【正文】 （5 + 3 + 2）= ，丙的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?35 + 653 + 842）247。3 = 73，乙的平均成績(jī)?yōu)椋?3 + 71 + 72）247。．在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90176。從而 ∠AGE = 135176。從而 ∠AME =∠ECF．∵ ∠AEB +∠BAE = 90176。且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE = EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM = EC，易證△AME≌△ECF，所以AE = EF．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE = EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；（2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE = EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由． ABECGFDABECGFDABECGFD如圖1 如圖2 如圖3ABECGFDM解 （1）正確．在AB上取一點(diǎn)M，使AM = EC，連接ME．∴ BM = BE，∠BME = 45176?！?∠FEH =∠BAE．又 ∵ AE = EF，∠EHF =∠EBA = 90176?！?∠BAE +∠EAD =∠DAG +∠EAD，∴ ∠BAE =∠DAG，∴ △ BAE≌△DAG．（2）∠FCN = 45176。∴ ∠FEC =∠BAE，∴ △AME≌△ECF，∴ AE = EF．CDAEBFP點(diǎn)評(píng) 通過作輔助線構(gòu)造與△ECF全等的三角形是證明本題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)E在直線BC上的不同位置（可以分別為BC邊上的任意一點(diǎn)、BC邊的延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)、CB邊的延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)）可以演變成一組題目，結(jié)論不變、證法類似．演變變式1 如圖所示，如果把原題中的“點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是BC邊上的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，請(qǐng)你猜想AE = EF的結(jié)論是否還能成立，并證明你的猜想．（提示： 在AB上取一點(diǎn)M，連結(jié)ME，證△AME≌△ECF）ABECGFD變式2 如圖所示，如果把原題中的“點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是BC邊的延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，請(qǐng)你猜想AE=EF的結(jié)論是否還能成立，并證明你的猜想．（提示： 在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，連結(jié)ME，ABECFD證△AME≌△ECF）變式3 如圖所示，如果把原題中的“點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是CB邊的延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，請(qǐng)你猜想AE = EF的結(jié)論是否還能成立，并證明你的猜想．（提示：在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，連結(jié)ME，證△AME≌△ECF）變式4 （2009，廣西南寧）如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、DC邊上的點(diǎn)，且AE⊥EF，BE = 2．（1）求EC:CF的值；（2）延長(zhǎng)EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)P（如圖2），試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說明理由；（3）在圖2的AB邊上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．CDAEBFP231DACEBFDACEBF解 （1）∵ AE⊥EF，∴ ∠2 +∠3 = 90176?！?∠AME = 135176。AB = 28 cm，DC = 24 cm，AD = 4 cm，點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以1 cm∕s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以2 cm∕s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．則四邊形ADMN的面積y（cm2）與兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（s）的函數(shù)圖象大致是（ ）．QABCDP（答案：D）變式2 如圖，四邊形ABCD是直角梯形，∠B = 90176。 D．54176。即 BE⊥AF．MABCNDE點(diǎn)評(píng) 本題實(shí)質(zhì)上是通過證三角形全等，得出線段和角的關(guān)系．幾何圖形在運(yùn)動(dòng)變化中是有規(guī)律可循的，通過類比的方法可以得到一組類似的題目，結(jié)論相同或相似，證明思路也大體相同．該題的引申結(jié)論為：① 只要正方形對(duì)邊上兩點(diǎn)連線段互相垂直，它們的長(zhǎng)度就相等．② 在“DE = CF”、“BE⊥AF”和“BE = AF”三者中用一個(gè)作為條件，其余兩個(gè)作為結(jié)論都正確．演變變式1 如圖，正方形ABCD中，CE = MN，∠MCE = 42176。．∵ EM⊥AB,EN⊥CD,所以∠BME =∠CNE = 90176?！?四邊形BDOH≌四邊形CFOG．同理：四邊形BDOH≌四邊形AHOG，∴四邊形BDOH≌四邊形CFOG≌四邊形AHOG，∴，又 ∵ ∴ ．（2）過圓心Ｏ分別作OM⊥BC，ON⊥AC，垂足為M、N．則有 ∠OMF =∠ONG = 90176?！螧HO =∠BFO =∠CFO =∠CGO = 90176?！螮OG = 90176。；（2）正方形ABCD的邊被另一正方形A1B1C1O覆蓋部分的總長(zhǎng)度BE + BF為定長(zhǎng)（正方形的邊長(zhǎng)）；（3）由△AOE≌△BOF可得AE = BF或OE = OF；（4）圖中重疊部分的面積均為原正方形面積的四分之一（定值）．該問題的實(shí)質(zhì)是：條件只需滿足OAOC1是經(jīng)過正方形ABCD的對(duì)稱中心且互相垂直的兩條直線即可．ADCOEFBG演變變式1 已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O，點(diǎn)O是正方形EFGO的一個(gè)頂點(diǎn)，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2．（1）當(dāng)OE∥AD、OG∥AB時(shí)，如圖1，求圖中兩個(gè)正方形重疊部分的面積．（2）若正方形EFGO饒點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如圖2，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？試說明理由．