【正文】 前面的優(yōu)化公式中沒有考慮交易手續(xù)費，從而也沒有考慮如何優(yōu)化轉(zhuǎn)移量。圖 單硬幣打賭下注比例優(yōu)化（可透支和賣空，P 1=P2=；r 0=，r 039。 ?1 = r1+r39。期貨的投資比例優(yōu)化還涉及保證金比例問題。什么是賣空? 在股票和國債市場上，通常我們只能先買后賣。? 239。r0 是貸款利率） ；q0=max（0，1?q） ，q 039。如果條件 II 不成立，則意味可以從銀行或證券公司透支或貸款去投資（比如買股票） 。比如說，只要虧光的概率不是 0，就一定不要滿倉；只要51 / 257虧光的概率達 ，就一定不要超過半倉——哪怕有 10 倍20 倍利潤的可能。注意r2/r1 不變的點， q*隨兩者增大而減小，這說明期望收益不變時，收益波動越大，優(yōu)化的投資比例應(yīng)越小。下面我們用求極值方法求最優(yōu)比例。對于單硬幣打賭問題，增值熵是 （）)log()log(1120201?????qRPqRPrrH其中 P1 和 P2 是贏虧的概率，R 1 和 R2 是相應(yīng)的兩種產(chǎn)出比；r 1 和 r2 是相應(yīng)的兩種收益（率） ；R 0=1+r0，r 0 是存款利率或市場利率；49 / 257q0=1?q； ?1=R1?R0=r1?r0，? 2=R2?R0=r2?r0，? 1 和? 2 是扣除銀行利率或市場利率的收益，簡稱超常收益（excess return） 。在一般情況下需要通過計算機編程得到數(shù)值解。投資比例矢量是有限制條件的。 幾何平均收益是 rg=Rg?1=2H?1。對上式取對數(shù)并令 m?∞ ，得 （）???WiNkiiiiigRqxPH101lo)(lg)(l我們稱 H 為增值熵，它是廣義熵的一種，其量綱和信息量綱相同。實際上，當(dāng)投資某一項目或股票的資金增大到一定程度，比如投資某一股票達數(shù)千萬元時，收益將呈非線性變化（效益遞減） 。其中 qk，k =1，2，...，N 是在第 k 種證券上的投資比例，q 0 是投資人所持現(xiàn)金比例；R 0k=R0=（1+r 0） ，r 0=存款利率或市場利率。44 / 257優(yōu)化投資組合的數(shù)學(xué)方法本章敘述新的投資組合數(shù)學(xué)理論。證券II（像是可轉(zhuǎn)換債券）的收益的期望和標準方差同樣是 和 ，但是收益的概率分布以 為中心（產(chǎn)出比以42 / 257 為中心）對稱反轉(zhuǎn)了一下（見圖 ），兩者投資價值分析如表 所示（這里忽略銀行利息和交易手續(xù)費，R r是本書定義的風(fēng)險測度，參見 節(jié)）。雖然 Markowitz 理論的成就是巨大的，但是其缺陷也是不容忽視的。對于有 N 種證券的組合 P，期望收益變?yōu)? （）??kPEq1其中 Ek 是第 k 種證券的期望收益，q k 是相應(yīng)的投資比例；標準偏差變?yōu)? （）kllklkllPqc???其中 ckl 是協(xié)方差系數(shù)， ?k 和 ?l 是兩種證券的標準方差， ?kl 是相關(guān)系數(shù)，即 （）))()(,lkl klkl Err??優(yōu)化投資組合實際上是在 qk 的某些限制下（比如?qi=1），改變投資比例 q1， q2，... ，q N，使（） ?????klklkPcEEa??達最小。Markowitz 用收益的期望 E 和標準方差?表示一種證40 / 257券的投資價值，期望越大越好，而標準方差越小越好。 從本章前面內(nèi)容，我們可以看出投資組合的意義：1）在收益不確定且可能虧損的情況下，改變投資比例可以提高資金的平均增值速度；2）如果有多個收益和風(fēng)險相同且彼此互不相關(guān)的品種，適當(dāng)分散投資比集中投資風(fēng)險小，且資金增值的平均速度快；3）同時投資反相關(guān)的品種可以減小總的投資風(fēng)險，提高資金平均增值速度。 