理可求得a,c206。0，即：0163。236。234。0恒成立。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。故兩個不等式至少有一個成立。238。D=(1c)24(c2c)＞0239。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x2+ 2(a + b)x + a2 + b2=(x + a)2 +(x + b)2 ≥0∵2＞0∴△=[2(a+b)]242(a2 + b2)≤0∴△=4(5c)28(9c2)≤0 ∴(c1)(3c7)≤0∴1≤c≤213同理可證：1≤a≤21，1≤b≤2133。當x＞0時，12x＜0，f(x)＜0；當x＜0時，x＞0,故f(x)=f(x)＜0 ∴x12xx2＜0，即x12x＜x2三、構(gòu)造一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明不等式【例3】已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：a + b + c＜abc + 2。(1＋13n2)＞33n+1．第四篇：巧用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式構(gòu)造函數(shù)法證明不等式一、構(gòu)造分式函數(shù)，利用分式函數(shù)的單調(diào)性證明不等式【例1】證明不等式：|a|+|b||a+b|1+|a|+|b|≥1+|a+b|證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x1+x(x≥0)則f(x)=x1+x=111+x在[0，+165。(1＋13n2)＞3n+1．證明：構(gòu)造函數(shù)f(n)=(1＋1)(1＋13n+1)bf(a)，故選A． F(x)=179。1．163。1xa1b=1，于是，即ln(1+x)179。(x)0，即f(x)在x206。)，f39。)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0 , +165。0時，不難證明xxx 在(0,+165。(x)0，得f(x)在[0 , +165。)上嚴格單調(diào)增加，從而f39。0）又f39。)上為增函數(shù)，又h(x)在x=0處連續(xù)，∴h(x)h(0)=0，即F39。(x)=exx1，2令h(x)=F39。 , 1)上為增函數(shù)，在(1 , +165。R恒成立；記g(x)=xex，則g39。(x)179。(x)=lnxlna+xG39。=lnxln． 222當0xa時，F(xiàn)39。(x)f(x)，要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注意總結(jié)．例5．【分析】 對于第（2）小問，絕大部分的學(xué)生都會望而生畏．學(xué)生的盲點也主要就在對所給函數(shù)用不上．如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達到證明不等式的目的．（2）對g(x)=xlnx求導(dǎo)，則g39。(x)=xf39。(0 , +165。)上恒正，∴函數(shù)h(x)在(0 , +165。)上為增函數(shù)，∴F(x)F(1)=10，∴當x1時，g(x)f(x)0，即6f(x)g(x)，故在區(qū)間(1,+165。)，考慮到F(1)=0，要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋?立問題，即當x1時，F(xiàn)(x)F(1)，這只要證明：g(x)在區(qū)間(1 ,+165。不等式f(x)g(x)在(1 ,+165。1．綜上可知：當x1時，有x+1x+1∴當x1時，g(x)179。)上的最小值為g(x)min=g(0)=0，11179。(x)0，即g(x)在x206。(1 , 0)時，g39。f(0)=0，即ln(x+1)x163。(0 , +165。(x)=，∴當1x0時，f162。bf(a)B．bf(a)163。1． 1+xa（2007年，陜西卷）f(x)是定義在(0 , +165。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x32三、換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例3】（2007年山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（111+1)23都成立． nnn四、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足不等式xf39。故當x185。當x﹥0時，12x﹤0，故f(x)﹤0；當x﹤0時，依圖象關(guān)于y軸對稱知f(x)﹤0。四、構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性證明不等式xx(x185。R+，∴a+b+ab﹥a+b，∴f(a+b+ab)﹥f(a+b)故有： aba+b+﹥ 1+a1+b1+a+：當x﹥0時，x ﹥ln(1+x)。(1,1)時恒有f(x)﹥∵a206。R+且a+b+c=1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(＝(1axa)2+(149++的最小值。解析：構(gòu)造函數(shù)：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。3② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式對某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項平方和函數(shù)：f(x)=(a1xb1)2+(a2xb2)2+K+(anxbn)2由f(x)179。0,233。2 消去c得： a+(b2)a+b2b+1=0，此方程恒成立，22238。235。：a,b,
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