【正文】 (xy)．即BD⊥DC，又∵ BD⊥AD，AD∩DC=D，∴ BD⊥平面ADC．　?。?）如圖答921，要證H是D在平面ABC上的射影，只需證DH⊥平面ABD．連結(jié)HA、HB、HC．∵ H是△ABC的垂心，∴ CH⊥AB．∵ CD⊥DA，CD⊥BD，∴ CD⊥平面ABD，∴ CD⊥AB．∵ CH∩CD=C，∴ AB⊥平面DCH． ∵ DH平面DCH，∴ AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵ AB∩BC=B，∴ DH⊥平面ABC．449. PA、PB、PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角為60176。為a、b的公垂線段，．另有B在直線a上，且BA=2cm，求點(diǎn)B到直線b的距離．解析：如圖答920，過(guò)作，則與b確定平面a ．作于C，在平面a 內(nèi)作CD⊥b于D，連結(jié)BD．∵ ∴ ． ∵ ，∴ ．∵ ，∴ BC⊥a ．∵ CD⊥b，∴ BD⊥b（三垂線定理），即BD為B點(diǎn)到b的距離．∵ ，∴ 為異面直線a與b所成的角，∴ ．∵ ，∴ CD=1．在Rt△BCD中，CD=1，∠BCD=90176。．　?。?）∵ ⊥平面ABCD，∴ 為與平面ABCD所成的角．設(shè)，則，∴ 　　（3）∵ 平面，∴ ∥平面，∴ 與平面所成的角為0176。Sr＝Stan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則3x2＝EG2＝4R2,x＝R.∴V正方體＝(lcosθtan)3.428. 如圖，過(guò)半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA2+PB2+PC2為定值；(2)求三棱錐P—ABC的體積的最大值.解析：先選其中兩條弦PA、PB，設(shè)其確定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長(zhǎng)交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了.解： (1)設(shè)過(guò)PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，∴AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長(zhǎng)交⊙O1于D，則PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2.設(shè)O為球心，則OO1⊥平面⊙O1，∵PC⊥⊙O1平面，∴OO1∥PC，因此過(guò)PC、PD的平面經(jīng)過(guò)球心O，截球得大圓，又PC⊥PD.∴CD是球的直徑.故 PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.(2)設(shè)PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為x、y、z，則三棱錐P—ABC的體積V＝xyz，V2＝x2y2z2≤()3＝小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得∠AOB的弧度數(shù)，進(jìn)而求得線段AB的長(zhǎng)，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B兩地的經(jīng)度差. 解： 設(shè)O1是北緯45176。tan60176。102)+42(3CF＝a.∴FH＝CF＝a.(3)取BE的中點(diǎn)G，連接FG、AG由(1)的結(jié)論，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，∴AF⊥平面BDC.∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂線定理得，AG⊥BE，∴∠FGA為二面角D—BE—A的平面角.FG＝＝a,AF＝a.∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg即二面角A—BE—D的大小為arctg409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直線AABBCC1相交于一點(diǎn)O，求證：(1)AB和A1BBC和B1CAC和A1C1分別在同一平面內(nèi)；(2)如果AB和A1BBC和B1CAC和A1C1分別相交，那么交點(diǎn)在同一直線上(如圖).(1)證明：∵AA1∩BB1＝O,∴AABB1確定平面BAO，∵A、AB、B1都在平面ABO內(nèi)，∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可證，BC和B1CAC和A1C1分別在同一平面內(nèi).(2)分析：欲證兩直線的交點(diǎn)在一條直線上，可根據(jù)公理2，證明這兩條直線分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，那么，它們的交點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上.證明：如圖，設(shè)AB∩A1B1＝P；AC∩A1C1＝R；∴ 面ABC∩面A1B1C1＝PR.∵ BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR,即 P、R、Q在同一直線上.410. 點(diǎn)P、Q、R分別在三棱錐ABCD的三條側(cè)棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝：X、Y、Z三點(diǎn)共線.解析： 證明點(diǎn)共線的基本方法是利用公理2，證明這些點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn).證明 ∵P、Q、R三點(diǎn)不共線，∴P、Q、R三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面α.∵ X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD.∴ ，點(diǎn)Y、Z都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，即點(diǎn)X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交線上.411. 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點(diǎn)為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面.解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個(gè)平面，證明其余的直線在這個(gè)平面里；二是分別確定幾個(gè)平面，然后證明這些平面重合.證明 ∵a∥b,∴過(guò)a、b可以確定一個(gè)平面α.∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.又∵A∈m，B∈m,∴.∵b∥c,∴過(guò)b,c可以確定平面β，同理可證mβ.