常微分方程第2章習(xí)題答案-wenkub.com
2025-01-07 04:03 本頁(yè)面
【正文】 （ 4） )(xy??? 。 解：方程兩邊同乘221yx ? ， 則 022 ???? dyyx xdyydx ， 此方程為全微分方程，即 cyyxarctg ?? （ 5）． 0)1(2 223 ??? dyyxdxxy ； 解：方程兩邊同乘21y ， 則 0)1(222 ??? dyyxxydx， 此方程為全微分方程，即 cyxy ?? 21. （ 6）． 0)1( ??? xdydxxyy ； 解：方程兩邊同乘21y ， 則 0)1(2 ??? dyyxdxyxdx ， 此方程為全微分方程，即 cxyx ?? 221. （ 7） 0)(2 223 ??? dyxyxdxy ； 解：方程兩邊同乘yx21， 則 02)2(22 ??? dyydyxydxxy ， 此方程為全微分方程，即 cyxy ??? ln22 （ 8）． 0)cos2( ??? dyyyc tg yedxe xx 解：方程兩邊同乘 ysin ， 則 02s i n)c o ss i n( ??? y d yycy d yey d xe xx ， 此 方 程 為 全 微 分 方 程 ， 即 11c o s c o s 2 si n 224xe y y y y c? ? ?. 2. 證 明方程（ ）有形如 )),(( yx??? ? 的積分因子的充要條件是 )),(( yxfyPPxxQyP????????????，并寫(xiě)出這個(gè)積分因子。然后將結(jié)果應(yīng)用到下列 各種情形，得出存在每一種積分因子的充要條件 : （ 1） )( yx???? 。 （ 5） )( ???? yx? . 證明： ? 若 )),(( yx??? ? 是 0),(),( ?? dyyxQdxyxP 的積分因子 , 則 ??? y yxPyx )),(),((( ?? x yxQyx ?? )),(),((( ??， 即yP?? ?)),(( yx?? Pyyx ??? ??? )),((= xQ?? ?)),(( yx?? Qxyx ??? ??? )),(( （ ? ）以上過(guò)程 可逆，故充分性顯然 . （ 1 ） )( yxfPQ xQyP???????? （ 2 ）)(22 22 yxfyPxQ xQyP??? ????? （ 3 ） )(xyfxPyQ xQyP?? ????? （ 4 ）)(12xyfPxQxyxQyP???????? （ 5） )(11?????? ?? yxfPyxQyxxQyP?? ??????? 3. 證 明 齊 次 方 程 0),(),( ?? dyyxQdxyxP 有 積 分 因 子yQxP?? 1?. 證明：作變換 uxy? ，則由 0),(),( ?? dyyxQdxyxP 是齊次方程，我們有 0),1()],1(),1([))(,(),(1??????? duuQxdxuQuxuPxx d uudxuxxQdxuxxPmmm 方程兩邊同乘)],1(),1([ 11 1 uuQuPxxPyQ m ??? ?，則有 0),1(),1( ),1(1 ??? duuuQuP uQdxx，顯然此方程為全微分方程． 4. 證明定理６及其逆定理：在定理６的假定下，若 1?是微分方程 )( 的另一個(gè)積分因子，則 1? 必可表為 )(1 ??? g? 的形式，其中函數(shù) g 和 ? 的意義與在定理６中相同． 證明：（定理６） 因?yàn)?)),(( yx??? ? 是（ ）的積分因子，且使得： ),(),(),( yxddyyxQdxyxP ??? ?? ， 則 ),( yxPx
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