e_2同理；r I 和 rII 是兩個品種的投資收益，比例 q 和 q* 是在每種證券上的投資比例和優(yōu)化的投資比例。我們用一對硬幣的兩面表示投資一個期貨品種或打賭的收益，同時是 A 面你虧 200%，同時是 B 面你賺38 / 257300%，一 A 一 B 你賺 50%。 從擲硬幣打賭看收益相關(guān)性對 投資效果的影響在前面我們假設(shè)幾個籃子被打翻是相互獨立的，如果幾個籃子被打翻是相關(guān)的會怎么樣呢？顯然，如果兩個籃子總是一道被打翻，那么，將雞蛋放在兩個籃子里和放在一個籃子里是一樣的，并不能降低風(fēng)險并提高收益。210。190。186。192。182。表 優(yōu)化比例和幾何平均收益隨籃子數(shù)目變化籃子數(shù)目 1 2 3 4 N??最優(yōu)投資比例（%） 1?25 2?23 3? 4? N?100/N幾何平均收益（%） 500204060801001 2 3 4 N238。下面我們將說明這是有數(shù)學(xué)道理的。因為資金是按乘積方式增長的（如表 所示），和盈虧順序無關(guān)。比如概率預(yù)測變?yōu)?Fr ={|?，|}時，和前面相比，期望收益沒有變，但是盈虧幅度減小了，風(fēng)險也小了，最優(yōu)投資比例增大為 2/3，優(yōu)化的幾何平均收益增大為%。202。205。205。192。180。這樣可以看出，使幾何平均收益達最大的比例也就是使累積收益達最大的比例。假設(shè)平均兩次，你輸一次贏一次，則你的資金會變?yōu)樵瓉淼模?+ ）（1?）= 倍?？墒侵灰幸淮文爿斄?，你就會變成窮光蛋，并且永遠失去發(fā)財機會；你可能每次下注 10 元。國內(nèi)30 / 257許多股市期貨炒手對穩(wěn)定的 30％的年收益不屑一顧，他們情愿冒高風(fēng)險追求 100%－200 ％的年收益，但是一旦虧損，就前功盡棄。彼得可見幾何增長的厲害。幾何平均小于算術(shù)平均可以通過圖 得到說明。比如，對于上面的擲硬幣打賭，如果你下注資金比例總是 1，則算術(shù)平均收益是 。上式中 q 增大時，幾何平均收益變化類似于拋物線，先大后小。當(dāng)一種投資的可能收益有多種時，期望收益變?yōu)?6 / 257 （）??iiarP我們稱相應(yīng)于期望收益的產(chǎn)出比 Ra 是期望產(chǎn)出比，于是有 Ra =1+ra 。假設(shè)有一種可以不斷重復(fù)的投資或打賭，其收益由擲硬幣確定，硬幣兩面出現(xiàn)的可能性相同；出 A 面你投一虧一，出 B 面你投一賺二，則我們把收益的概率預(yù)測寫成 Fr ={P1|r1，P 2|r2}={|?1，|2}產(chǎn)出比的概率預(yù)測寫成FR ={P1|R1，P 2|R2}={|0，|3}其中 r1，r 2 是兩種可能的收益（相對于賭注），R 1，R 2 是兩種可能的產(chǎn)出比，P 1 和 P2 是兩種收益出現(xiàn)的概率，在0 和 1 之間變化。比如說，投資股票 100 元，贏利 20 元，收益為r=20/100==20%；產(chǎn)出比 R=120/100==120%；如不買股票買國債的收益是 r0=，則超常收益是?=?==10%。我們用 r0 表示存款利息或國債收益，稱 ?＝r ?r0 為超常收益（excess return）。優(yōu)化投資組合說具體一點就是：在給定未來收益的概率分布的情況下優(yōu)化投資比例。他只要把全部資金投入到收益最大的證券或項目中去就行了。證券種數(shù)更多且包括預(yù)測的軟件正在研制之中。