【正文】 數(shù)值計算與計算機應(yīng)用，1993,14:3847.[21] 姚振漢，鐘曉光。）加載對煤巖體穩(wěn)定性及應(yīng)力應(yīng)變的影響進行了分析，得出在主應(yīng)力同水平方向呈45176。、15176。切向作用時對巷道穩(wěn)定性影響最為明顯。增加到45176。取側(cè)幫兩點多的數(shù)據(jù)可以得出，側(cè)幫所受應(yīng)力隨著角度的增加而減小的同時，位移變形卻逐漸增加，這說明夾角變化對側(cè)幫影響較大，在45176。時變化最為明顯，而水平位移隨著夾角增加逐漸變小。應(yīng)力均隨著夾角增加而增加，且豎直應(yīng)力變化不明顯，所以，可以得出頂板受水平應(yīng)力影響較大。逐漸增加到穩(wěn)定，這說明，夾角變化對側(cè)幫產(chǎn)生影響時，應(yīng)力以45176。作為分界，由0176。但是，由豎直應(yīng)力隨著角度的增加，應(yīng)力先增大后減小，在距離底板約2米即頂板半徑遠處，應(yīng)力最大，也就是說，隨著角度的增加數(shù)值應(yīng)力的變化趨勢的幅度降低，這說明了，隨著夾角的增加，豎直應(yīng)力對巷道底板圍巖影響變小。 底板中點位移變化圖形 底板中點應(yīng)力變化圖形隨著夾角的增加，頂板豎直位移增加，夾角為45176。時變化最為明顯，而水平位移隨著夾角增加逐漸變小。當然，模型為理想狀態(tài)，允許與實際有一定差異，變化趨勢與真實巷道基本吻合。不是很明顯，雖然角度變化對巷道穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，但是角度較小時影響不明顯。當然，模型為理想狀態(tài)，允許與實際有一定差異，變化趨勢與真實巷道基本吻合。時計算云圖直觀分析由云圖可以看出，巷道變形左右變化出現(xiàn)較大差異，因受到水平與豎直應(yīng)力的作用，巷道變形后底板中心、左右側(cè)幫中心向內(nèi)變形最為明顯，因為受力不對稱，巷道頂板左側(cè)變形大于右側(cè)，因頂板為圓弧形變化明顯，側(cè)幫變化相對于30176。不是很明顯，雖然角度變化對巷道穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，但是角度較小時影響不明顯。當然，模型為理想狀態(tài)，允許與實際有一定差異，變化趨勢與真實巷道基本吻合。 夾角為0176。、60176。5000Mpa表41巷道力學(xué)參數(shù)表模型的水平方向和垂直方向均施加15MPa的地應(yīng)力，計算采用Burgers模型，參數(shù)見表41，此模型為深部1000m巷道的模擬，坐標的選擇以地平面為0，另外，為了考慮深部巖層不穩(wěn)定性，本文模擬進行0176。像所有的數(shù)值模型一樣，它用來加強和補充，但從來沒有代替工程中問題的判斷。應(yīng)用域軟巖石，實際位移幅度可能是幾個數(shù)量級計算彈性值大于。在任何程度上被模擬實際巖體偏離這些假設(shè)的參數(shù)時，應(yīng)當參考Examine2D輸出的數(shù)據(jù)。所有的壓力被迫繞流分析平面平行開挖。位移和變形的邊界形狀，可以繪制說明整體變形趨勢。雖然Examine2D主要面向挖掘巖石的分析，它也可以被用于土壤應(yīng)用。巷道為半圓U形，巷道高 6m，寬 4m，半圓拱的圓心坐標為（0m，996m），建立 24m24m 的平面Examine2D是一個快速的二維間接邊界條件和位移變化的計算程序，用來計算巖石地下和地表挖掘的壓力和位移。位移不連續(xù)法對帶有裂縫的邊值問題特別適用。比較詳細地介紹了邊界元法的三種基本方法:虛應(yīng)力法，位移不連續(xù)法和直接邊界積分法。這個方程還只是示意性的，具體推導(dǎo)要用到（）（）（）三式，并注意到局部坐標與整體坐標的轉(zhuǎn)換。