第五章比估計與回歸估計(抽樣調(diào)查理論與方法-北京商學(xué)-wenkub.com
2025-01-20 02:13 本頁面
【正文】 hn 若各層的抽樣容量 不太大， 的變化也不大（各層 特色不明顯），則為了避免由 過小而引起的偏倚，此時宜 用聯(lián)合回歸估計。 ()式表明，若在分別回歸估計中設(shè)定最優(yōu) ，又在聯(lián)合 回歸估計中設(shè)定最優(yōu) ，那么除非一切最優(yōu) 均等于 分別回歸估計總是優(yōu)于聯(lián)合回歸估計的。 h h hyx ?、 、 1[ ( ) ]klrs lrs h h h h hhy N y N W y X x??? ? ? ? ? ??1[ ( ) ]kh h h h hhN y X x??? ? ??() 11[ ( ) ]kklrs h lrh h h h h hhhy W y W y X x???? ? ? ???() 當(dāng)各層的 為預(yù)先設(shè)定時，那么這兩個估計量都是無偏估 計量。 當(dāng) n 相當(dāng)大時， 或 如何估計呢？ ()lrMS E y()lrVar y由于這兩個參數(shù)的主要部分都是 ，因此，要 給出估計，只要將 S 換為 s， X、 Y 換為 x、 y， N 換為 n即可 221 ( 1 )Yf Sn ?? ?22(1 )YS ??形式上的估計可以寫成 22 11 2211( ) ( )1( ) 11( ) ( )niiniinniiiiix x y yyynx x y y???????????? ???? ???????????????????21222111( ) ( )( ) 1( ) ( )niinii nniiiiix x y yyyx x y y?????????????????? ???? ????????實質(zhì)上是殘差平方和，其自由度為 (n－ 2)，因此得到 或 的估計為： ()lrVar y ()lrMS E y212211( ) ( )1( ) ( )( 2 )()niinilr i niiix x y yfv y y ynnxx????? ?????? ??? ??? ? ???? ????????() 2221 ( 1 ) ( )( 2 )yxyxsfnsn n s?? ? ??1221( ) ( )()niiyx ilnxiix x y yssxx??????????為樣本回歸系數(shù) 21( ) ( 1 ) ( )( 2 )lr y l y xfv y n s snn ??? ? ??故 例 （續(xù)例 ）使用回歸估計繼續(xù)討論某縣小麥畝產(chǎn)與總產(chǎn) 量問題。但當(dāng) n 相當(dāng)大時，有下列近似結(jié)果： l? l?lry1( ) ( )lrE y Y O n??() 223211( ) ( 1 ) ( )lr YfV ar y S Onn ??? ? ?() 因此，對簡單隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本容量 n 相當(dāng)大時，回歸 估計 （不管 是否設(shè)定）的方差均近似地看作： lry?221( ) ( 1 )lr YfV ar y Sn ????與簡單隨機(jī)抽樣時 的簡單估計 的方差相比，只要 ， 則回歸估計一定優(yōu)于簡單估計。注意到 是 的 無偏估計， 又是 的無偏估計，因此，有： yYxX ( ) ( ) ( )lrE y E y E X x Y?? ? ? ?() 即回歸估計量是總體平均數(shù)的無偏估計?？梢娀貧w估計包含簡單估計和比估計。 現(xiàn)在假定變量 Y與 X之間存在著線性回歸關(guān)系（但不是通 過原點），又假設(shè) X的信息已知或部分已知，我們想利用 X的 信息提高對 Y的估計精度。 hn 一個有趣的事實是對于 的估計，恰好三個比估計比起 兩個簡單估計要略低一些，由于隨機(jī)性，當(dāng)然我們不能指認(rèn) 到底哪一個估計比較接近事實，但是三種比估計統(tǒng)統(tǒng)略低會 使我們產(chǎn)生這樣一個想法：這是否會是由于比估計本身時有 偏性而引起的呢？對于上面具體例子我們?nèi)狈Ω鶕?jù)說它們偏 小了些。 976 933 .60 87 911 202 ( )y N y? ? ? ? ? 畝為求精度，常用其標(biāo)準(zhǔn)差 ( ) ( ) ( )s y V ar y N V ar y??若用 ，則有 211( ) ( )yV ar y snN??11( ) 976 ( ) 5774 6 4832 4 ( )23 976sy ? ? ? ? ? 畝然而我們的這些數(shù)據(jù)畢竟是從分層抽樣而得到的，利用分層 估計真正的簡單隨機(jī)抽樣的平均數(shù)的方差，可以借用一個近 似公式（用于按比例分配的分層抽樣情況）也許更為精確： 21( ) ( )( 1 ) y stN n nv y s v yn N n?? ???? ??? ??2211 1 1()( 1 )ky h y hhN n n s W sn N n n N ??? ??? ? ???? ?? ?() ( ) ( ) 97 6 ( ) 48 35 1 ( )s y N v y v y? ? ? ? 畝此時 976 23 23 1( ) { 577 4523 ( 976 1 ) 23vy ???11( ) ( 75 4206 3 43 3122 1 82 1 2147 7 ) }23 976? ? ? ? ? ? ?245. 4235?兩種算法的差距并不大。 hRR? 然而，如果各層有自己的特色， 不可能在每一層均等 于 ，此時倘若對每一層來說， 與 之間的關(guān)系是比例 關(guān)系，即 ，此時 ，于是 ()式內(nèi)求 和式內(nèi)每一項中括號內(nèi)第二部分等于零，這樣顯然有 hRR hiY hiXhi hiY kX?h Y h h XhS R S? ?( ) ( )Rc RsV ar y V ar y?即“分別比估計”比“聯(lián)合比估計”精度高一些。當(dāng) n 相當(dāng)大時，有 ( ) ( )Rc RcMS E y V ar y?22 2 21( 1 ) ( 2 )k hhY h X h Y X hh hNf S R S R Sn??? ? ??() R Y X?其中 為總體的比值。 ,hhyxhYh ,Rh RhyyhXhX 22,Y XSSXhS ,YXSs ,YX,yx我們可以得到有關(guān)總體 和 的分別比估計為： Y 分層抽樣中的比估計有兩種：一是分層之后，先在各層 獲得比估計，然后按層權(quán)平均得到總體參數(shù)估計；二是先對 作分層估計，然后再采用比估計方法。如果 相關(guān)程度不那么密切（ ），此時已知的 X信息并 沒有較多地提供 Y的信息，借助 X來推斷 也許會“幫倒忙” 假如 X與 Y是負(fù)相關(guān)，則更不能采用比估計方法，此時應(yīng)采用 所謂乘積估計，即： Y 2XYCC? ?當(dāng) n 充分大時，且滿足： 1122XXYYS X CS Y C? ? ? ? ?() ,ppx y x yy y N????() 成立 ( ) ( )RV ar y V ar y?例 某縣小麥種植面積為 218756畝，分布在 N=576個村，為 估計全縣產(chǎn)量，隨機(jī)無放回地抽取 n=24個村，所得數(shù)據(jù)如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 302 361 608 444 298 349 416 428 258 347 351 158 308 217 492 280 378 386 428 390 376 432 261 483 i村 i村 ()iy產(chǎn)量 噸 ()iy產(chǎn)量 噸 ()ix面積 畝 ix面積 畝每個村有兩個指標(biāo)： 面積 和 產(chǎn)量 ，即： ixiy( , )iixy經(jīng)計算可
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