【正文】 AD＝ 21(3－ t 2＋3 t)2＝ － t 2＋3 t＋3＝ － (t－ 23)2＋4（0＜ t＜3） ．當(dāng) t＝ 2時(shí)， S 最大＝ 41． ??????????????????? 12 分綜上所述，當(dāng) t＝ 時(shí)，以點(diǎn) P， N， C， D 為頂點(diǎn)的多邊形面積 S 有最大值，最大值為 41． ????????????????????????? 13 分說(shuō)明：（ⅱ）中的關(guān)系式，當(dāng) t＝0 和 t＝3 時(shí)也適合． 1，已知拋物線(xiàn) y＝ ax 2－ 2ax－ 3 與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為 C，過(guò)點(diǎn) A 的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn) D(2， － 3)，且 tan∠ BAD＝1．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）連結(jié) CD，求證： AD⊥ CD；CQBA M NPD圖 1（3）如圖 2， P 是線(xiàn)段 AD 上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 y 軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn) E，求線(xiàn)段 PE長(zhǎng)度的最大值；（4）點(diǎn) Q 是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，在 x 軸上是否存在點(diǎn) F，使以 A， D， F， Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn) F 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）如圖 1，過(guò)點(diǎn) D 作 DH⊥ x 軸于 H，則 OH＝2， DH＝3．∵tan∠ BAD＝1，∴ AH＝ DH＝3，∴ AO＝3 － 2＝1． ?????????? 1 分∴ A(－ 1，0)． ????????????????????????? 2 分把 A(－ 1，0)代入 y＝ ax 2－ 2ax－ 3，得 a＋2 a－ 3＝0．∴ a＝1． ???????????????????????????? 3 分∴拋物線(xiàn)的解析式為 y＝ x 2－ 2x－ 3． ??????????????? 4 分（2）∵ y＝ x 2－ 2x－ 3＝ (x－ 1)2－ 4∴ C(1， － 4)． ????????????????????????? 5 分連結(jié) AC，則 AD 2＝3 2＋3 2＝18， CD 2＝ (2－ 1)2＋ (－ 3＋4 )2＝2， AC 2＝ (1＋1 )2＋4 2＝20．∴ AD 2＋ CD 2＝ AC 2，∴△ ACD 是直角三角形，且∠ ADC＝90176。？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) P 的坐標(biāo)．解：（1）∵點(diǎn) D 是 OA 的中點(diǎn)，∴OD＝2，∴OD＝OC．又∵OP 是∠COD 的角平分線(xiàn)，∴∠POC＝∠POD＝45176。BC＝ 53＝15 ?????????????????????????? 14 分：拋物線(xiàn) y＝ x 2－ 2x＋ a（ a ＜0）與 y 軸相交于點(diǎn) A，頂點(diǎn)為 M．直線(xiàn) y＝ 21x－ a分別與 x 軸， y 軸相交于 B， C 兩點(diǎn)，并且與直線(xiàn) AM 相交于點(diǎn) N．（1）填空：試用含 a 的代數(shù)式分別表示點(diǎn) M 與 N 的坐標(biāo)，則 M（ ， ） ， N（ ， ） ；（2）如圖，將△ NAC 沿 y軸翻折，若點(diǎn) N 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) N ′ 恰好落在拋物線(xiàn)上， AN ′ 與 x軸交于點(diǎn) D，連結(jié) CD，求 a 的值和四邊形 ADCN 的面積；（3）在拋物線(xiàn) y＝ x 2－ 2x＋ a（ a ＜0）上是否存在一點(diǎn) P，使得以 P， A， C， N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．解：（1） M(1， a－ 1)， N( 34a， － 1a)． ???????????????????? 4 分（2）∵點(diǎn) N ′ 是△ NAC 沿 y軸翻折后點(diǎn) N 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N ′CNxOAMByDCNxOAMBy備用圖∴點(diǎn) N ′ 與點(diǎn) N 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，∴ N ′ (－ 34a， － 1a)．將 N ′ (－ 34a， － 1a)代入 y＝ x 2－ 2x＋ a，得 － a＝(－ 34a)2－ 2(－ 34a)＋ a整理得 4a 2＋9 a＝0，解得 a1＝0（不合題意，舍去） ， a2＝ － 49． ??? 6 分∴ N ′ (3， 3)，∴點(diǎn) N 到 y軸的距離為 3．∵ a＝ － 4，拋物線(xiàn) y＝ x 2－ 2x＋ a 與 y 軸相交于點(diǎn) A，∴ A(0， － 49)．∴直線(xiàn) AN ′ 的解析式為 y＝ x － 49，將 y＝ 0 代入，得 x ＝ ．∴ D( 49，0)，∴點(diǎn) D 到 軸的距離為 ．∴ S 四邊形 ADCN ＝ S△ ACN ＋ S△ ACN ＝ 21 93＋ 21 9 4＝ 168????? 8 分（3）如圖，當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸的左側(cè)時(shí)，若四邊形 ACPN 是平行四邊形，則 PN 平行且等于 AC．