【正文】 ． 又 ∵∠ 2+∠ 1=90176。39。 ∴ 2 2 22533 5 5k k k? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，整理得 210 12 3 36 0 0kk? ? ?.解得，1224 15,52kk?? （不合題意，舍去） .∴ 24,525D?????? .∴ 滿足條件的點 D 存在， D 的坐標(biāo)為 24,525?????? ． 【考點】 反比例函數(shù)綜合題；單動和軸對稱問題； 曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；平行的判定；相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；方程思 想的應(yīng)用 . 蔡老師數(shù)學(xué) 19 【分析】 （ 1） 設(shè) 3,3kE?????? ， 則 OA=3， AE=3k ． ∵ △EOA 的面積為 2， ∴ 1 3 2 423k k? ? ? ? ?. （ 2） 設(shè) ? ? ? ?, 5 , 3,D a E b ， 由 ? ? ? ?, 5 , 3,D a E b 在 ky x? 上，得到 , 5 , 3,53kkDE? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ，從而求得 BC BDAB BE? ，即 BC ABBD BE? ，進而證得 DE∥ AC． （ 3） 設(shè) , 5 , 3,53kkDE? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ，作輔助線“過點 E 作 EF⊥ OC，垂足為 F”，由 △B39。178。 5 53 3 3k k kC B O C B F O F O C B F A E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 在 Rt△B39。33 55kBFkk???.∴ 39。 ∴ 39。 ∵∠ AEB+∠ BAE=90176。.在 Rt△AMD 中， ∵ ∠ MDA=45176。 ∴∠ DHE=90176。 ∠ ABO=∠ PBM， ∴△ PBM∽△ ABO. ∴ PB PMAB AO?，即： 4354PM? ?， 解得 285PM?. 3. 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 和四邊形 AEFG 都為正方形， ∴ AD=AB， ∠ DAG=∠ BAE=90176。 . ① 由圖可知， 45BPQ? ? ? 不合題意 . ② 若 45PBQ? ? ? ， 如答圖 3，過點 B 作 x 軸的平行線與 y 軸和拋物線 分別交于點 FQ、 ，此時， 45PBQ? ? ? . 根據(jù)拋物線的軸對稱性質(zhì)，知 45PQB? ? ? ， ∴ BPQ? 是等腰直角三角形 . ∵ PAT? 與 BPQ? 相似，且 45APT? ? ? ， ∴ PAT? 也是等腰直角三角形 . i）若 90PAT? ? ? ， 聯(lián)立 22yxyx? ?? ???，解得 11xy???? ??或 24xy?????. ∴ ? ?1, 1A? . ∴ ? ? ? ?221 2 1 2AP ? ? ? ? ?.∴ 2PT? ，此時， 0t? . ii）若 90PTA? ? ? ， 1PT AT??，此時， 1t? . ③ 若 45PQB? ? ? ， ② 是情況之一，答案同上 . 如答圖 4， 5，過點 B 作 x 軸的平行線與 y 軸和拋物線分別交于點 1FQ、 ，以點 F 為圓 心， FB 為蔡老師數(shù)學(xué) 12 半徑畫圓，則 1PBQ、 、 都在 Fe 上，設(shè) Fe 與 y 軸左側(cè) 的拋物線交于另一點 2Q . ∵ 根據(jù)圓周角定理， 21 45PQ B PQ B? ? ? ? ?， ∴ 點 2Q 也符合要求 . 設(shè) ? ?? ?22 , 2 0Q n n n? ， 由 2 2FQ? 得 ? ?22 2 242nn???解得 2 3n? 或 2 4n? ， 而 2 0n? ，故 3n?? .∴ ? ?2 3, 3Q ? . 可證 2PFQ? 是等邊三角形， ∴ 2 60PFQ? ? ? . ∴221 302P B Q P F Q? ? ? ? ?. 則在 2PQB? 中， 2230 , 45PBQ PQ B? ? ? ? ? ? . i）若 30PTA? ? ? ， 如答圖 4，過點 A 作 AE y? 軸于點 E ， 則 3 3 , 1E T A E O E? ? ? ， ∴ 3 3 , 1E T A E O E? ? ? . ∴ 31OT??