【正文】 探究 PG與 PC 的位置關(guān)系及PCPG的值． 小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng) GP交 DC于點(diǎn) H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決． 圖 1 圖 2 請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題： (1)寫出上面問題中線段 PG與 PC 的位置關(guān)系及 PCPG 的值； (2)將圖 1 中的菱形 BEFG 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形 BEFG的對(duì)角線 BF 恰好與 菱形 ABCD的邊 AB 在同一條直線上，原問題中的其他條件不變 (如圖 2)．你在(1)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明． 16．已 知：如圖，直角梯形 ABCD中， AD∥ BC， ∠ C＝ 90176。 135176。 150176。則從此多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有 ( )． (A)7條 (B)8條 (C)9條 (D)10條 8．如圖，將一矩形紙片按如右圖方式折疊， BC、 BD為折痕，若折疊后 A′B 與 E′B 在同一條直線上，則 ∠ CBD的度數(shù) ( )． (A)大于 90176。點(diǎn) D、 E 分別是 AC、 AB的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在BC的延長(zhǎng)線上，且 ∠ CDF＝ ∠ A． 求證：四邊形 DECF 是平行四邊形． 16．如圖，菱形 ABCD中， AB＝ 4， E為 BC的中點(diǎn)， AE⊥ BC于點(diǎn) E， AF⊥ CD于點(diǎn) F，CG∥ AE， CG交 AF于點(diǎn) H，交 AD于點(diǎn) G． (1)求菱形 ABCD的面積； (2)求 ∠ CHA的度數(shù)． 17．已知：如圖，以 △ ABC 的 AC 邊為一邊作 □ ACDE，并使 CE∥ AB交 BD于 F．求證： BF＝ DF． (請(qǐng)用 3種方法 ) 18．已知：如圖，四邊形 ABCD中， ∠ A＝ 90176。且它所對(duì)的 邊等于 5，則斜邊上的中線等于__________， 另一條直角邊等于 __________． 6．若梯形的上底長(zhǎng)為 30，下底長(zhǎng)為 70，則它的一條對(duì)角線把它分成兩部分的面積的比為 __________． 7．如圖，梯形 ABCD中， AD∥ BC，對(duì)角線 AC、 BD交于 O，要使圖中出現(xiàn)三對(duì)全等三角形，還需添加的一個(gè)條件是 (不添加另外的輔助線 )__________． 第 7題 8．如圖 ① ，在邊長(zhǎng)為 a 的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為 b 的小正方形 (a＞ b)，把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，如圖 ② ，從面積的角度看，驗(yàn)證了公式 __________． 第 8題 9．下列命題中，真命題是 ( )． (A)有一個(gè)角是直角，且對(duì)角線相等的四邊形是矩形 (B)有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形 (C)矩形是軸對(duì)稱圖形，且對(duì)稱軸是兩條對(duì)角線 (D)直角三角形的斜邊等于斜邊上中線長(zhǎng)的兩倍 10．如圖， △ ABP與 △ CDP是兩個(gè)全等的等邊三角形，且 PA⊥ PD．有下列四個(gè)結(jié)論：①∠ PBC＝ 15176。 BE⊥ CD于點(diǎn) E， AD＝ 1， CD＝ 22 ．求 BE的長(zhǎng)． 6．已知：如圖，梯形 ABCD中， AD∥ BC， E為 AB的中點(diǎn)， CD＝ AD＋ BC． 求證： DE⊥ EC． 7．