圓錐曲線專題求離心率的值離心率的取值范圍-wenkub.com
2025-03-22 00:02 本頁面
【正文】 策略一：利用曲線中變量的范圍求離心率的范圍用曲線中變量的范圍，在橢圓 中， ；在雙曲線中210xyaba???（ ） ax??中， 或 .210,xyabab???（ ） ???例 的左、右焦點分別為 ，如果橢圓上存在點 ，20xy??（ ） F1 P使 ，求離心率 ???e解析：設 ，又知 ，則),(yx120(0)FcFc?(， )， ，,1cPF??,2yxP?因為 ，則 ，即1290??F21?0)(221 ????? ycxP所以 cyx?? 聯(lián)立方程 ，消 ，解得????221cyxbay22acbx?? 又因為 ，故 ， ①1290FP???2??220ab???? ? ?即 解不等式①，結合橢圓的離心率范圍為 ，可得 .)1,(?e[12e， ）方法點撥：由題知 ，根據(jù)限制條件用 表示 ，即 ，然后代入不ax??cba,x),(cba??等式 ，結合 整理得關于 的齊次不等式，從而求出離心率的取cba??),(?22cb??，根據(jù)幾何關系或基本不等式等都能很好的解決.【同類題型強化訓練】1.（2022 湖南）設 分別是橢圓 （ ）的左、右焦點，若在其右準線12F，21xyab??0a? 上存在點 使線段 的中垂線過點 ，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）,P1F2F .A20??????， .B30??????， .C1??????， .D31??????，2.(2022 福建)雙曲線 的兩個焦點為 ,若 為其上一點，且21xyab??)0,(?b21F、 P,則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）21PF?(1,3) (3,+ ) .??1,?.D??3,??3.（2022 四川）橢圓 的右焦點 ，其右準線與 軸的交點為 A，在橢圓2()xyab????Fx上存在點 P 滿足線段 AP 的垂直平分線過點 ，則橢圓離心 率的取值范圍是( )5* o*m .A20,??????.B10,2??????.C?21,??? .D1,2??????【強化訓練答案】1. 答案：如圖, ,caAF??2因為線段 的中垂線過點 ，則1P2F212AF??,即 ，解得cF212?ca??),3[???e又橢圓的離心率 ，綜上 .)1,0(?e1??????，： 分別為左右焦點，設 在雙曲線的右支上，則21F、 ),(0yxP，aexPaex????001, 由 ，則 解得21PF?)(200aex???eax30?因為 在雙曲線的右支上，則 ，即 ，解得 .),(0yx?31??e：由題意，橢圓上存在點 ，使得線段 的垂直平分線過點 ，PAPF即 點到 點與 點的距離相等w_w w. k o*mFPA而 * 22abc??],[caF???于是 即2],[??? w*又 ，故 .???????22cac12ca???????或 )1,0(?e)1,2[e策略二：正、余弦定理在求離心率范圍問題中的應用例 為橢圓 的焦點， 為橢圓上一點， 則橢21F、 )0(12???byaxM,6021???MF圓的離心率的范圍為 .解析：如圖, 為橢圓上一點，設 ，則M),(0yx0201,exaMFexa????在 中，由余弦定理，則2?① ②??2160cos21????F ??aMF21??聯(lián)立①②解得 因為在橢圓中 ，則,34220eacx?20ax?? ，解不等式得 .22340aec???)1,2[?e方法點撥：根據(jù)正、余弦定理結合橢圓的焦半徑公式，用 表示 ，即 ，根據(jù)ca,0x),(ca??變量 解出離心率，但是此題要構成 ，故點 不能在 軸上，所以此ac??),(? 21FM?題 結合橢圓 ?)1,0(?e【自我評價】1. 已知橢圓 的左右焦點分別為 ，若橢圓上存在點 使)0(12???bayx )0,(),(21cF、?P，則該橢圓離心率的取值范圍為 .1221sinsinFPcFa?2. (衡水調(diào)研卷)從一塊短軸長為 的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的
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