【正文】 （2） ∵x0， ∴x+1x?2=x?1x2≥0， ∴x+1x≥2，若使等號(hào)成立，則 x=1x，解得 x1=1，x2=?1（舍）， ∴ 當(dāng) x=1 時(shí)，才有 x+1x=2．（2） ∵ 四邊形 DAD?E 是菱形， ∴D 與 D? 關(guān)于 AE 對(duì)稱，連接 BD 交 AE 于 P，則 BD 的長即為 PD?+PB 的最小值，過點(diǎn) D 作 DG⊥BA 于 G . ∵CD∥AB， ∴∠DAG=∠CDA=60°， ∵AD=1， ∴AG=12，DG=32 . ∴BG=52 . ∴BD=DG2+BG2=7 . ∴PD?+PB 的最小值為 7．11. （1） 連接 OA， ∵OA=OB， ∴∠B=∠BAO， ∵EF⊥BC， ∴∠BFE=90°， ∴∠B+∠BEF=90°， ∵AG=GE， ∴∠GAE=∠GEA， ∵∠GEA=∠BEF， ∴∠BAO+∠GAE=90°， ∴GA⊥AO，又 OA 為 ⊙O 的半徑， ∴AG 與 ⊙O 相切．；（可在圖 1 中進(jìn)行研究）（3）點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 1,3，將射線 OE 繞原點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，得到射線 OF，在坐標(biāo)平面內(nèi)所有和射線 OE，OF 之間的距離相等的點(diǎn)所組成的圖形記為圖形 M． （i）請(qǐng)?jiān)趫D 2 中畫出圖形 M，并描述圖形 M 的組成部分；（若涉及平面中某個(gè)區(qū)域時(shí)可以用陰影表示） （ii）將射線 OE，OF 組成的圖形記為圖形 W，拋物線 y=x2?2 與圖形 M 的公共部分記為圖形 N，請(qǐng)直接寫出圖形 W 和圖形 N 之間的距離． 99. 如圖，將矩形 OABC 置于平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，A23,0，C0,2． （1）拋物線 y=?x2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) B，C，求該拋物線的解析式；（2）將矩形 OABC 繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 α0°α90°，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求此時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖 2，將矩形 OABC 繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 θ0°θ180°，將得到矩形 OA?B?C?，設(shè) A?C? 的中點(diǎn)為點(diǎn) E，連接 CE，當(dāng) θ= ；（2）如圖 2，M，N 分別為 EF，BC 的中點(diǎn)．求證：MN=22FC；（3）連接 BF，CE，如圖 3，直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段 BF，CE 與 AC 之間的數(shù)量關(guān)系： cm；（2）如圖3，將 △HDF 沿線段 DF 進(jìn)行翻折，與 CD 的延長線交于點(diǎn) M，連接 AM．當(dāng) a 為何值時(shí)，四邊形 PAMH 為菱形?并求出此時(shí)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t； （3）如圖4，當(dāng)點(diǎn) P 出發(fā) 1?s 后，AD 邊上另一點(diǎn) Q 從 E 點(diǎn)出發(fā)，沿 ED 邊向點(diǎn) D 以 1?cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)．如果 P，Q 兩點(diǎn)中的任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接 PQ，QH．若 a=43?cm，請(qǐng)問 △PQH 能否構(gòu)成直角三角形?若能，請(qǐng)求出點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t；若不能，請(qǐng)說明理由． 89. 對(duì)某一種四邊形給出如下定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”． （1）已知：如圖1，四邊形 ABCD 是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．則 ∠C= ． 85. 拋物線 y=ax2+bx+c（a≠0）與 x 軸交于 A2,0，B4,0 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C0,2（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn) P 從點(diǎn) O 出發(fā)，乙每秒 2 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) E 也從點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 秒 0＜t＜2． ①過點(diǎn) E 作 x 軸的平行線，與 BC 相交于點(diǎn) D，當(dāng) t 為何值時(shí)，1OP+1DE 的值最小，求出這個(gè)最小值并寫出此時(shí)點(diǎn) E 、 P 的坐標(biāo)； ②在滿足①的條件下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使 △EFP 為直角三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 86. （1）探究發(fā)現(xiàn)： 下面是一道例題及其解答過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整： 如圖 1 在等邊 △ABC 內(nèi)部，有一點(diǎn) P，若 ∠APB=150°．求證：AP2+BP2=CP2 證明：將 △APC 繞 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，得到 △AP?B，連接 PP?，則 △APP? 為等邊三角形 所以 ∠APP?=60°，PA=PP?，PC= ；（2）若點(diǎn) N 在線段 BE 上，點(diǎn) M 在線段 CE 上，且滿足 AN=NM=MC，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段 MN，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn) M，N 的位置是如何找到的（不要求證明）． 62. 