讀者不妨各取所需。閱讀建議和聯(lián)系電話 本書是為有關(guān)領(lǐng)域的大專學(xué)生、教師和研究人員，以及有一定文化水平的投資或決策者寫的。我是完全站在 Buffett 一邊的?？梢哉f，就投資組合模型來說，Markowitz 是對的而 Arrow 錯了，但就給定概率預(yù)測是否存在客觀的最優(yōu)組合來說，Markowitz 是錯的而 Arrow 是對的。這是兩本諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲獎?wù)叩臅阂槐臼?W. F. Sharpe 的著作 《證券投資理論與資本市場》[16]（ W. F. Sharpe 和 H. M. Markowitz 及 M. Miller 共獲1990 年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎）；這是一本深入淺出的好書，然而其中的理論基礎(chǔ)——Markowitz 證券組合理論——關(guān) 于最優(yōu)證券組合問題存在重大缺憾。我不知道這一新理論的命運是否會比前面的幾個好一些。我們這個時代似乎已失去了對理論的激情；可能是因為這些理論離我們的日常生活太遠，了解它們并不能增加我們的收入；也可能是因為這些理論太抽象，鑒別它們沒有簡單明了的方法；還可能是因為向權(quán)威挑戰(zhàn)就像在拳壇上向老拳王挑戰(zhàn)一樣，你必須明確無誤打倒對手，而決不能指望以點數(shù)取勝；也可能是因為世道仍像魯迅先生所言：我獨不解中國人何以于舊狀況那么心平氣和，于較新的機遇就這么疾首蹙額，于已成之局那么委屈求全，于初興之事就這么求全責(zé)備，知 識高超而目光 遠大的先生們開導(dǎo)我們：生下來的尚不是圣賢、豪杰、天才，就不要生；寫出來的尚不是不朽之作，就不要寫；改革的事尚不是一下子就變成極樂世界，或者，至少能（! ）有更多的好處，就萬萬不要動 ！……我相信我的色覺模型能夠得到神經(jīng)生理學(xué)實驗的檢驗，我的信息理論也能得到天氣預(yù)報、預(yù)測編碼和模式識別的檢驗……然而我沒有條件也沒有時間。后來我看到北京的鄧曉明在《潛科學(xué)》上發(fā)表了同樣的模型 [15]，他用時間乘上一個系數(shù)作為球的半徑，數(shù)據(jù)檢驗吻合得很好。我又興奮起來，又以為我的理論會很快傳遍世界。雖然《光學(xué)學(xué)報》發(fā)表了，可是注意它的人并不多。這一模型能使色覺的三色素說和頡頏說得到巧妙的統(tǒng)一。到目前為止，我的分析哲學(xué)理論和我的美學(xué)理論命運類似。其基本思想是：語言一致，比如同樣稱花紅草綠，而感覺不同是可能的；感覺是模擬符號，一種感覺并不一定反映特定的物性，感覺系列中的差異或者說信息才是客觀的；語言所指不能是感覺、要素（馬赫用法）或現(xiàn)象界（康德用法）中的東西，而是現(xiàn)象界后面的客觀存在；我對語言和感覺的分析反倒證明馬赫的要素論和邏輯經(jīng)驗主義是自相矛盾的 [10，11] 。市場經(jīng)濟下同樣是適者生存，太保守不行，太冒險也不行；首先要能安全生存，然后才能考慮賺大錢。有了好的決策，可以以不變應(yīng)萬變。有的機構(gòu)為了一點小利出租在天津國債回購市場的席位，結(jié)果被遼國發(fā)之類害得很慘，不得不承擔(dān)他人欠下的巨額債務(wù)。大家知道，1996 年上半年，上海股市漲了 50%，深圳股市漲了 100%，可是許多上市基金賺的還錢不到其凈資產(chǎn)的 10%。理由是湘中意有合資概念，有莊家拉抬，湘中意“活躍”。我親眼目睹了國債期貨 327 事件瘋狂悲壯的一幕，了解到廣東 1995 年 11月秈米期貨多頭主力如何覆滅的過程；體會到了玉米、天然膠、豆粕、膠合板…………期貨的大起大落帶來的大悲大喜…………有散戶如兔如羊——死了（輸光了）；有機構(gòu)如虎如狼——也死了。