【正文】 !每個(gè)工作有且只有一個(gè)人做。! 目標(biāo)函數(shù)L(P,P0)。 match(people, work): recost,reefficient,k。d=max(max(cost))。 2 5 5 7 9 4。b=max(max(efficient))。1 4 2 2 1 2。 !每個(gè)工作有且只有一個(gè)人做。! 目標(biāo)函數(shù)：總共最低成本。 work/1..6/。 for(match:bin(k))。 for(people(i): sum(work(j): k(i,j))=1)。 match(people, work): efficient,k。附錄問(wèn)題一 !求解最大效率分配方式的lingo程序。[2]蘇金明，阮沈勇著，MATLAB實(shí)用教程，北京：電子工業(yè)出版社，2008。而我們的模型只考慮了成本與效率整體下的最優(yōu)解。對(duì)于問(wèn)題一二的解決中我們應(yīng)用了01規(guī)劃模型大大降低了問(wèn)題的難度，使目標(biāo)函數(shù)成為求和的形式，便于計(jì)算。則與的距離表達(dá)式如下： （3）然后將多目標(biāo)規(guī)劃模型中德(1)、（2）式代入（3）式得到最終表達(dá)式.第三步：最終單目標(biāo)規(guī)劃模型建立。、求解可以借助問(wèn)題一、二中的程序只是將其中的效率，成本中的數(shù)據(jù)替換成標(biāo)準(zhǔn)化后的和中的數(shù)據(jù)。同時(shí)有總成本的目標(biāo)函數(shù): 其中表示任意一種工作分配方案得到的成本值。由于該問(wèn)題要求兼顧效率與成本，而這兩項(xiàng)指標(biāo)卻不是同性質(zhì)的，而且成本數(shù)據(jù)都偏大一些，為了防止成本數(shù)據(jù)影響最終結(jié)果，需要對(duì)兩項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化方法有很多種，這里我們采用極值差方法對(duì)兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行處理。然后我們建立反應(yīng)第人是否負(fù)責(zé)第個(gè)工作的01變量 由題目可知，六個(gè)人負(fù)責(zé)六項(xiàng)工作，所以每個(gè)人只能負(fù)責(zé)一項(xiàng)工作，而且每個(gè)工作只能由一個(gè)人來(lái)完成。其中表示只考慮效率指標(biāo)時(shí)，效率的最大值。數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理處理后，要兼顧效率與成本，則效率和成本就都會(huì)偏離問(wèn)題一、問(wèn)題二中的最優(yōu)值，如果所給的工作安排方案能使兩者距各自最優(yōu)值的偏移量最小化則就意味著效率和成本都得到了兼顧，而且相對(duì)最優(yōu)。然而每個(gè)人的工作安排有很多種情況，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，采用01規(guī)劃模型，引入01變量，我們把其中一個(gè)人負(fù)責(zé)某項(xiàng)工作記作1，否則記作0，然后我們便可以把每個(gè)人工作安排的所有情況的效率與相應(yīng)的01變量乘積的求和，便得到效率目標(biāo)函數(shù)，而且考慮到lingo軟件的強(qiáng)大優(yōu)化求解能力，于是便可以借助lingo編程來(lái)求解實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的最大化，即工作效率綜合的最大化，根據(jù)此時(shí)對(duì)應(yīng)的01變量的所有值得到的工作安排方案就是最佳的。 如何安排每個(gè)人的工作，使得總的成本最低。最后求出這兩點(diǎn)之間的距離表達(dá)式，得到我們要求的目標(biāo)函數(shù)。經(jīng)過(guò)極差變換后，兩項(xiàng)指標(biāo)值均在0和1之間。該問(wèn)題與問(wèn)題一相似，只是求解的是目標(biāo)函數(shù)的最小值，為此我們建立了成本最小化模型，該模型同樣應(yīng)用了01規(guī)劃方法，然后用與問(wèn)題一中相似的方法建立目標(biāo)函數(shù)，然后應(yīng)用lingo軟件編程使目標(biāo)函數(shù)值最小，最終得到使成本最小的相應(yīng)安排方案。為了得到最優(yōu)的安排方案，我們采用01規(guī)劃模型，引入01變量，即其中一人負(fù)責(zé)某一項(xiàng)工作記作1，否則為0，然后與之對(duì)應(yīng)的效率相乘，然后把所有的工作安排情況這樣處理后，再求和作為目標(biāo)函數(shù)。本文所要研究就是在效率與成本的背景下，如何安排每個(gè)人員的工作分別達(dá)到以下三個(gè)要求：使得總的工作效率最大。使得總的成本最低。此外我們對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了如下約束：因?yàn)榱鶄€(gè)人剛好六份工作，所以每個(gè)人只能被安排一份工作，而且每份工作只允許一人來(lái)完成。對(duì)于問(wèn)題三，該問(wèn)題兼顧效率與成本,屬于多目標(biāo)規(guī)劃。 