∴將點(diǎn) N 向上平移 － 2a 個(gè)單位可得到點(diǎn) P，其坐標(biāo)為( 34a， － 7a)，代入拋物線(xiàn)的解析式，得： － 37a＝( 4a)2－ 2 3a＋ a，整理得 8a 2＋3 a＝0．解得 a1＝0（不合題意，舍去） ， a2＝ － 8．∴ P(－ 2， 87)????????????????????????? 10 分當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸的右側(cè)時(shí)，若四邊形 APCN 是平行四邊形，則 AC 與 PN 互相平分．∴ OA＝ OC， OP＝ ON，點(diǎn) P 與點(diǎn) N 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．∴ P(－ 34a， 1a)，代入 y＝ x 2－ 2x＋ a，得1a＝(－ a)2－ 2(－ 34a)＋ a，整理得 8a 2＋15 a＝0．解得 a1＝0（不合題意，舍去） ， a2＝ － 15．∴ P( 25， － 8) ????????????????????????? 12 分∴存在這樣的點(diǎn) P，使得以 P， A， C， N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn) P的坐標(biāo)為CNxOAMBy備用圖P1P2(－ 21， 87)或( 5， － 8)．，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn) B（4，0） 、 C（8，0） 、D（8，8） ．拋物線(xiàn) y＝ ax 2＋ bx 過(guò) A、 C 兩點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn) A 的坐標(biāo)，并求出拋物線(xiàn)的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿線(xiàn)段 AB 向終點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿線(xiàn)段 CD向終點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒．過(guò)點(diǎn) P 作 PE⊥ AB交 AC 于點(diǎn) E．① 過(guò)點(diǎn) E 作 EF⊥ AD 于點(diǎn) F，交拋物線(xiàn)于點(diǎn) G．當(dāng) t 為何值時(shí)，線(xiàn)段 EG 最長(zhǎng)？② 連接 EQ，在點(diǎn) P、 Q 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得△ CEQ 是等腰三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的 t 值．解：（1）點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（4，8） ． ??????????????????????? 1 分將 A（4，8） 、 C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入 y＝ ax 2＋ bx，得 ???61＝＋ ＝＋ ba 解得 a＝ － 21， b＝4．∴拋物線(xiàn)的解析式為 y＝ － x 2＋4 x． ??????????????? 3 分（2）①在 Rt△ APE 和 Rt△ ABC 中，tan∠ PAE＝ APE＝ BC，即 APE＝ 84＝ 21．∴ PE＝ 21AP＝ t， PB＝8 － t．∴點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（4＋ 21t，8 － t） ．2∴點(diǎn) G 的縱坐標(biāo)為 － (4＋ t)2＋4 (4＋ 1t)＝ － 8t 2＋8． ????? 5 分∴ EG＝ － 81t 2＋8 －( 8－ t)＝ － t 2＋ t∵ － ＜0，∴當(dāng) ＝4 時(shí)，線(xiàn)段 EG 最長(zhǎng)為 2． ???????????? 7 分②共有三個(gè)時(shí)刻． ???????????????????????? 8 分t1＝ 36， t2＝ 1， t3＝40 － 516． ??????????????? 11 分，拋物線(xiàn) y＝－ x 2＋2 x＋3 與 x 軸相交于 A、 B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)） ，與 y 軸相交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 D．（1）直接寫(xiě)出 A、 B、 C 三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；（2）連結(jié) BC，與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn) E，點(diǎn) P 為線(xiàn)段 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作yxOA DB CEFPGQPF∥ DE 交拋物線(xiàn)于點(diǎn) F，設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m．①用含 m 的代數(shù)式表示線(xiàn)段 PF 的長(zhǎng)，并求出當(dāng) m 為何值時(shí)，四邊形 PEDF 為平行四邊形？②設(shè)△ BCF 的面積為 S，求 S 與 m 的函數(shù)關(guān)系式．解：（1） A（ － 1，0） ， B（3，0） ， C（0，3） ． ????????????????? 2 分拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是： x＝1． ???????????????????? 3 分（2）①設(shè)直線(xiàn) BC 的解析式為： y＝ kx＋ b．將 B（3，0） ， C（0，3）分別代入得：???＝ ＝＋bk 解得 ???1＝ －＝bk∴直線(xiàn) BC 的解析式為 y＝ － x＋3．當(dāng) x＝1 時(shí)， y＝ － 1＋3＝2，∴ E（1，2） ．