【正文】 （5）為未知參數(shù)。2．[二]設X1，X1，…，Xn為準總體的一個樣本。（1）求的分布律；（2）求的分布律；（3）求E (), D (), E (S 2 ).解：（1）（X1，…，Xn）的分布律為 =（2） (由第三章習題26[二十七]知)（3）E ()=E (X )=P， [八]設總體X~N（μ，σ2），X1，…，X10是來自X的樣本。于是U－V～N (0, 2)而 =2－1=[九] 某種電子器件的壽命（小時）具有數(shù)學期望μ（未知），方差σ2=400 為了估計μ，隨機地取幾只這種器件，在時刻t=0投入測試（設測試是相互獨立的）直到失敗，測得其壽命X1，…，Xn，以作為μ的估計，為使問n至少為多少？解：由中心極限定理知，當n很大時 = 所以查標準正態(tài)分布表知即n至少取1537。且必須至少有80%部件工作才能使整個系統(tǒng)工作。（1），問接受這一斷言的概率是多少？（2），問接受這一斷言的概率是多少？解：設X為100人中治愈的人數(shù)，則X～B (n, p)其中n=100（1） （2）p= 7．[七] 一復雜的系統(tǒng)，由100個互相獨立起作用的部件所組成。有利用方差的性質3176。 ，3176。設Y=2 X1－X2+3X3－X4，求E (Y)，D (Y)。3176。設W=X+Y+Z 求E (W )，D (W )。3176。）證明：∵ D (X )－E (X－C )2 = D (X2 )－[E (X )]2－[E (X2 )－2CE (X2 )+C2 =－{[E (X )]2－2CE (X2 )+C2} =－[E (X )－C ] 20，∴當E (X )≠C時D (X ) E (X－C )2 17. 設隨機變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為其中θ0是常數(shù)，求E (X )，D (X )。解：（1）X123……nP…… （2）設一把一把鑰匙的試開，直到把鑰匙用完。將一只球裝入與球同號的盒子中，稱為一個配對，記X為配對的個數(shù)，求E(X )解：引進隨機變量 i=1, 2, … n 則球盒對號的總配對數(shù)為Xi的分布列為Xi:10P: i=1, 2 …… n∴ i=1, 2 …… n14.[十五] 共有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開門上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖。試求廠方出售一臺設備凈贏利的數(shù)學期望。(2) 設Z=Y/X，求E (Z )。設X為在其中至少有一只球的盒子的最小號碼（例如X=3表示第1號，第2號盒子是空的，第3號盒子至少有一只球），求E (X)。解：（1）∴ （2） （3）Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {)=P {X ≤ u, Y ≤ u} =F (u, u)= u0, FU (u) = 0第四章2.[二] ，檢驗員每天檢驗4次。解：（1）X的概率密度為y=x2Y的概率密度為1xDyo且知X, Y相互獨立，于是（X，Y）的聯(lián)合密度為（2）由于a有實跟根，從而判別式 即： 記 23． 設某種商品一周的需要量是一個隨機變量，其概率密度為并設各周的需要量是相互獨立的，試求（1）兩周（2）三周的需要量的概率密度。P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=在放回抽樣的情況下，X和Y是獨立的不放回抽樣的情況：P {X=0, Y=0 } =P {X=0}=P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=P {X=0}xo解: 10．[七] 設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)c。 P （2）求第2題中的隨機變量（X、Y ）的邊緣分布律。由獨立性定義知。 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)為 法二：根據(jù)定理：若X～N（α1， σ1），則Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 )由于T～N（, 2）故 故θ的概率密度為：第三章 多維隨機變量及其分布1.[一] 在一箱子里裝有12只開關，其中2只是次品，在其中隨機地取兩次，每次取一只。 = =1≤y時，ψ( y )=[ FY ( y)]39。 ∴ Y～ fY (y) = － =法二： ∴ Y～ fY (y) =34.[三十一] 設X的概率密度為求Y=sin X的概率密度。| h39。 = (0)39。 = (0)39?！? Y= g (X)=－2lnX 是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在?！? 25.[二十三] 設X～N（）（1）求P (2X≤5)，P (－4)X≤10)，P{|X|2}，P (X3)∵ 若X～N（μ，σ2），則P (αX≤β)=φφ∴ P (2X≤5) =φφ=φ(1)－φ(－) =－= P (－4X≤10) =φφ=φ()－φ(－) =－=P (|X|2)=1－P (|X|2)= 1－P (－2 P2 ) = =1－φ(－) +φ(－) =1－+= P (X3)=1－P (X≤3)=1－φ=1－=（2）決定C使得P (X C )=P (X≤C)∵ P (X C )=1－P (X≤C )= P (X≤C)得 P (X≤C )==又 P (X≤C )=φ ∴ C =326.[二十四] 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mmHg計）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。解：當－1≤x≤1時：當1x時：故分布函數(shù)為：解：（2）故分布函數(shù)為（2）中的f (x)與F (x)的圖形如下f (x)x0F (x)21x01222.[二十] 某種型號的電子的壽命X（以小時計）具有以下的概率密度： 現(xiàn)有一大批此種管子（設各電子管損壞與否相互獨立）。