已知：如圖，梯形 ABCD中， AD∥ BC， E為 DC的中點(diǎn)， EF⊥ AB 于 F． 求證：梯形 ABCD的面積＝ AB EF． (三 )拓廣、探究、思考 8．連結(jié)梯形兩對(duì)角線的中點(diǎn)所得線段與此梯形的上、下底之間有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量 關(guān)系 ？ 并證明你的結(jié)論． 9．已知：如圖，梯形 ABCD中， AD∥ BC， BD＝ CD， AB＜ CD且 ∠ ABC為銳角，若 AD＝ 4；BC＝ 12， E為 BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問：當(dāng) CE分別為何值時(shí)，四邊形 A－ BED 是等腰梯形 ？ 直角梯形 ？ 請(qǐng)分別說明理由． 10． (1)已知：如圖，在梯形 ABCD中， AD∥ BC， EF是梯形的中位線 (兩腰中點(diǎn)的連線 )．求證： EF∥ AD； EF∥ BC； )(21 BCADEF ?? ． (2)由 (1)可得梯形中位線定理： 梯形的中位線 __________并且等于 ______________________________． 11．求證：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰． 全章測(cè)試 (1) 一、填空題： 1．若 n邊形的每個(gè)外角都是 72176。求 ∠ AED的度數(shù)． 5．已知：等腰梯形 ABCD中， AD∥ BC， ∠ ABC＝ 60176。則下底長(zhǎng)是 ________． (6)已知梯形 ABCD中， AD∥ BC， AD＝ 3， AB＝ 7， BC＝ 6，則第四邊 CD的取值范圍是________． (7)如圖，等腰梯形 ABCD中，對(duì)角線 AC、 BD交于點(diǎn) O，那么圖中的全等三角形最多有________對(duì)． 第 (7)題圖 (8)如圖，梯形 ABCD中， AD∥ BC， AB＝ CD＝ AD＝ 1， ∠ B＝ 60176。 AD⊥ BC 于 D， BE 平分 ∠ ABC，交 AD 于 M，EF⊥ BC于 F． 求證：四邊形 AEFM是菱形． 8．已知：如圖，梯形 ABCD 中， AB∥ DC，過對(duì)角線 AC 的中點(diǎn) O 作 EF⊥ AC，分別交邊AB、 CD于點(diǎn) E、 F，連結(jié) CE、 AF． (1)求證：四邊形 AECF是菱形； (2)若 EF＝ 4， OE∶ OA＝ 2∶ 5，求四邊形 AECF的面積． (三 )拓廣、探究、思考 9．如圖，菱形 ABCD中， ∠ A＝ 72176。短邊長(zhǎng) ，則對(duì)角線的長(zhǎng)為 ( )． (A) (B) (C) (D) (3)矩形鄰邊之比 3∶ 4，對(duì)角線長(zhǎng)為 10cm，則周長(zhǎng)為 ( )． (A)14cm (B)28cm (C)20cm (D)22cm (4)在下列圖形中，沿著虛線將長(zhǎng)方形剪成兩部分，那么由這兩部分既能拼成平行四邊形又能拼成三角形和梯形的是 ( )． (二 )綜合運(yùn)用診斷 3．已知：如圖， □ ABCD中， AC 與 BD交于 O點(diǎn)， ∠ OAB＝ ∠ OBA． (1)求證：四邊 形 ABCD為矩形； (2)若作 BE⊥ AC于 E， CF⊥ BD于 F， 求證： BE＝ CF． 4．已知：如圖，在矩形 ABCD中， AE⊥ BD于 E， BE∶ ED＝ 1∶ 3，從兩條對(duì)角線的交點(diǎn) O作 OF⊥ AD于 F，且 OF＝ 2，求 BD的長(zhǎng)． 5．已知：如圖，在 □ ABCD中， AQ、 BN、 CN、 DQ分別是 ∠ DAB、 ∠ ABC、 ∠ BCD、 ∠ CDA的平分線， AQ與 BN相交于 P， CN 與 DQ相交于 M，試說明四邊形 MNPQ是矩形． 6．已知：如圖，在四邊形 ABCD中， AC、 BD互相平分于點(diǎn) O， ∠ AEC＝ ∠ BED＝ 90176。 BD⊥ AC 于 D， AE 平分 ∠ BAC， EF∥ DC，交BC于 F．求證： BE＝ FC． 4．