于是他給出了在二維無限域上某一長度為的直線段處由虛設(shè)的位移間斷（被拉開或錯動）所產(chǎn)生的位移場和應(yīng)力場（）： （） （）其中 （）當用位移間斷法解裂紋問題時，將裂紋用若干上述位移間斷線段來模擬，由裂紋面上給定面力建立代數(shù)方程組，由此解出，（或各線段處的，即切向和法向位移間斷），就可以進而確定任意點的位移和應(yīng)力。應(yīng)該指出的是，由于這里的積分核和以前一樣是Kelvin解，因此在求解過程中也會遇到奇異積分的處理問題。而相應(yīng)的位移場則還是連續(xù)的。利用已經(jīng)很熟悉的Kelvin解可知 ，由這種虛設(shè)載荷所產(chǎn)生的位移場為 （）相應(yīng)的應(yīng)力為 （）其中為在無限彈性平面上點的方向作用單位集中力所引起的任意場點處沿方向的位移，為在無限彈性平面上點的方向作用單位集中力所引起的任意場點處的應(yīng)力。此外對于Dirichlet問題也可采用單層勢（），得到邊界積分方程： （）這是第一類Fredholm積分方程。對三維問題只要在此方程中將改為。位勢問題的求解是要求出滿足邊界條件的調(diào)和函數(shù)。當要求域內(nèi)點的未知量時可以根據(jù)域內(nèi)未知量用邊界變量表示的積分表達式通過數(shù)值積分求出。奇異積分在計算式要作特殊處理，具體處理方法在后面關(guān)于邊界元數(shù)值方法的后面章節(jié)進行介紹。由此即得： （）注意到單元號，單元內(nèi)節(jié)點號和節(jié)點整體編號 的關(guān)系，并區(qū)分節(jié)點未知量和節(jié)點給定量，實際上（）式剛好是對于個節(jié)點未知量的個線性代數(shù)方程。原則上說，只有未知量是必須利用型函數(shù)插值的，邊界給定量可以不進行插值離散化，而直接利用精確給定函數(shù)。 （）下面簡單介紹幾種邊界元方法適用的方法邊界元法是基于邊界積分方程，采用與有限元法類似的分元、離散思想建立起來的。從而能夠看出邊界上，施加載荷時的一些性質(zhì)。其中表示的主值，有： （）k由變量x和y決定，即: （） 因此的值位于和之間。通過方程()我們可以得到，在原點不可以求解外，對于半平面上的任意一點，應(yīng)力大小為0。這種問題一般應(yīng)用到固體力學(xué)領(lǐng)域，對于Flamant問題的說明我們可以通過右圖可以看出：.Fy代表沿z軸作用的線荷載，而它的單位為:N/m。相應(yīng)的邊界積分方程為： （）其中為半平面內(nèi)部的邊界，例如空洞邊界，為半平面邊界上有面力作用的部分。其中下標代表在點作用方向的單位集中力引起的點方向的位移分量。這是求解彈性力學(xué)問題的理論方法，即把邊界上未知的量全部求解出來。得到的解為 ： （）推廣到一般情況并采用指標符號，在我們所取的任何點（稱源點）沿方向作用時，對于單位的力，在空間域內(nèi)的任意一個點（稱場點）處引起的方向位移分量可表示為 （）其中 （）這是點與點之間的距離。設(shè)集中力沿方向作用于坐標原點（）。彈性體一般有2種平衡狀態(tài)：，造成的，和他的，造成的。對于特例： （）稱算子為自共軛算子，對于二階線性微分算子而言，自共軛的條件即：是常系數(shù)，且。得出域內(nèi)解的積分公式為 （）相應(yīng)的邊界積分方程為 （）或者寫成 （）其中用表示二維域的邊界，基本解為 （）其中是任意選定的一個距離標尺，具有長度的量綱，數(shù)值可以是1或者根據(jù)實際問題的幾何尺度選定某個數(shù)。通過推導(dǎo)我們可以看出，調(diào)和方程的邊界積分方程可以從Green等式出發(fā)建立起來。如果對最一般的情況把邊界S分為給定函數(shù)值的部分和給定法向?qū)?shù)的部分，則（）式還可以改寫成（）其中和為邊界給定量。