對(duì)于此問(wèn)題的多目標(biāo)規(guī)劃解決，我們采用理想點(diǎn)方法將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃，建立了偏離理想點(diǎn)距離模型。最后,在與問(wèn)題一問(wèn)題二相同的約束條件下，我們采用lingo編程使目標(biāo)函數(shù)逐漸向理想點(diǎn)逼近（但永遠(yuǎn)達(dá)不到理想點(diǎn)），即：使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的工作指派方案在問(wèn)題三情況下是最佳方案。 如何兼顧工作效率和成本，優(yōu)化工作安排方案。對(duì)于問(wèn)題二，要求安排每個(gè)人的工作，使得總的成本最低，該問(wèn)題與問(wèn)題一相似，同樣可以應(yīng)用01規(guī)劃模型，求出目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式然后應(yīng)用lingo軟件編程來(lái)求解目標(biāo)函數(shù)的最小值，便可得到最優(yōu)工作分派方案。為此，我們便引入了理想點(diǎn)法，讓任意安排方案得到的效率值與成本值組成的點(diǎn)距離理想點(diǎn)的距離最小化，而得到最小值對(duì)應(yīng)的工作分配方案，此過(guò)程的求解我們同樣可以借助lingo軟件編程來(lái)解決，最終能夠?qū)崿F(xiàn)問(wèn)題三的要求。 表示只考慮成本時(shí)，成本的最小值。于是便有下面的約束條件: 且則目標(biāo)函數(shù)為總的效率表達(dá)式如下：綜上便可得到最終效率模型如下: 5． 模型求解這是一個(gè)01優(yōu)化問(wèn)題，lingo軟件具有強(qiáng)大的優(yōu)化問(wèn)題解決能力，所以我們通過(guò)lingo軟件編程求解出最佳分配方案，根據(jù)程序運(yùn)行結(jié)果我們最終得到的最優(yōu)分配方案如下：（lingo程序見附錄，運(yùn)算結(jié)果見附錄）：人員1人員2人員3人員4人員5人員6工作分配方案214356表1 最大效率工作分配方案而且此時(shí)的最大效率值為26。具體如下： 首先對(duì)用極值差方法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后得:通過(guò)matlab編程我們可以得到矩陣,此時(shí)矩陣的值均在0和1之間，最優(yōu)值為1，最劣值為0。于是，多目標(biāo)函數(shù)規(guī)劃模型建立如下： 由于以上所建的多目標(biāo)規(guī)劃模型問(wèn)題求解過(guò)于復(fù)雜，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們采用了理想點(diǎn)法，求出任意工作分配方案的效率與成本偏離理想點(diǎn)的距離的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，然后使目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的值逼近最小，此時(shí)對(duì)應(yīng)的方案就是在兼顧效率與成本的前提下的最優(yōu)工作分配方案，具體步驟如下：第一步：設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化后理想點(diǎn)。、即理想點(diǎn)為。六個(gè)人負(fù)責(zé)六項(xiàng)工作，所以每個(gè)人只能負(fù)責(zé)一項(xiàng)工作，而且每個(gè)工作只能由一個(gè)人來(lái)完成。同時(shí)我們應(yīng)用lingo這一軟件大大減小了解決01規(guī)劃模型的計(jì)算。 模型的推廣如果數(shù)據(jù)能進(jìn)一步符合工人的真實(shí)情況，那么該模型可以在一定程度上幫助決策者做出最佳的決定。[3]趙東方，數(shù)學(xué)模型與計(jì)算，河北：科學(xué)出版社，2007。model: !定義。 endsets data: efficient= 351002643254142212123331213242325466enddata ! 效率矩陣。 ! m每個(gè)人都有且只有一份工作。 !變量k(i,j)為01變量；end運(yùn)行結(jié)果如下： Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost EFFICIENT( 1, 1) EFFICIENT( 1, 2) EFFICIENT( 1, 3) EFFICIENT( 1, 4) EFFICIENT( 1, 5) EFFICIENT( 1, 6) EFFICIENT( 2, 1) EFFICIENT( 2, 2) EFFICIENT( 2, 3) EFFICIENT( 2, 4) EFFICIENT( 2, 5) EFFICIENT( 2, 6) EFFICIENT( 3, 1) EFFICIENT( 3, 2) EFFICIENT( 3, 3) EFFICIENT( 3, 4) EFFICIENT( 3, 5) EFFICIENT( 3, 6) EFFICIENT( 4, 1) EFFICIENT( 4, 2) EFFICIENT( 4, 3) EFFICIENT( 4, 4) EFFICIENT( 4, 5) EFFICIENT( 4, 6) EFFICIENT( 5, 1) EFFICIENT( 5, 2) EFFICIENT( 5, 3) EFFICIENT( 5, 4)