初等數(shù)學研究習題解答-wenkub.com
2025-04-01 03:52 本頁面
【正文】 同時，所以、四點共線。 3（3）題圖 4（1）題圖（3）是的邊的中點，∽，證明4（2）題圖 4（3）題圖（1）證明：設連心線交于，交于，在作弦切角，以為位似中心，為位似比（、為、的半徑），那么就是的位似像，從而是的位似像。于是；而所以3（2）題圖 3（3）題圖（3）證明：將順時針旋轉(zhuǎn)到，那么是等邊三角形。則、都是平行四邊形。所以三點重合，故所以是梯形。因此且，那么（內(nèi)錯角），又，所以。2．用平移法求解下列各題：（1）在四邊形中，、分別是、的中點，如果，證明這個四邊形是梯形。以為軸作反射，設、的反射像分別為、。又，故，進而有即也是等邊三角形，即。（3）一個以點為圓心的圓經(jīng)過的頂點、又與邊分別交于、與的外接圓交于、求證 1（1）題圖 1（2）題圖 1（3）題圖 2（1）題圖（1）證明：將沿反射到，由于是的平分線，是正方形，所以，即共線。解：如圖所示，在邊上任取一點，以為頂點作正方形，設射線與交于點，過作垂線，垂足為，過作平行線交于，過作垂線，垂足為，則四邊形即為所求?，F(xiàn)設，是可達區(qū)域內(nèi)與不共線的一點，試作出在可達區(qū)域內(nèi)的外接圓的一段圓弧。2．是內(nèi)的一點，試過點作一直線分別與交于兩點，使。而四點共圓，所以，即三點共線，所以是正三角形。為。為點，從而知線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90176。設、分別是、的中點。（2）將向垂直于河岸方向，距離為河寬平移到；將向垂直于河岸方向，距離為河寬平移到；直線與平行帶形河內(nèi)岸的邊緣分別交于兩點，在兩點各架兩座垂直于河岸的橋，那么折線就是最短路線。（2）如圖所示，將沿反射到，以為圓心，為半徑，畫弧交直線于點，作的中點，連接交于，則點即為所求。這兩個元素有種方法確定，剩下3個元素每個都不排在自己編號的位置上有3種方法，所以問題的答案為種方法。2．將2n名新戰(zhàn)士分成n個2人小組學習機槍射擊，試求分別滿足下列各條的分組方式的種數(shù)：（1）一人擔任正射手一人擔任副射手；（2）兩人不分正副。解：從六個括號中選擇3個取有種方法，從剩余3個括號中選擇2個取有3種方法，再從最后一個括號中取有一種方法，故的系數(shù)為。（1） （2）（3） （4）解：（1）特征方程為，所以特征根為設那么有：所以（2）特征方程為，所以特征根為設那么有：所以（3） 特征方程為，所以特征根為設那么有：所以（4）先將化成循環(huán)公式：于是特征方程為，所以特征根為設此時由，得數(shù)列前三項為：那么有：所以3．寫出下列循環(huán)數(shù)列的循環(huán)公式。那么如果，那么于是，此時成立；如果，那么至少有一個成立，這時所以成立。證明：由于所以而所以 如果是整數(shù)，那么有；如果不是整數(shù)，那么有3．求整數(shù)，使整除且不能整除。5．求函數(shù)的最小正周期。4．直接證明函數(shù)不是周期函數(shù)。（2），而，所以的最小公倍數(shù)為2．討論函數(shù)的周期性。3．討論函數(shù)的性態(tài)。解：因為，所以，令，則此時由，即，所以所以數(shù)的反函數(shù)的解析式為。證明：，則；由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，但是奇函數(shù)，所以有即 從而在區(qū)間是增函數(shù)。（2）欲使函數(shù)有意義，則有：，即函數(shù)的定義域為。3．設正數(shù)滿足求證： 證明：利用柯西不等式所以4．設是正數(shù)，求證證明：可以變形成進一步變形成，這就是本節(jié)的例5.5．設是正數(shù)，求證證明 6．設是n個互不相同的正整數(shù)。故原不等式成立。解：所以 2．求證證明：用數(shù)學歸納法：由于，即不等式在時成立，設在時，不等式成立，即：各部分同時加上，并記，那么，有：這時所以 成立。從而（2）設兩邊平方：于是：即所以。要使加工好的成品體積的相對誤差不超過1%，底面半徑和高應該用怎樣的精確度的量具來量？解：部件的體積，絕對誤差為，它不足的半個單位，這樣V的百位和千位數(shù)字是可靠數(shù)字，即V有兩個可靠數(shù)字，所以，底面半徑和高都必須有3個有效數(shù)字。解：（1）104；（2）；（3）；（4）1036．一塊圓柱形金屬部件的底面半徑長的標準尺寸為75mm，高為20mm。3．、?解：、4．測量一個螺栓的外徑和一個螺帽的內(nèi)徑分別應該用哪種近似數(shù)的截取方式？請簡要說明理由。所以于是展開整理即得即。解：如圖11，設對應的復數(shù)記為由于成逆時針方向，將向量繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后必與向量重合，所以有即 亦即：所以，但所以：整理即得：3．設圓的方程為，點，在給定的圓周上，以為底邊作等腰直角，并且成逆時針方向。證明：對于，有，結論成立；設成立，那么所以結論在也成立。 自然數(shù)的序數(shù)理論1．用定義計算。5．證明，按基數(shù)理論定義的乘法對加法的分配律成立。自然數(shù)的基數(shù)理論1．證明集合與實數(shù)集對等。證明：取對應關系為，這個函數(shù)構成與的一一對應，所以集合與實數(shù)集對等。證明：設是三個有限集合，并且，記首先：由于，所以，所以其次：對于，由于，那么若，于是；若，于是，所以總有即反過來：，那么或者于是有或者，即，所以即所以6．在基數(shù)理論定義的乘法下，證明。解：；。5．用第二歸納法證明數(shù)列的每一項都是自然數(shù)。當移動時，求點的軌跡。5．試寫出的四個四次方根。解：螺栓外徑用進一法，螺帽內(nèi)徑用截尾法。加工時一般會有誤差。第二章 解析式 解析式的概念與運算
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