微積分(曹定華)(修訂版)課后題答案第二章習(xí)題詳解-wenkub.com
2025-06-17 05:48 本頁面
【正文】 B＜0，試由極限及零點存在定理的幾何意義說明至少存在一點x0∈（－∞,＋∞），使得f(x0)＝０.證: 由A 14. 。10. 。 6. 。 2. 。 (6) 。設(shè)，對等式兩邊取極限得，即，解得，（由極限的保號性，舍去），所以.5. 求下列極限：(1) ； (2) ；(3) 。又如：，則，不存在，而［f(x)g(x)］存在，則由或以及極限的運算法則可得g(x)，與題設(shè)矛盾。g(x)］, ［f(x) （4），當(dāng)時，是無窮小量。(5) f(x)= sinx,x→∞。；（8）錯誤，只有非零的無窮小量的倒數(shù)才是無窮大量。 例3：當(dāng)時，是無窮小量，而是無窮大量，但不是無窮大量，也不是無窮小量。取，則當(dāng)或時，有，而或就是，于是，當(dāng)時，有，所以 . 再證必要性：即若，則,由知，當(dāng)時，有，由就是 或，于是，當(dāng)或時，有.所以 綜上所述，f(x)=a的充要條件是f(x)在x0處的左、右極限均存在且都等于a.2. (1) 利用極限的幾何意義確定 (x2+a),和；(2) 設(shè)f(x)= ，問常數(shù)a為何值時，f(x)存在.解：（1）因為x無限接近于0時，的值無限接近于a，故.當(dāng)x從小于0的方向無限接近于0時，的值無限接近于0，故. （2）若存在，則，由（1）知 ， 所以，當(dāng)時，存在。3. 利用夾逼定理證明：(1) =0； (2) =0.證：（1）因為 而且 ，所以由夾逼定理，得.（2）因為，而且，所以，由夾逼定理得4. 利用單調(diào)有界數(shù)列收斂準則證明下列數(shù)列的極限存在.(1) xn=，n=1,2,…；(2) x1=,xn+1＝,n=1,2,….證：（1）略。 （2）因為，不妨設(shè)，則故有對于任意正整數(shù)n，有，即數(shù)列有上界，又 ，而,，所以 即 ，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。3. 利用極限的幾何意義說明sinx不存在.解：因為當(dāng)時，的值在1與1之間來回振擺動，即不無限接近某一定直線，亦即不以直線為漸近線，所以不存在。2. 判斷下列命題是否正確：(1) 無窮小量與無窮小量的商一定是無窮小量；(2) 有界函數(shù)與無窮小量之積為
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