解 （1）設(shè)OE交AB于M，OG交BC于N．正方形ABCD中，∠DAB =∠ABC =∠BCD = 90176?！螪AF +∠BAE = 90176。．又 ∵ AE⊥DG，CF∥AE，∴ ∠AED =∠DFC = 90186。．∵ DE⊥AG，∴ ∠DEG =∠AED = 90176。且DC = 2AB，分別以DA，AB，BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為SSS3，則SSS3之間的關(guān)系是 ．CDS1S2S3ABlcba（答案：S1 + S3 = S2）變式9 如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（ ）．A．4 B．6 C．16 D．55 （答案：C）aDCBAMcNEFbGH變式10 在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是SSSS4，則S1 + S2 + S3 + S4 = ． （答案：4）S1S2S3S4123l變式11 （2008，浙江臺(tái)州）如圖，四邊形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c；A，B，N，E，F(xiàn)五點(diǎn)在同一直線上，則c = （用含有a，b的代數(shù)式表示）． （答案：）變式12 如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用SSS3表示，則不難證明S1 = S2 + S3．（1）如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用SSS3表示，那么SSS3之間有什么關(guān)系？（不必證明）（2）如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用SSS3表示，請(qǐng)你確定SSS3之間的關(guān)系并加以證明；（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)一般三角形，其面積分別用SSS3表示，為使SSS3之間仍具有與（2）相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件？證明你的結(jié)論；（4）類比（1）、（2）、（3）的結(jié)論，請(qǐng)你總結(jié)出一個(gè)更具一般意義的結(jié)論 ．CABS1S2S3①CABS1S2S3②CS3AS1S2B③（答案：設(shè)直角三角形ABC的三邊BC、CA、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c，則c2 = a2 + b2．（1）S1 = S2 + S3．（2）S1 = S2 + S3．證明如下：顯然，∴ S2 + S3 == S1．（也可用三角形相似證明）（3）當(dāng)所作的三個(gè)三角形相似時(shí)，S1 = S2 + S3．∵ 所作三個(gè)三角形相似， ∴ ．（4）分別以直角三角形ABC三邊為一邊向外作相似圖形，其面積分別用SSS3表示，則S1 = S2 + S3）題目 已知圓柱的底面半徑是6 cm，高為10 cm，螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到B點(diǎn)的最短路程是多少厘米？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后1位）（人教課本P81第8題）解 如圖，將圓柱展開得到BC = 10 cm，AC = 6p cm．BCA在Rt△ABC中，≈ cm．答：．點(diǎn)評(píng) 解立體圖形的問題通常要把立體圖形展開成平面圖形，然后化成平面圖形的問題加以解決，它是解決立體圖形問題的基本方法之一，凸現(xiàn)了化歸思想．在本題中還要注意選擇的直角三角形的兩條直角邊分別為圓柱的高和底面圓周長(zhǎng)的一半．演變變式1 有一長(zhǎng)、寬、高分別是5 cm、4 cm、3 cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處沿長(zhǎng)方體的表面爬到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為（ ）．A． B． C． D．A1QABPB15C1015BA20（答案：B）變式2 （2009，恩施州）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（ ）．A． B． C．10 D．（答案：B）變式3 如圖，有一圓柱體高為10 cm，底面圓的半徑為cm，AA1，BB1為相等的兩條母線，在AA1上Q處有一只蜘蛛，QA = 3 cm；在BB1上P處有一只蒼蠅，PB1 = 2 cm．蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是 cm．（答案：13）變式4 李老師在與同學(xué)進(jìn)行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時(shí)設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問題，請(qǐng)你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長(zhǎng)．（1）如圖1，正方體的棱長(zhǎng)為5 cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)A沿著正方體表面爬到點(diǎn)C1處；（2）如圖2，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5 cm，側(cè)棱長(zhǎng)為6 cm，一只螞蟻從正四棱柱底面上的點(diǎn)A沿著棱柱表面爬到C1處；（3）如圖3，圓錐的母線長(zhǎng)為4 cm，圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，且∠AOA1 = 120176。GD = 5，由勾股定理得：EG2 + GD2 = ED2 得 x2 + 52 =（x + 1）2，解得 x = 12．所以 x + 1 = 13．答：水的深度為12尺，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺．ACBOABGEABCDF點(diǎn)評(píng) 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用勾股定理建立方程來(lái)解決．演變變式1 一株荷葉高出水面1 m，一陣風(fēng)吹來(lái)，荷葉被吹得貼著水面，這時(shí)它偏離原來(lái)的位置有3 m遠(yuǎn)，如圖所示，求荷葉的高度和水面的深度．（答案：水面的深度為4 m，荷葉的高度為5 m）變式2 如圖，某游泳池長(zhǎng)48米，小方和小楊進(jìn)行游泳比賽，從同一處（A點(diǎn)）出發(fā)，小方平均速度為3米／秒，／秒．但小楊一心想快，不看方向沿斜線（AC方向）游，而小方直游（AB方向），兩人到達(dá)終點(diǎn)的位置相距14米．按各人的平均速度計(jì)算，誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)，為什么？（答案：小方先到達(dá)終點(diǎn)）變式3 如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B相距50米，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10米，求該河的寬度AB為多少米？（答案：120米）變式4 湖靜浪平六月天，菏花半尺出水面，忽來(lái)一陣狂風(fēng)急，吹倒菏花水中淹，入秋漁夫始發(fā)現(xiàn)，殘花離根二尺遙，試問水深為若干？C2ADBC B A （答案：3. 75尺）CBAS2S1S3題目 如圖，∠C = 90176。60 = （元），低于玩具的售價(jià)，符合題意，因此第二次采購(gòu)?fù)婢?0件．