[九] 有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率（2）需作第二次檢驗的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標準被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B（10，），Y~B（5，）（近似服從）（1）P {X=0}=≈（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=（3）P {Y=0}= 5≈（4）P {0X≤2，Y=0} ({0X≤2}與{ Y=2}獨立) = P {0X≤2}P {Y=0} =（5）P {X=0}+ P {0X≤2，Y=0} ≈+=12.[十三] 電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率法一： （直接計算）法二： P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。他連續(xù)試驗10次，成功3次。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) = ()3 ()3+ [ （2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。（3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。）（3）一籃球運動員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率。Px12O再列為下表X： 0， 1， 2P： 4.[四] 進行重復獨立實驗，設每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1－p(0p1)（1）將實驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗次數(shù)，求X的分布律。（1）記C={至少有一只藍球}C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5種情況互斥由概率有限可加性，得（2）記D={有一只藍球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1兩種情況互斥（3）[三十] A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計知，打給A，B，C的電話的概率分別為。再設A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有P (A收| A發(fā))= P (B收| B發(fā))= P (C收| C發(fā))=α，P (A收| B發(fā))= P (A收| C發(fā))= P (B收| A發(fā))= P (B收| C發(fā))= P (C收| A發(fā))= P (C收| B發(fā))=又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A發(fā)) P (B收| A發(fā)) P (C收| A發(fā)) P (A收| A發(fā)) =，同樣可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =于是由全概率公式，得由Bayes公式，得P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = =[二十九] 設第一只盒子裝有3只藍球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍球，3只綠球，4只白球。某船只運輸某種物品損壞2%（這一事件記為A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分別為P (A1)=, P (A2)=, P (A2)=，現(xiàn)從中隨機地獨立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（這里設物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨立地）∵ B表取得三件好物品。解：高Hi表示飛機被i人擊中，i=1，2，3。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4] +[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5[二十六（1）]設有4個獨立工作的元件1，2，3，4。解：設Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2Aj表示“第j箱產(chǎn)品” j=1,2，顯然A1∪A2=S A1A2=φ（1）（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。 如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。（2）二只都是次品（記為事件B）法一： 法二： 法三： （3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）法一： 法二： 法三： （4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一：因為要注意第一、第二次的順序。（1）二只都是正品（記為事件A）法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結果，每種取法等可能。則，故20.[十六] 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P{孩子得病}=，P (B|A)=P{母親得病|孩子得病}=，P (C|AB)=P{父親得病|母親及孩子得病}=。擲兩顆骰子的試驗結果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}每種結果（x, y）等可能。解一： 注意. 故有P (AB)=P (A)－P (A)=