平方差公式與完全平方公式試題含答案-wenkub.com
2025-06-25 14:20 本頁面
【正文】 分析：由已知等式觀察可知 4. 推導(dǎo)新公式例5. 在公式中，當(dāng)a分別取1，2，3，……，n時(shí)，可得下列n個(gè)等式將這n個(gè)等式的左右兩邊分別相加，可推導(dǎo)出求和公式：__________（用含n的代數(shù)式表示）分析：觀察已知等式可知，后一個(gè)等式的右邊第一項(xiàng)等于前一個(gè)等式的左邊，將已知等式左右兩邊分別相加，得： 移項(xiàng)，整理得：例6. （04年臨汾中考）閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一些等式也可以用這種形式表示，例如： 就可以用圖4或圖5等圖表示。例2. （03年陜西中考）如圖2，在長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（），把余下的部分剪成一個(gè)矩形，如圖3，通過計(jì)算兩個(gè)圖形的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是______________。 解：原式 六. 先用公式，再展開 例6. 計(jì)算： 簡(jiǎn)析：第一個(gè)整式可表示為，由簡(jiǎn)單的變化，可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)的積，化簡(jiǎn)即可。若將2分解成4與的和，將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。通過觀察，將整式運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律變形為；將另一個(gè)整式變形為，則從其中找出了特點(diǎn)，從而利用平方差公式即可將其展開。計(jì)算：（1）(x+y+1)(1xy)。 （2）(x1/2)(x2+1/4)(x+1/2)解：（1）()()=()()=()()== (2) (x1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)=(x21/4) (x2+1/4)= x21/16.③逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2b2 = (a+b)(ab)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識(shí)乘法公式。1997＋19972 =(1998－1997)2=1第三層次──活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式．例3化簡(jiǎn)：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)，注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律，如果再增添一個(gè)因式“2－1”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解．解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．例4計(jì)算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)分析仔細(xì)觀察，易見兩個(gè)因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符．于是可創(chuàng)造條件─“拆”數(shù)：－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5．第四層次──變用 ：解某些問題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，則求解十分簡(jiǎn)單、明快．例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．解： ∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2ab＋b2)=a3177。（a2－1）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用．如計(jì)算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò)．若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題．即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）…（1－）（1+）=… ==．有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效．如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+ n2的值．面對(duì)這樣的問題就可用上述變式來解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2（－18）=49+36=85，m2－mn+ n2= （m+n）2－3mn=72－3（－18）=103．下列各題，難不倒你吧？！若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值．求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字．（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層
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