如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+2 的圖象與 x 軸相交于點(diǎn) A?1,0，B4,0，與 y 軸相交于點(diǎn) C． （1）求該函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn) P 為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PQ⊥BC，垂足為點(diǎn) Q，連接 PC． ①求線段 PQ 的最大值； ②若以點(diǎn) P，C，Q 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 63. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=?2x+10 與 x 軸，y 軸相交于 A，B 兩點(diǎn)．點(diǎn) C 的坐標(biāo)是 8,4，連接 AC，BC． （1）求過 O，A，C 三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷 △ABC 的形狀；（2）動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) O 出發(fā)，沿 OB 以每秒 2 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BC 以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，當(dāng) t 為何值時(shí)，PA=QA?（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn) M，使以 A，B，M 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 64. 將矩形紙片 OABC 放在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 在 y 軸上，點(diǎn) C 在 x 軸上，點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 8,6，點(diǎn) P 是邊 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將 △OAP 沿 OP 折疊，使點(diǎn) A 落在點(diǎn) Q 處．（1）如圖 ①，當(dāng)點(diǎn) Q 恰好落在 OB 上時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． （2）如圖 ②，當(dāng)點(diǎn) P 是 AB 中點(diǎn)時(shí)，直線 OQ 交 BC 于 M 點(diǎn)． （a）求證：MB=MQ；（b）求點(diǎn) Q 的坐標(biāo)． 65. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，給出如下定義：對(duì)于 ⊙C 及 ⊙C 外一點(diǎn) P，M，N 是 ⊙C 上兩點(diǎn)，當(dāng) ∠MPN 最大時(shí)，稱 ∠MPN 為點(diǎn) P 關(guān)于 ⊙C 的“視角”．（1）如圖，⊙O 的半徑為 1， ①已知點(diǎn) A0,2，畫出點(diǎn) A 關(guān)于 ⊙O 的“視角”；若點(diǎn) P 在直線 x=2 上，求點(diǎn) P 關(guān)于 ⊙O 的最大“視角”的度數(shù)； ②在第一象限內(nèi)有一點(diǎn) Bm,m，點(diǎn) B 關(guān)于 ⊙O 的“視角”為 60°，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)； ③若點(diǎn) P 在直線 y=?33x+2 上，且點(diǎn) P 關(guān)于 ⊙O 的“視角”大于 60°，求點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) xP 的取值范圍． （2）⊙C 的圓心在 x 軸上，半徑為 1，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 0,1，點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 0,?1，若線段 EF 上所有的點(diǎn)關(guān)于 ⊙C 的“視角”都小于 120°，直接寫出點(diǎn) C 的橫坐標(biāo) xC 的取值范圍． 66. 已知拋物線的解析式為 y=14x2?12x+14，P 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，R1,1 是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)． （1）求拋物線的頂點(diǎn)及與 y 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）l 是過點(diǎn) 0,?1 且平行于 x 軸的直線，l 與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為 N，PM⊥l，垂足為點(diǎn) M，連接 PR，RM． ①當(dāng) △RPM 是等邊三角形時(shí)，求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)； ②求證：PR=PM． 67. 如圖（1），在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，點(diǎn) E 是射線 CD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把 △BCE 沿 BE 折疊，點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 F． （1）若點(diǎn) F 剛好落在線段 AD 的垂直平分線上時(shí)，求線段 CE 的長；（2）若點(diǎn) F 剛好落在線段 AB 的垂直平分線上時(shí)，求線段 CE 的長；（3）當(dāng)射線 AF 交線段 CD 于點(diǎn) G 時(shí)，請(qǐng)直接寫出 CG 的最大值 b= ． 35. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 的頂點(diǎn) A，C 分別在 x 軸和 y 軸的正半軸上，頂點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 2m,m，翻折矩形 OABC，使點(diǎn) A 與點(diǎn) C 重合，得到折痕 DE．