【正文】 表示單位頻率上的信號(hào)的能量譜密度，稱為 )()()(2tfjF ??? ?信號(hào)與系統(tǒng) 第 4102頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 二、功率譜 能量譜和功率譜 ??? djFTdttfTP TTTTT2222)(1lim2 1)(1lim ?? ??? ???????? ???? ??? dp )(2 1 ? ???? dffp )(功率。 傅里葉變換的性質(zhì) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 497頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 例 17： 求信號(hào) ttt?5s i n)997c o s (2解 : )(5s i n 10 ?? gt t ??)997()997(5s i n)997c os (2 1010 ????? ???ggttt?????10)1010(21)(21d)( 22 ????? ? ???????djFttfE 傅里葉變換的性質(zhì) 的能量。(t)t2 2 0 11t2 2( 1 ) ( 1 )( 2 )f (t)解 : f ”(t) = ?(t+2) – 2 ?(t) + ?(t –2) F2(jω)= F [f ”(t)] = e j2ω– 2 + e – j2ω= 2cos(2ω) – 2 222 )2c o s (22)()()(????? ????jjFjF?)()( ?? ?jFtf求0)0(2 ?F?信號(hào)與系統(tǒng) 第 493頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉變換的性質(zhì) 八、頻域的微分和積分 若 )()( ?jFtf ?)()()( )( ?jFtfjt nn ??則 ? ?????? ??? xjxFtfjttf d)()(1)()0(則 ? ???? ??? d)(2 1)0( jFf式中 ? ????? ? dxjxFjttff )()(0)0( ，則若信號(hào)與系統(tǒng) 第 494頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 ????? jt1)()( ???解 : ?????? ??????????jtjt 1)(dd)(21)(39。 即時(shí)域相乘，則頻域卷積。 解： 直接利用定義式不易求出 Sa(t)的傅里葉變換， 利用對(duì)稱性則比較方便。直接用定義式不好求解。 ()ft ()Fj?(0)F ()F j d?????? t()fto1 11? 傅里葉變換 信號(hào)與系統(tǒng) 第 459頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉變換 二、常用函數(shù)的傅里葉變換 1. 單邊指數(shù)函數(shù) f(t) = e–?tε(t)， ? 0實(shí)數(shù) 10 tf(t)? ? ??? 0 dee)( tjF tjt ?????????jjtj????? ???1e10)(信號(hào)與系統(tǒng) 第 460頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉變換 2. 雙邊指數(shù)函數(shù) f(t) = e–??t? , ? 0 10 tf(t)?? ? ???? ? ?? 00 deedee)( ttjF tjttjt ?????22211??????? ??????jj信號(hào)與系統(tǒng) 第 461頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉變換 3. 門函數(shù) (矩形脈沖 ) ????????2,02,1)(???tttg10 tg τ (t)2??2??????????jtjFjjtj????????222/2/eede)()2S a ()2s i n (2 ????????信號(hào)與系統(tǒng) 第 462頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉變換 4. 沖激函數(shù) ?(t)、 ?180。令 TFTFjF nTnT ?????? lim/1lim)( ?(單位頻率上的頻譜） 根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù) ?? ???? 22de)(TTtjnn ttfTF ???????ntjnn TTFtf1e)(考慮到： T→∞ ， Ω→ 無(wú)窮小，記為 dω； n Ω→ ω （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量） 頻譜密度函數(shù) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 455頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉變換 ??? 2d21 ???T同時(shí)， ∑ →∫ 于是， ? ? ?? ??? ?? ttfTFjF tjnT de)(lim)( ??????? ???? de)(21)( tjjFtf傅里葉變換式 傅里葉反變換式 F(jω)稱為 f(t)的 傅里葉變換 或 頻譜密度函數(shù) ，簡(jiǎn)稱 頻譜 。 周期信號(hào)的頻譜 信號(hào)與系統(tǒng) 第 453頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉變換 非周期信號(hào)的頻譜 —傅里葉變換 一、傅里葉變換 非周期信號(hào) f(t) 可看成是周期 T→∞ 時(shí)的周期信號(hào)。 1B??信號(hào)的帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間 成反比， 即 越大， B越?。? 越小， B越大。 )2( ?? ?? nSaTF n , n = 0 ,177。 兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目（ 2?/?） /(2?/T)=T/? 增多。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 449頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 周期信號(hào)的頻譜 特點(diǎn) ： (1) 周期信號(hào)的頻譜具有諧波 (離散 )性。 2， … Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。 tjtjtjtjtjtjtjeFeFeFeFeFeFeFtf????????????????????33221100)1(1)2(2)3(3)(說(shuō)明 tjjtjjtjjtjj eeeeeeee ?????? ???????????? 3030 1111 ??信號(hào)與系統(tǒng) 第 446頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 周期信號(hào)的頻譜 je nnnFF??