正是因為有新的數(shù)學(xué)理論指導(dǎo)決策，我才有幸成為不多的同在股市和期市賺錢的贏家之一，所管理的合作帳戶由1993 年 5 月的 1 元，到 1997 年 7 月（我修改本節(jié)內(nèi)容時）已變?yōu)?11 元多，漲了 10 倍；而同期深圳股市上漲不到 1倍，上海股市上漲不到 倍（比較見圖 ）。我曾做多滬市32337 國債，做空大連 1995 年 11 月玉米，買過海南1995 年 5 月咖啡，同時拋空 7 月咖啡——賺了；也曾做空廣東 1996 年 1 月豆粕，做多上海 1996 年 5 月大豆——虧了。為了檢驗理論，我于 1995 年初投身期貨市場。炒過股票的人都知道，如果你總是將所有的資金買入股票，先賺 50% 再虧 50%；或者先虧后賺，這樣一來，你會發(fā)現(xiàn)，你的資金變少了（變成 = 倍）。1882 年，玻爾茲曼（Boltzmann ）發(fā)展了熵理論，并把熵解釋為“失去的信息”。但是筆者炒股票也沒有因此而終止。原因之三是想向美國一些權(quán)威挑戰(zhàn)。我所著的《廣義信息論》 [4]中關(guān)于信息價值的討10 / 257論并不理想，而基于新的投資組合理論的信息價值理論正好可以彌補《廣義信息論》的不足。要想在風(fēng)險投資領(lǐng)域生存和發(fā)展，好的預(yù)測和好的決策缺一不可。用“投資組合”而不是“組合投資”也是為了使它和 portfolio 原意更相近。當(dāng)很多人在說為香港回歸而感到驕傲和自豪的時候，作者卻說：“翻開我們的教科書，比較中國人和英國人在科學(xué)史上的貢獻，我覺得中國人還需不懈努力，如果有一天中國人在科學(xué)技術(shù)上的進步使得英美學(xué)生受罪學(xué)中文——像中國學(xué)生現(xiàn)在受罪學(xué)英文那樣，那時我才能真正自豪起來。作者還是期貨導(dǎo)報副刊專欄作者，筆名：魯莽；他寫過許多別有風(fēng)味的股市雜談和一篇連載的股市諧趣小說，在小說中以拿筆桿子的堂本書理論已被作者的實踐證明是有用的。強調(diào)風(fēng)險控制而不反對使用賣空和透支的策略，看來這是奇怪的；而原來在這本書里，使資金快速增值(以幾何平均速度) 和控制投資風(fēng)險壓根兒就是一回事。這本書是為與投資、預(yù)測和決策有關(guān)的學(xué)者寫的——所以書中有大量的數(shù)學(xué)公式；同時也是為有一定文化水平的股民、投資者或經(jīng)營決策者寫的——所以書中有大量的投資組合實例分析，其中涉及股票、期貨、期權(quán)、貸款、保險、賭博……書中關(guān)于股市的分析內(nèi)容尤為豐富。36 定價： 元3 / 257投資組合的熵理論和信息價值——兼 析 股 票 期 貨 等 風(fēng) 險 控 制魯晨光 著中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社1997合肥4 / 257圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)投資組合的熵理論和信息價值——兼析股票期貨等風(fēng)險控制/魯晨光 著—合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1997 年 10 月ISBN 7312009522 /F近些年來投資市場的大風(fēng)大浪使人們越來越意識到：面對風(fēng)險極大的投資市場，我們太需要一個關(guān)于如何使資金快速增值而又有助于控制投資風(fēng)險的數(shù)學(xué)理論了。用作者的話來說：最穩(wěn)妥的進攻就是最好的防守。作