多元函數(shù)微分學(xué)ppt課件-wenkub.com
2025-04-30 22:04 本頁(yè)面
【正文】 66 梯度的性質(zhì) (1) 若 f， g為可微數(shù)量函數(shù)，則 )(g r a d)(g r a d)(g r a d gfgf ???)(g r a d)(g r a d)(g r a d ( 2 ) gffggf ?????( 3) 若 )( uf 為可微函數(shù) , 且 ),( zyxuu ? 為可微函數(shù) , 則 )(g r a d)()(g r a d uufuf ???當(dāng) ),( zyxf 是一個(gè)數(shù)量值函數(shù)時(shí)，由 ),( zyxf 可產(chǎn)生出一個(gè)向量值函數(shù) kzfjyfixff????????????)(g r a d ，稱此向量值 函數(shù) 為數(shù)量場(chǎng) ),( zyxf 產(chǎn)生的 梯度場(chǎng) 。 解 將 l?單位化，得 kjil????6162610 ??? ， 例 5 所求方向?qū)?shù) ??? c osc osc os zfyfxflf ???????????,3|)2()1,1,1( )1,1,1(2 ???? zxyf x,3)1,1,1()1,1,1( ???? zy ff.0613623613 ?????????lf由對(duì)稱性可得 57 設(shè) n?是曲面 632222??? zyx 在點(diǎn) )1,1,1(P 處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù) 2122)86(1yxzu ?? 在此處沿方向 n?的方向?qū)?shù) . 解 令 ,632),( 222 ???? zyxzyxFPzyx FFFn },{ ????? }2,6,4{?例 6 ，}1,3,2{141//PP yxzxxu22 866???? 。1e)0,1(2)0,1(???? yxz? ,2e2)0,1(2)0,1(???? yxyz單位化得 ?????? ??21,21l?, 例 2 所求方向?qū)?shù) 212211)0,1(??????lz .21??,}1,1{ ??PQ52 求函數(shù)22),( yxyxyxf ??? 在點(diǎn) ( 1 , 1 ) 沿與 x 軸方向夾角為 ? 的方向射線 l?的方向?qū)?shù) .并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有 ( 1 ) 最大值； ( 2 ) 最小值； ( 3 ) 等于零？ 解 ?? s i n)1,1(c os)1,1()1,1(yx fflf ??????,s i n)2(c os)2( )1,1()1,1( ?? xyyx ?????? s inc o s ??),4s i n (2 ?? ??例 3 53 故 （ 1 ）當(dāng) 4?? ? 時(shí)， 方向?qū)?shù)達(dá)到最大值 2 。 由問題的實(shí)際意義知，最大利潤(rùn)一定存在，故當(dāng)兩種廣告方式分別投入 15萬(wàn)元與 10萬(wàn)元時(shí)，廣告產(chǎn)生的利潤(rùn)最大，最大的利潤(rùn)為 .)(15)10,15( 萬(wàn)元?f42 某產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù) 414380),( yxyxQ ? ，其中 yx ,分別表示投入的勞力數(shù)和資本數(shù)， Q 是產(chǎn)量。 33 如果目標(biāo)函數(shù)是三元函數(shù) ),( zyxf , 且約束條件有兩個(gè) , 0),( ?zyxg , 0),( ?zyxh , 則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為 .),(),(),(),。1 第九章 多元函數(shù)微分學(xué) ( 下 ) 2 設(shè)空間曲線的方程 )1()()()(????????tztytx???ozyx(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo) . 第六節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 M?.),(0000tttzzyyxxM??????????對(duì)應(yīng)于。,( zyxhzyxgzyxfzyxF ???? ???令 ,0),(0),(0),(),(),(0),(),(),(0),(),(),(?????????????????????????????zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzzzyyyxxx??????解出 zyx , ， 就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo) . 34 例 7 用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱 ,要求容積為 V,問怎么做用料最?。? 目標(biāo)函數(shù)： )(2 zxyzxyS ??? , 約束條件： xy zV ? , 解 構(gòu)作拉格朗日函數(shù) )()(2 Vx y zzxyzxyF ????? ? , 令 ???????????????????????Vx y zxyyxFxzzxFyzzyFzyx0)(20)(20)(2???, 解得唯一駐點(diǎn) 3 Vzyx ??? , 由實(shí)際問題 ,即為最小值點(diǎn) . 設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為 zyx , , 則 x y z 35 在周長(zhǎng)為 p2 的一切三角形中 , 求出面積最大的三角形 . 設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為 zyx , , 則面積為 ))()(( zpypxppS ???? , 約束條件 : pzyx 2??? , 目標(biāo)函數(shù)取為： ))()((),( zpypxpzyxf ???? , 令 ???????????????????????????????pzyxypxpFzpxpFzpypFzyx20))((0))((0))((???, 例 8 解 ，)2())()(( pzyxzpypxpF ???????? ?解得唯一駐點(diǎn) ，pzyx 32???即 做成 正三角形時(shí)面積最大 . ，pzyx ?? ,036 用一根長(zhǎng)為 p2 的鐵絲做一個(gè)網(wǎng)兜邊框： 三角形中 ,以正三角形面積為最大 ： 22 3 pp ?四邊形中 ,以正方形面積為最大： 22 41 pp ?五邊形 (正 )： 22 275 251 pp ??222 3 1 8 ??? ??圓： 最大 37 平面 0??? zyx 截橢球面 124222??? zyx 得一橢圓截線 , 求此橢圓的半軸長(zhǎng) . 在約束條件 0??? zyx 及 442 222 ??? zyx 例 9 解 此橢圓的中心顯然是坐標(biāo)原點(diǎn) ,因此問題即求 2222 zyxr ???下的最大值和最小值 . 作拉格朗日函數(shù) 222),( zyxzyxL ???)(2)442( 222 zyxz
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