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2025-01-11 23:14 本頁(yè)面
【正文】 11解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線(xiàn)C的方程為．（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿(mǎn)足消去y并整理得，故．若，即．而，于是，化簡(jiǎn)得，所以．：（I）依題意，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)上……2分 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離等于4, 所以圓心的軌跡是………………….5分（II） …………….6分， ， ………8分拋物線(xiàn)方程為 所以過(guò)拋物線(xiàn)上A、B兩點(diǎn)的切線(xiàn)斜率分別是， ，所以，13.（Ⅰ）解法一：依題意，設(shè)橢圓的方程為（），由已知半焦距，∴． ① ……2分∵點(diǎn)在橢圓上，則． ② ……4分由①、②解得，．∴橢圓的方程為． ……6分解法二：依題意，設(shè)橢圓的方程為（），∵點(diǎn)在橢圓上，∴，即． ……3分由已知半焦距，∴． ……5分∴橢圓的方程為． ……6分（Ⅱ）設(shè)，由，得，即． ③ ……8分∵點(diǎn)在曲線(xiàn)上， ∴． ④由③得，代入④，并整理得． ⑤ ……10分由④知， ⑥ ……12分結(jié)合⑤、⑥，解得：．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為． ……14分：（I）由題意得所求的橢圓方程為， （II）不妨設(shè)則 拋物線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為，直線(xiàn)MN：，代入橢圓得：，即，因線(xiàn)段MN的中點(diǎn)與線(xiàn)段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等則：或或；當(dāng)時(shí)，不成立；因此，當(dāng)時(shí)，得，代入成立，因此的最小值為1．15．（共13分）（Ⅰ）解：由已知，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等． 由拋物線(xiàn)定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．所以曲線(xiàn)的方程為． ………………3分（Ⅱ）證明：設(shè)，．由得． 所以，． 設(shè)，則． 因?yàn)檩S， 所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為． 由，可得 所以當(dāng)時(shí)，． 所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，與直線(xiàn)平行．………………8分（Ⅲ）解：由已知，． 設(shè)直線(xiàn)的垂線(xiàn)為：． 代入，可得 （*） 若存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，又在上，所以， ．由方程（*）有兩個(gè)不等實(shí)根所以，即所以，解得或． ………………13分16.（本小題滿(mǎn)分14分）解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為，所以， ……………1分又橢圓的離心率為，即，所以， ………………2分所以，. ………………4分所以，橢圓的方程為. ………………5分（Ⅱ）方法一：不妨設(shè)的方程，則的方程為.由得， ………………6分設(shè)，因?yàn)?，所以? ………………7分同理可得， ………………8分所以， ………………10分， ………………12分設(shè)，則， ………………13分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為. ………………14分方法二：不妨設(shè)直線(xiàn)的方程.由 消去得， ………………6分設(shè)，則有，. ① ………………7分因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)，所以 .由 ，得 . ………………8分將代入上式，得 . 將 ① 代入上式，解得 或（舍）. ………………10分所以（此時(shí)
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