當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)，用 的正負(fù)來(lái)表示相位為 0 或 ，這時(shí) 常把幅度譜 和相位譜 畫(huà)在一張圖上。 ?~nF ?? ~n當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)，用 的正負(fù)來(lái)表示相位為 0 或 。 ?為角頻率。 n≥0時(shí)， |Fn| = An/2。 2， … ? ??? 22de)(1TTtjnn ttfTF表明： 任意周期信號(hào) f(t) 可分解為許多不同頻率的 虛指數(shù) 信號(hào)之和。 ot1 ()ft t2 ()ft2T To2T? T?T2T2T?T? 1 1?1 1?()a ()b偶、奇諧函數(shù)包含奇次余弦分量 奇函數(shù)，包含正弦分量 傅里葉級(jí)數(shù) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 430頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 偶、偶諧函數(shù)包含偶次余弦分量 奇諧函數(shù)，包含奇次的正弦、余弦分量 o3 ()ft t 4 ()fto2T T2T?T? 2T T2T?T? 11()c () 傅里葉級(jí)數(shù) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 431頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉級(jí)數(shù) 三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 三角形式 的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用 指數(shù)形式 的傅里葉級(jí)數(shù)。 即使合成波形所含諧波次數(shù) 時(shí)，在間斷點(diǎn) 處仍有約 9%的偏差，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 422頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉級(jí)數(shù) 物理意義 ： ? 周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 420頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉級(jí)數(shù) 一、周期信號(hào)的分解 傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 設(shè)周期信號(hào) f(t)，其周期為 T，角頻率 ?=2?/T，當(dāng)滿足 狄里赫利 (Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù) —— 稱為 f(t)的 傅里葉級(jí)數(shù) 。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 419頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 傅里葉級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù) 由上節(jié)可知，周期信號(hào) f(t) 在區(qū)間 (t0， t0+T)可以 展開(kāi)成在完備正交信號(hào)空間中的無(wú)窮級(jí)數(shù)。 ????1)()(jjj tCtf ?函數(shù) f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 413頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) 均方誤差為： ttCtfttttnjjj d])()([1 2121122 ? ????? ??0d)]()([21 122? ????????? ttnjjjiittCtfCC??為使上式最小， 展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，注意到由序號(hào)不同的 正交函數(shù)相乘的各項(xiàng)，其積分均為零，而且所有不 包含 Ci的各項(xiàng)對(duì) Ci求導(dǎo)也等于零。 ? ?21 0d)()(tt i ttt ??( i =1， 2， … ， n) ??? ? dtttt)(0 212?信號(hào)與系統(tǒng) 第 411頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 信號(hào)分解為正交函數(shù) 三角函數(shù)集 {1， cos(nΩt)， sin(nΩt)， n=1,2,…} 和 虛指數(shù)函數(shù)集 {ejnΩt， n=0， 177。即 A= vx+ vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到 信號(hào) 空間， 在信號(hào)空間找到若干個(gè) 相互正交的信號(hào) 作為基本信號(hào)， 使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。 信號(hào)與系統(tǒng) 第 46頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 信號(hào)分解為正交函數(shù) 一、矢量正交與正交分解 矢量 Vx = ( vx1, vx2, vx3)與 Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義： 其 內(nèi)積 為 0。 引言 信號(hào)與系統(tǒng) 第 44頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 信號(hào)分解為正交函數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù) 周期信號(hào)的頻譜 非周期信號(hào)的頻譜 ——傅里葉變換 傅里葉變換的性質(zhì) 周期信號(hào)的傅里葉變換 LTI系統(tǒng)的頻域分析 取樣定理 點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié) 信號(hào)與系統(tǒng) 第 45頁(yè) ■ 電子教案 西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 時(shí)域分析 ，以 沖激函數(shù) 為基本信號(hào)，任意 輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；從而系統(tǒng) 的零狀態(tài)響應(yīng)為： yf(t) = h(t)*f(t)。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。 本章將以 正弦信號(hào) 和 虛指數(shù)信號(hào) ejωt為基本 信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列 不同頻率