，此時， 13t?? . ii）若 30PAT? ? ? ， 如答圖 5，過點 T 作 TG AB? 軸于點 G ， 設(shè) TG a? ，則 ,3P G T G a A G a? ? ? . ∵ 2AP? ，∴ 32aa??， 231a? ?.∴ 22 3 131P T a? ? ? ??. ∴ ? ?2 3 1 3 3O T O P P T? ? ? ? ? ? ?，此時， 33t?? . 綜上所述， 所有滿足條件的 t 的值 為 0t? 或 1t? 或 13t?? 或 33t?? . 鞏固練習(xí)： 蔡老師數(shù)學(xué) 13 1. 如答圖，連接 CF ，過點 F 作 FG AC? 于點 G ， ∵在 Rt△ABC 中， ∠ ABC=90176。=AB?sin45176。 ∴∠ C′=∠ C′AE=45176。 ∠ DOE=30176。 ， AB=8cm， AD=12cm， BC=18cm，點 P 從點 A 出發(fā)以 2cm/s 的速度沿 A→ D→ C 運動，點 P 從點 A 出發(fā)的同時點 Q 從點 C 出發(fā)，以 1cm/s 速度向點 B 運動，當(dāng)點 P 到達點 C 時，點 Q 也停止運動．設(shè)點 P， Q 運動時間為 t 秒． （ 1）從運動開始，當(dāng) t 取何值時， PQ∥ CD？ （ 2）從運動開始，當(dāng) t 取何值時， △ PQC 為直角三角形？ 蔡老師數(shù)學(xué) 6 8. （ 2022 年 江蘇蘇州 10 分 ） 如圖，在矩形 ABCD 中， AD=acm， AB=bcm（ a＞ b＞ 4），半徑為2cm 的 ⊙ O 在矩形內(nèi)且與 AB、 AD 均相切．現(xiàn)有動點 P 從 A 點出發(fā)，在矩形邊上沿著 A→ B→ C→ D 的方向勻速移動，當(dāng)點 P 到達 D 點時停止移動； ⊙ O 在矩形內(nèi)部沿 AD 向右勻速平移，移動到與 CD 相切時立即沿原路按原速返回，當(dāng) ⊙ O 回到出發(fā)時的位置（即再次與 AB 相切）時停止移動．已知點 P 與 ⊙ O 同時開始移動，同時停止移動（即同時到達各自的終止位置）． （ 1）如圖 ① ，點 P 從 A→ B→ C→ D，全程共移動了 ▲ cm（用含 a、 b 的代數(shù)式表示）； （ 2）如圖 ① ，已知點 P 從 A 點出發(fā)，移動 2s 到達 B 點，繼續(xù)移動 3s，到達 BC 的中點．若點 P與 ⊙ O 的移動速度相等，求在這 5s 時間內(nèi)圓心 O 移動的距離； （ 3） ★★ 如圖 ② ，已知 a=20， b=10．是否存在如下情形：當(dāng) ⊙ O 到達 ⊙ O1的位置時（此時圓心O1在矩形對角線 BD 上）， DP 與 ⊙ O1 恰好相切？請說明理由． 蔡老師數(shù)學(xué) 7 回家作業(yè)： 1.（ 2022 鹽城）如圖，在邊長為 2 的正方形 ABCD 中剪去一個邊長為 1 的小正方形 CEFG，動點P 從點 A 出發(fā)，沿 A→ D→ E→ F→ G→ B 的路線繞多邊形的邊勻速運動到點 B 時停止（不含點 A和點 B），則 △ ABP 的面積 S 隨著時間 t 變化的函數(shù)圖象大致是（ ） A． B． C． D． 2.（ 2022 樂山）如圖，已知直線 3 34yx??與 x 軸、 y 軸分別交于 A、 B 兩點， P 是以 C（ 0， 1）為圓心， 1 為半徑的圓上一動點，連結(jié) PA、 PB．則 △ PAB 面積的最大值是（ ） A． 8 B． 12 C． 212 D． 172 （第 2 題） （第 3題） 3.（ 2022 咸寧）如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 2， E 是邊 BC 上的動點， BF⊥ AE 交 CD 于點F，垂足為 G，連結(jié) CG．下列說法： ① AG＞ GE； ② AE=BF； ③ 點 G 運動的路徑長為 π ； ④ CG的最小值為 51? ．其中正確的說法 是 ．（把你認為正確的說法的序號都填上） 4.（ 2022 年 江蘇徐州 8 分） 如圖，在矩形 OABC 中， OA=3， OC=5,分別以 OA、 OC 所在直線為x 軸、 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系， D 是邊 CB 上的一個動點（不與 C、 B 重合），反比例函數(shù)? ?0kykx? 的圖像經(jīng)過點 D 且與邊 BA 交于點 E，連接 DE. （ 1） 連接 OE，若 △EOA 的面積為 2，則 k=