本章設(shè)計思路：首先建立邊界積分方程，然后對一般問題進行推廣，最后介紹Betti 定理、Kelvin解及 Somigliana 等式，從而對邊界元方程進行理論研究。雖然，邊界元方法在工程領(lǐng)域發(fā)展遲緩，經(jīng)過近期多位學(xué)者的努力，也取得了較大的成就，系統(tǒng)的得出了一些計算方法和基本理論，為以后的發(fā)展鋪平了道路。 巖體工程中邊界元的發(fā)展巖體工程領(lǐng)域遇到的問題比較適合用邊界元的方法，對于一般的巖體工程問題，設(shè)定好邊界條件后就可以用邊界元方法進行解決，但是，一般情況下，普通的邊界元方法只可以解決理想的彈性問題，并且要求巖體的材料是各向同性的，然而，在實際情況下，巖石是不能滿足理想狀態(tài)的，因此，邊界元方法不能廣泛的應(yīng)用于巖石工程領(lǐng)域，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，邊界元方法只是在理論領(lǐng)域有了較大的發(fā)展，而在工程實際應(yīng)用方面相對落后，即使有研究實際工程問題的文獻，也只是簡單的介紹，所以邊界元的發(fā)展在工程領(lǐng)域較慢。我國先后出版了多本有關(guān)邊界元法的專著，其中：面向工科專業(yè)的代表性的有杜慶華等1989年在高等教育出版社出版的《邊界積分方程——邊界元法的力學(xué)基礎(chǔ)與工程應(yīng)用》，嵇醒等1997年在同濟大學(xué)出版社出版的《邊界元法進展及通用程序》等；面向數(shù)學(xué)專業(yè)的有祝家麟1991年在科學(xué)出版社出版的《橢圓邊值問題的邊界元分析》，余德浩1993年在科學(xué)出版社出版的《自然邊界元方法的數(shù)值理論》等；與工程密切結(jié)合的有申光憲2005年在科學(xué)出版社出版的《多極邊界元方法和軋制工程》等。舉辦的依次為：日本的輕井澤（1987），北京清華大學(xué)（1988），日本東京的八王子（1990）北京清華大學(xué)（1991），日本北海道的札幌(1992),上海同濟大學(xué)（1993），日本九州的福岡（1995），北京清華大學(xué)（1998）。 我國邊界元法研究概況我國的邊界元法研究起步于20世紀70年代末期，清華大學(xué)的杜慶華在推動我國的邊界元法研究方面起了重要作用。（2）方法與應(yīng)用的開拓隨著邊界元研究的深入，解決各種非線性問題的邊界元法己有不同程度地發(fā)展和完善，邊界元法的應(yīng)用范圍進一步拓寬。其中，BEASY在當今邊界元應(yīng)用軟件市場可謂獨占鰲頭，在英國、美國、法國和日本等國的大學(xué)、研究所和公司得到了一定的應(yīng)用。1988年，Maekerle和Brebbia在文獻中從軟件的來源、類型、應(yīng)用范圍、前后處理、元素庫、材料性質(zhì)、特殊功能和硬件準備等多方面對135個邊界元法應(yīng)用軟件進行了歸納。1982年，在第四屆邊界元法國際會議上，英國南安普敦大學(xué)的Danson介紹了他們研制的邊界元分析程序包BEASY，這是國際上第一個邊界元法大型軟件。在應(yīng)用軟件領(lǐng)域:邊界元法作為一種數(shù)值方法，其應(yīng)用要通過計算程序來實現(xiàn)。邊界元法在非線性問題方面的研究與應(yīng)用已經(jīng)涉及：非彈性力學(xué)(包括塑性、彈粘塑性、彈塑性、蠕變等)、非彈性動力學(xué)、非彈性斷裂動力學(xué)、非彈性斷裂力學(xué)、非彈性殼體分析、非線性勢問題、彈性有限變形、非線性斷裂力學(xué)、含時間的非線性勢問題、非線性瞬態(tài)熱分析、材料非線性熱分析、非線性板殼分析、巖土力學(xué)、非線性瞬態(tài)波的傳插、非彈性有限變形等。在方法與應(yīng)用領(lǐng)域:70年代以前，邊界元法的研究僅僅限于解決以下幾個方面的問題：流體力學(xué)、彈性靜力學(xué)、板彎曲問題、波的傳播、勢問題、斷裂力學(xué)等，而且對于一些問題的研究也只是初步的嘗試。