∵平面α、β都經(jīng)過(guò)相交直線b、m,∴平面α和平面β重合，即直線a、b、c、m、n共面.412. 證明兩兩相交而不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).已知：如圖，直線l1，l2，l3，l4兩兩相交，且不共點(diǎn).求證：直線l1，l2，l3，l4在同一平面內(nèi)解析：，然后證其它直線也在α內(nèi).證明：圖①中，l1∩l2＝P，∴ l1,l2確定平面α.又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α.故 l3α.同理 l4α.∴ l1,l2,l3,l4共面.圖②中，l1,l2,l3,l4的位置關(guān)系，同理可證l1,l2,l3,l4共面.所以結(jié)論成立.413. 證明推論3成立.（如圖）已知：a∥b，求證：經(jīng)過(guò)a,b的平面有且只有一個(gè).證明：(存在性)∵a∥b，由平行線的定義知：a、b共面，所以經(jīng)過(guò)a、b的平面有一個(gè).(唯一性)，在a上取兩點(diǎn)A、B，在b上取一點(diǎn)C.∵a∥b,∴A、B、C三點(diǎn)不共線，由公理3知過(guò)A、B、C三點(diǎn)的平面只有一個(gè)，從而過(guò)a,b兩直線的平面也是惟一的.，它和這個(gè)平面有幾個(gè)公共點(diǎn)?為什么?解析：只有一個(gè)，假設(shè)有兩個(gè)公共點(diǎn)，由公理1知該直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，這和直線過(guò)平面外一點(diǎn)矛盾.，證明：這三條直線在同一平面內(nèi).解答：已知：Aa，如圖，B、C、D∈a，證明：AB、AC、AD共面.證明：∵Aa，∴A，a確定平面α，∵B、C、D∈a，aα.∴B、C、D∈α又A∈α.∴AB、AC、ADα.即AB、AC、AD共面.416. 空間可以確定一個(gè)平面的條件是( ) 解析： 由推論2和推論3知兩條相交直線或者兩條平行直線才確定一個(gè)平面，由推論1知點(diǎn)必在線外才合適，D中三個(gè)點(diǎn)不一定不共線，知選C.417. 下列命題正確的是( )，則兩個(gè)平面一定是重合平面、β有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線解析：根據(jù)公理公理3知選D.418. 已知四點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線，則可以確定( ) 解析： 因?yàn)闊o(wú)三點(diǎn)共線，所以任意三個(gè)點(diǎn)都可以確定平面α，若第四個(gè)點(diǎn)也在α內(nèi)，四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)點(diǎn)在α外，.419. 已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個(gè)球的半徑是( ) 解析： 如圖，設(shè)球的半徑是r，則πBD2＝5π，πAC2＝8π，∴BD2＝5，AC2＝＝1，設(shè)OA＝x.∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2.解之，得r＝3故選B.420. 在桌面上有三個(gè)球兩兩相切，且半徑都為1，在桌面與三球間放置一個(gè)小球，.解析： 如圖，球O為放置在桌面上與已知三球相切的半徑為r的小球，過(guò)O作O1O2O3平面的垂線，垂足為H，它一定是ΔO1O2O3的中心，連接O1H，O1O，在RtΔO1OH中，O1H＝，OH＝1r,OO1＝1+r,∴OO12＝O1H2+OH2，即(1+r)2＝()2+(1r)2，解得r＝.421. 地球半徑為R，在北緯45176。角.407. 如圖，在三棱柱ABC—A′B′C′中，四邊形A′ABB′是菱形，四邊形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.(1)求證：平面CA′B⊥平面A′AB；(2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60176。＝a.在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.∴∠AEP＝arctan，即二面角P—CD—A的大小為arctan.(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.AH為點(diǎn)A到平面PBC的距離.在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.即A到平面PBC的距離為a.說(shuō)明 (1)中輔助線AE的具體位置可以不確定在DC延長(zhǎng)線上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，從而∠PEA為所求，同樣可得結(jié)果，避免過(guò)多的推算.(2)中距離的計(jì)算，在學(xué)習(xí)幾何體之后可用“等體積法”求.406. 如圖，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn).(1)求二面角α—l—β的大??；(2)求證：MN⊥AB；(3)求異面直線PA與MN所成角的大小.解析：(1)連PD，∵ABCD為矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥⊥l，∴PD⊥l.∵P、D∈β，則∠PDA為二面角α—l—β的平面角.∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45176。sin∠AFB.在RtΔAFC中，AC＝AF的角，于是AB＝＝≥.∴當(dāng)θ＝45176。400. 斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三點(diǎn)的距離都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的側(cè)面積。cos∠OAB∴ cos∠A1AO=∴ sin∠A1AO=∴ A1O=A1Asin∠A1AO=∴ ]（4）把線A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A或A1到平面BB1C1C的距離為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影，首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1∵ BC⊥AM，BC⊥A1A∴ BC⊥平面AA1M1M∴ 平面AA1M1M⊥側(cè)面BCC1B1在平行四邊形AA1M1M中過(guò)A1作A1H⊥M1M，H為垂足則A1H⊥側(cè)面BB1C1C∴ 線段A1H長(zhǎng)度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離∴ 398. 平面α內(nèi)有半徑為R的⊙O，過(guò)直徑AB的端點(diǎn)A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一點(diǎn)，∠CAB=6