當(dāng) x＝ m 時(shí)， y＝ － m＋3，∴ P（ m， － m＋3） ． ???????????? 4 分將 x＝1 代入 y＝－ x 2＋2 x＋3，得 y＝ 4，∴ D（1，4） ．將 x＝ m 代入 y＝－ x 2＋2 x＋3，得 y＝－ m 2＋2 m＋3．∴ F（ m， － m 2＋2 m＋3） ． ????????????????????? 5 分∴線(xiàn)段 DE＝4 － 2＝2，線(xiàn)段 PF＝ － m 2＋2 m＋3 － (－ m＋3)＝ － m 2＋3 m ??? 6 分∵ PF∥ DE，∴當(dāng) PF＝ DE 時(shí)，四邊形 PEDF 為平行四邊形．由 － m 2＋3 m＝2，解得： m1＝2， m2＝1（不合題意，舍去） ．∴當(dāng) m＝2 時(shí)，四邊形 PEDF 為平行四邊形． ????????????? 7 分②設(shè)直線(xiàn) PF 與 x 軸交于點(diǎn) M．由 B（3，0） ， O（0，0） ，可得： OB＝ OM＋ MB＝3．則 S＝ S△ BPF ＋ S△ CPF ??????????????????????? 8分＝ 21PFB ′ G＝ t 5t＝ 4t 2 ??????? 7 分y x12???xyOABCDEyxOAFB′y＝ － x＋12A′C′D′圖 1G②當(dāng)點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)到 x 軸上時(shí)∵Rt△ BCC ′ ∽R(shí)t△∠ AOB，∴ BC?＝ OA．∴ CC ′ ＝ OAB∴ AE＝1．（注：也可通過(guò) Rt△ AOE∽R(shí)t△ AND 求出 AE＝1）∵四邊形 DEOP 為矩形，∴ OP＝ DE＝6 － 1＝5．D CMyOABQPxD CMyOABQF NE P x∴ t＝5（ s） ??????????????????????????? 6 分③當(dāng) PD＝ OA 時(shí)，四邊形 DAOP 為等腰梯形，此時(shí) OP＝ AD－ 2AE＝6 － 2＝4．∴ t＝4（ s）綜上所述，當(dāng) t＝6 s、5 s、4 s 時(shí)，四邊形 DAOP 分別為平行四邊形、直角梯形、等腰梯形．?????????????????????????? 7 分（3）∵∠ DAO＝60176。此時(shí) 1233()44y?????∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 13()24?， ，已知與 x軸交于點(diǎn) (10)A， 和 (5)B， 的拋物線(xiàn) 1l的頂點(diǎn)為 (34)C， ，拋物線(xiàn) 2l與1l關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)為 C?．（1）求拋物線(xiàn) 2l的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知原點(diǎn) O，定點(diǎn) (04)D， ， 2l上的點(diǎn) P與 1l上的點(diǎn) ?始終關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以點(diǎn) ?， ， ， 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？（3）在 2l上是否存在點(diǎn) M，使 AB△ 是以 為斜邊且一個(gè)角為 30?的直角三角形？若存，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由題意知點(diǎn) C?的坐標(biāo)為 (34)?， ．設(shè) 2l的函數(shù)關(guān)系式為 2yax?．又 ?點(diǎn) (0)A， 在拋物線(xiàn) ()上，2134a??，解得 1．拋物線(xiàn) 2l的函數(shù)關(guān)系式為 2(3)4yx??（或 265yx???） ．（2） P與 ?始終關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)， ?與 y軸平行．設(shè)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 m，則其縱坐標(biāo)為 265m??，4OD??， 2654????，即 2??．當(dāng) 265時(shí)，解得 3?．當(dāng) 2m時(shí)，解得 2m．當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到 (36)?， 或 ()?， 或 (2)?， 或 (32)??， 時(shí)，OD? ∥，以點(diǎn) P?， ， ， 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）滿(mǎn)足條件的點(diǎn) M不存在．理由如下：若存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn) M在 2l上，則43112345 54321AEBC?O2l1lxy5?4321?123D5 54321ACEMBC?O2l1lxy90AMB???， 30A???（或 30ABM???） ，1422??．過(guò)點(diǎn) 作 E?于點(diǎn) ，可得 E?．1B??， 3， 4O?．點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (4)?， ．但是，當(dāng) x時(shí)， 265123y?????．?不存在這樣的點(diǎn) 構(gòu)成滿(mǎn)足條件的直角三角形．，拋物線(xiàn) y＝－ x 2＋ bx＋ c 與 x 軸交于 A(1，0 )， B(－ 3，0 )兩點(diǎn)．（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線(xiàn)交 y 軸于 C 點(diǎn)，在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn) Q，使得△QAC 的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（1）中的拋物線(xiàn)上的第二象