已知：如圖，在 □ ABCD中， E為 AD的中點(diǎn)， CE、 BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F．若 BC＝ 2CD，求證： ∠ F＝ ∠ BCF． 5．已知：如圖，在 □ ABCD中， E、 F 分別在 AD、 BC上，且 AE＝ CF， AF、 BE交于 G，CE、 DF交于 H． 求證： EF與 GH互相平分． (三 )拓廣、探究、思考 6．如圖，在 □ ABCD 中， ∠ DAB＝ 60176。則這個(gè)四邊形 ________(填“ 是 ” 或 “ 不是 ” 或 “ 不一定是 ” )平行四邊形． (3)一個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)依次為 a、 b、 c、 d，且滿足 a2＋ b2＋ c2＋ d2＝ 2ac＋ 2bd，則這四邊形為 __________． (4)四邊形 ABCD中， AC、 BD為對(duì)角線， BO＝ 4， CO＝ 6，當(dāng) AO＝ __________． DO＝__________． 時(shí)，這個(gè)四邊形是平行四邊形． (5)如圖，四邊形 ABCD中，當(dāng) ∠ 1＝ ∠ 2，且 __________∥ __________時(shí)，這個(gè)四邊形是平行四邊形． 2．選擇題： (1)下列命題中，正確的是 ( )． (A)兩組角相等的四邊形是平行四邊形 (B)一組對(duì)邊相等，兩條對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 (C)一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形 (D)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 (2)已知：四邊形 ABCD中， AC與 BD交于點(diǎn) O，如果只給出條件 “ AB∥ CD” ，那么還不能判定四邊形 ABCD為平行四邊形，給出以下四種說法： ① 如果再加上條件 “ BC＝ AD” ，那么四邊形 ABCD一定是平行四邊形； ② 如果再加上條件 “ ∠ BAD＝ ∠ BCD” ，那么四邊形 ABCD一定是平行四邊形； ③ 如果再加上條件 “ OA＝ OC” ，那么四邊形 ABCD一定是平行四邊形； ④ 如果再加上條件 “ ∠ DBA＝ ∠ CAB” ，那么四邊形 ABCD一定是平行四邊形．其中正確的說法是 ( )． (A)① 和 ② (B)①③ 和 ④ (C)② 和 ③ (D)②③ 和 ④ (3)能確定平行四邊形的大小和形狀的條件是 ( )． (A)已知平行四邊形的兩鄰邊 (B)已知平行四邊形的相鄰兩角 (C)已知平行四邊形的兩對(duì)角線 (D)已知平行四 邊形的一邊、一對(duì)角線和周長(zhǎng) (二 )綜合運(yùn)用診斷 3．已知：如圖， E、 F是四邊形 ABCD的對(duì)角線 AC上的兩點(diǎn)， AF＝ CE， DF＝ BE， DF∥ BE． 求證： (1)△ AFD≌△ CEB； (2)四邊形 ABCD是平行四邊形． 4．已知：如圖， DB∥ AC，且 ,21 ACDB? E是 AC的中點(diǎn)，求證： BC＝ DE． 5．已知：如圖，四邊形 ABCD中， AB＝ DC， AD＝ BC，點(diǎn) E在 BC上，點(diǎn) F在 AD上， AF＝ CE， EF與對(duì)角線 BD交于點(diǎn) O，求證： O是 BD的中點(diǎn)． 6．已 知：如圖， △ ABC中， D是 AB的中點(diǎn)， E是 AC 上一點(diǎn)， EF∥ AB， DF∥ BE (1)猜想 DF與 AE的關(guān)系； (2)證明你的猜想． 7．已知：如圖， △ ABC中， D是 AC的中點(diǎn)， E是線段 BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn) A作 BE的平行線與線段 ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F，連結(jié) AE、 CF． 求證： CF∥ AE． (三 )拓廣、探究、思考 8．用兩個(gè)全等的不等邊三角形 ABC 和三角形 A′B′C′(如圖 )，可以拼成幾