【正文】 例 若直線 y=x+t 與橢圓 14 22 ??yx 相交于 A、 B 兩點，當(dāng) t 變化時，求 |AB|的最大值． 【學(xué)大教育】→ 吳老師 → “ 聰明在于勤奮 ， 天才在于積累 ” — 《 數(shù)學(xué)大師華羅庚談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué) 》 ☆ 以此勉勵我可愛的學(xué)生們 ?。?！ （ 3） 與橢圓有關(guān)的中點弦問題 例 已知橢圓 12 22 ??yx，求過點 ?????? 2121，P且被 P 平分的弦所在的直線方程． 【 分析 一】 ： 已知一點求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為 k ，利用條件求 k ． 解法一： 設(shè)所求直線的斜率為 k ，則直線方程為 ?????? ??? 2121 xky代入橢圓方程，并整理得 ? ? ? ? 023212221 2222 ??????? kkxkkxk ． 由韋達定理得2221 21 22 k kkxx ? ???． ∵ P 是弦中點，∴ 121 ??xx ．故得 21??k ． 所以所求直線方程為 0342 ??? yx ． 【 分析二 】 ： 設(shè)弦兩端坐標為 ? ?11 yx， 、 ? ?22 yx， ，列關(guān)于 1x 、 2x 、 1y 、 2y 的方程組，從而求斜率：2121 xx yy?? ． 解法二： 設(shè)過 ?????? 2121，P的直線與橢圓交于 ? ?11 yxA ， 、 ? ?22 yxB ， ，則由題意得 ?????????????????④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，， ①－②得 02 22212221 ???? yyxx ． ⑤ 將③、④代入⑤得2121 21 ????xx yy，即直線的斜率為 21? ． 所求直線方程為 0342 ??? yx ． 【 說明 】 ： 有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應(yīng)用”及“點差法”． 【學(xué)大教育】→ 吳老師 → “ 聰明在于勤奮 ， 天才在于積累 ” — 《 數(shù)學(xué)大師華羅庚談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué) 》 ☆ 以此勉勵我可愛的學(xué)生們 ！?。? 【變式思考】 橢圓 14494 22 ?? yx 內(nèi)有一點 P（ 3， 2）過點 P 的弦恰好以 P 為中點，那么這弦所在直線的方程為 （ ） A． 01223 ??? yx B． 01232 ??? yx C． 014494 ??? yx D． 014449 ??? yx 過橢圓 22116 4xy??內(nèi)一點 (21)M， 引一條弦 使弦被 M 點平分，求這條弦所在直線的方程． 過點 ? ?1,1?P 作直線與橢圓 124 22 ??yx 交于 A， B 兩點，若線段 AB 的中點恰為 P 點，求 AB 所 在的直線的方程和線段 AB 的長度 ． 傾斜角為 π4 的直線交橢圓 2 2 14x y??于 AB， 兩點，求線段 AB 中點 M 的軌跡方程． 已知直線 y= x +1與橢圓 )0(12222 ???? babyax相交于 A、 B兩點，且線段 AB的中點在直線 l:x 2y=0上 . （ 1）求此橢圓的離心率； （ 2）若橢圓的 右焦點關(guān)于直線 l的對稱點的在圓 x2+ y2=4上，求此橢圓的方程 . 【學(xué)大教育】→ 吳老師 → “ 聰明在于勤奮 ， 天才在于積累 ” — 《 數(shù)學(xué)大師華羅庚談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué) 》 ☆ 以此勉勵我可愛的學(xué)生們 ?。?！ （ 4） 與橢圓有關(guān)的最值 與取值范圍 問題 例 橢圓 1416 22 ??yx上的點到直線 022 ??? yx 的最大距離是 （ ） A． 3 B． 11 C． 22 D． 10 例 求橢圓 13 22 ??yx 上的 點到直線 06???yx 的距離的最小值． 例 直線 y x m?? 和橢圓 2 2 14x y??相交于 A、 B 兩點，當(dāng) m 變化時； （ 1） 求 AB 的最大值 （ 2） 求 OAB? 面積的最大值（ O 是坐標原點） 例 設(shè) P 是橢圓 2 2 14x y??上的 一點， 12,FF是橢圓的兩個焦點，則 12PF PF 的最大值為 ；最小值為 ； 例 （ 2020 福建文） 11．若點 O 和點 F 分別為橢圓 22143xy??的中心和左焦點，點 P 為橢圓上的任意一點，則 OPFP 的最大值為 A． 2 B． 3 C． 6 D． 8 例 已知橢圓 22132xy??的左、右焦點分別為 1F 、 2F ，過 1F 的直線交橢圓于 B、 D 兩點，過 2F 的直線交橢圓于 A、 C 兩點，且 AC BD? ，垂足為 P. （Ⅰ）設(shè) P 點的坐標為 00( , )xy ，證明： 2202032xy??；（Ⅱ）求四邊形 ABCD 的面積的最 小值。 ○3 2200001 ( , )xy P x yab? ? ?在橢圓內(nèi)。 例 設(shè) P是橢圓 12222 ??byax（ a＞ b＞ 0）上的一點，