設(shè)點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 F，折痕 DE 所在直線與 y 軸相交于點(diǎn) G，經(jīng)過點(diǎn) C，F(xiàn)，D 的拋物線為 y=ax2+bx+c． （1）求點(diǎn) D 的坐標(biāo)（用含 m 的式子表示）；（2）若點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 0,?3，求該拋物線的解析式．（3）在（2）的條件下，設(shè)線段 CD 的中點(diǎn)為 M，在線段 CD 上方的拋物線上是否存在點(diǎn) P，使 PM=12EA ?若存在，直接寫出 P 的坐標(biāo)，若不存在，說明理由． 36. 如圖，在 △ABC 中，點(diǎn) D，E，F(xiàn) 分別在 AB，BC，AC 上，且 ∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE． （1）如圖 1，當(dāng) DE=DF 時(shí)，圖 1 中是否存在與 AB 相等的線段?若存在，請(qǐng)找出并加以證明．若不存在說明理由．（2）如圖 2，當(dāng) DE=kDF（其中 0k1）時(shí)，若 ∠A=90°，AF=m，求 BD 的長（用含 k，m 的式子表示）． 37. 如圖，頂點(diǎn)為 C?1,1 的拋物線經(jīng)過點(diǎn) D?5,?3，且與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的右側(cè)）． （1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線上存在點(diǎn) Q，使得 S△OAQ=32，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；（3）點(diǎn) M 在拋物線上，點(diǎn) N 在 x 軸上，且 ∠MNA=∠OCD，是否存在點(diǎn) M，使得 △AMN 與 △OCD 相似?若存在，直接寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 38. 閱讀下面材料： 小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC 中，AB=AC，點(diǎn) D 在 BC 邊上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足為 E，求證：BC=2AE． 小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn) A 作 AF⊥BC，垂足為 F，得到 ∠AFB=∠BEA，從而可證 △ABF≌△BAE（如圖 2），使問題得到解決． （1）根據(jù)閱讀材料回答：△ABF 與 △BAE 全等的條件是 關(guān)系時(shí)，仍有 EF=BE+DF； （2）如圖4，在 △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn) D，E 均在邊 BC 上，且 ∠DAE=45°，若 BD=1，EC=2，求 DE 的長． 27. 如圖，在 △MNQ 中，MN=11，NQ=35，cosN=55．在矩形 ABCD 中，BC=4，CD=3，點(diǎn) A 與點(diǎn) M 重合，AD 與 MN 重合，矩形 ABCD 沿著 MQ 方向平移，且平移速度為每秒 5 個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn) A 與點(diǎn) Q 重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)． （1）MQ 的長度是 時(shí)，四邊形 CEDF 是矩形； ②當(dāng) AE= 最短路徑專題 含答案 1. 某同學(xué)的茶杯是圓柱體，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從 A 處爬行到對(duì)面的中點(diǎn) B 處，如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫出這條最短路線圖． 解：如圖1，將圓柱的側(cè)面展開成一個(gè)長方形，如圖示，則 A，B 分別位于如圖所示的位置，連接 AB，即是這條最短路線圖． 問題：某正方形盒子，如圖左邊下方 A 處有一只螞蟻，從 A 處爬行到側(cè)棱 GF 上的中點(diǎn) M 點(diǎn)處，如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫出這條最短路線圖． 2. 如圖，一圓柱體的底面周長為 24?cm，高 AB 為 16?cm，BC 是上底面的直徑．一只昆蟲從點(diǎn) A 出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C，求昆蟲爬行的最短路程． 3. 如圖一只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn) A 爬一個(gè)頂點(diǎn) B，如果正方體棱是 2，求最短的路線長． 4. 如圖，長方體的底面邊長分別為 2?cm 和 4?cm，高為 5?cm，若一只螞蟻從 P 點(diǎn)開始經(jīng)過 4 個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá) Q 點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路徑長． 5. 如圖，有一半徑為 2?cm，高為 10?cm 的圓柱體，在棱 AA1 的 P 點(diǎn)上有一只蜘蛛，PA=3?cm，在棱 BB1 的 Q 點(diǎn)上有一只蒼蠅，QB2=2?cm．蜘蛛沿圓柱爬到 Q 點(diǎn)吃蒼蠅，請(qǐng)你算出蜘蛛爬行的最短路線長．（π 取 ；結(jié)果精確到 ?cm） 6. 一只蜘蛛在一個(gè)正方體的頂點(diǎn) A 處，一只蚊子在正方體的頂點(diǎn) B 處，如圖所示，假設(shè)蚊子不動(dòng)，現(xiàn)在蜘蛛想盡快地捉到這只蚊子，那么它所走的最短路線是怎樣的，在圖上畫出來，這樣的最短路線有幾條? 7. 如圖，圓柱的高為 8?cm，底面直徑 4?cm，在圓柱下底面的 A 點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與 A 點(diǎn)相對(duì)的 B 點(diǎn)處的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米?π≈3 8. 如圖 1，是一個(gè)長方體盒子，長 AB=4，寬 BC=2，高 CG=1． （1）一只螞蟻從盒子下底面的點(diǎn) A 沿盒子表面爬到點(diǎn) G，求它所行走的最短路線的長．（2）這個(gè)長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒的長度為多少? 9. 如圖，△ABC 中，AB=BC，BE⊥AC 于點(diǎn) E，AD⊥BC 于點(diǎn) D，∠BAD=45°，AD 與 BE 交于點(diǎn) F，連接 CF． （1）求證：BF=2AE；（2）