Wendiand是研究邊界元法數(shù)學(xué)理論的主要學(xué)者，其主要工作有：數(shù)值積分的漸近誤差分析，有限元和邊界元耦合方法的誤差分析，邊界元法解的穩(wěn)定性，彈性力學(xué)和流體流動問題邊界元法的數(shù)學(xué)理論，斷裂力學(xué)邊界元法的誤差分析等。大量論文和專著先后面世，發(fā)展之快、水平之高是前所未有的。1977年，Brebbia和Banerjee重新使用了邊界元法這個名稱，邊界元法從此有了明確的定義。同年，Symm將直接邊界元法應(yīng)用于有界面的多介質(zhì)問題，是非均質(zhì)問題最早的具有開拓性的貢獻。Cruse還討論了由邊界面力獲得表面應(yīng)力、體積力向邊界力轉(zhuǎn)換技術(shù)、斷裂力學(xué)問題以及對特殊形狀的裂紋采用特殊的應(yīng)力函數(shù)等。Symm在70年代對二維勢問題的邊界積分方程中的積分奇異性問題進行了研究，并發(fā)展了計算軟件。1967年，Rizzo 運用了BettiSomighana公式建立彈性靜力學(xué)問題的邊界積分公式，指出了邊界位移和面力的函數(shù)關(guān)系，這是文獻中最早的一篇關(guān)于直接邊界元方法的論文。同年，Jaswon對Laplace方程由勢理論建立了邊界積分方程的數(shù)值方法，為間接邊界元法的提出作出了重要貢獻。在這一時期，Richard Shaw對波的傳播問題的邊界積分方程方法進行了廣泛的研究。邊界元法的發(fā)展可分如下幾個時期： ( 1950—1978 )50年代初期，MuskhelishVili ( 1953 )將積分方程的方法用于結(jié)構(gòu)力學(xué)的分析，Kellogg ( 1953 )用積分方程的方法求解Laplace的問題，這便是邊界元方法的前身。常規(guī)邊界元的弱點更為明顯，舉例如下：邊界元方法求解問題時，所需要求解的代數(shù)方程是滿陣，而且是非對稱的，對于1000個邊界點的二維問題，大概需要計算2000個自由度，這樣對應(yīng)的系數(shù)矩陣就有20000000個元素，其中元素是雙精度的，因此，每個系數(shù)矩陣占有800M的儲存空間。有優(yōu)點也會有缺點，邊界元方法在求解問題時需要知道基本解，也需要建立Green函數(shù)并且一些問題的基本解釋不知道的，如非線性問題，因此，邊界元方法不能求解。邊界元方法的這些特點，使邊界元法得到了廣泛的應(yīng)用，并且受到了力學(xué)研究領(lǐng)域的重視。邊界積分方程——邊界元方法建立在有限元方法發(fā)展之后，成為了解決實際工程問題的一種有效而且比較廣泛的數(shù)值模擬理論。 twodimensional elastic problems。關(guān)鍵字：邊界元法； 煤巖體穩(wěn)定性；二維彈性問題； 間接邊界元法； 直接邊界元法；ABSTRACTThe finite element method was the only way to well solve the plex nonlinear behavior of coal and rock mass and geological discontinuity among all the mathematical simulation methods. During recent ten years, as a simple and highefficient numerical method, boundary element method has been developed greatly, which provides an alternative method to deal with coal and rock mass mechanics an