【正文】 據(jù)科學測算，跳水運動員進行 10 米跳臺跳水訓練時， 身體（看成一點）在空中的運動軌跡（如圖所示）是 一經(jīng)過坐標原點的拋物線（圖中標出數(shù)字為已知條件）， 且在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下運動員在空中的最 高點距水面 2103 米，入水處距池邊 4 米，同時運動員在 距水面 5 米或 5 米以上 時，必須完成規(guī)定的翻騰動作， 并調整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤。1,2111 ??????????? ykyk 時當時 即 )41,1()1,(1 ?????? ?y 6 (2022 屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練 )如圖，已知點 F（ 1， 0），直線 1: ??xl 為平面上的動點，過 P 作直線 l 的垂線，垂足為點 Q，若 .FQFPQFQP ??? （ 1）求動點 P 的軌跡 C 的方程； （ 2）過點 M（－ 1， 0）作直線 m 交軌跡 C 于 A， B 兩點。 （Ⅰ）若 P 是第一象限內該橢圓上的一點，且 4521 ??PFPF， 求點 P 的坐標。 2 ,|CD|= 2 (xD－ xC) ∴ ||AB|－ |CD||= 2 |xB－ xA+xD－ xC|= 2 |(xB+xC)－ (xA+xD)| 又∵ xA=－ m,xD=m,∴ xA+xD=0 ∴ ||AB|－ |CD||=|xB+xC|178。 2） OA 與 OB 是平面內的兩個不共線的向量，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量OM ，有且只有一對實數(shù) ,?? 使得等式 OBOAOM ?? ?? 成立。 要使函數(shù) )(xfy? 在 )33,0( 內取到最大值，則只要 ab ＜2233 ab? ＜ 31 設橢圓半焦距為c，于是有222aca ? ＜ 31 2)(ac? ＞ 3632? ＜ e＜ 1 即符合題意的離心率的取值范圍是 )1,36( 。 5 (2022 屆高考數(shù)學快速提升成績題型訓練 )已知點（ x,y）在橢圓 C： 12222 ??byax （ a＞ b＞0）上運動 ⑴求點 ),( xyxy 的軌跡 C′ 方程； ⑵若把軌跡 C′ 的方程表達式記為： y=f(x)，且在 ???????? 33,0 內 y=f(x)有最大值，試求橢圓 C 的離心率的取值范圍。 ⑴求橢圓方程 ,并證明橢圓離心率是與 c 無關的常數(shù)； ⑵設圓與 x 軸交點為 P，過點 P 的直線 l 與圓的另一交點為 Q，直線 l 與橢圓的兩交點為 M、 N，且滿足 PQMN 2? ，求直線 l 的傾斜角。若 3PAB ???，求雙曲線的方程。 0)14)(44(4)8( 222 ?????? kmkm 即 0122 ??? mk 高 中 數(shù) 學 培 優(yōu) 教 程 高考特訓班 75866017 TEL 13626376444 11 則??????????????14441482221221kmxxkkmxx 又 2212122121 )())(( mxxkmxxkmkxmkxyy ??????? ∵以 EF 為直徑的圓過雙曲線 C 的右頂點 D(2,0) ∴ 0??DFDE 即 0),2(),2( 2211 ???? yxyx ∴ 04))(2()1( 221212 ??????? mxxkmxxk ∴ 0414 8)2(14 44)1( 22222 ???????????? mk kmkmkmk 化簡整理得 020223 22 ??? kkmm ∴ kmkm 310,221 ???? ，且均滿足 014 22 ??? mk 當 km 21 ?? 時，直線 l 的方程為 )2( ?? xky ，直線過定點（ 2， 0），與已知矛盾！ 當 km 3102 ??時，直線 l 的方程為 )310( ?? xky ，直線過定點（ 310 ， 0） ∴直線 l 定點，定點坐標為（ 310 ， 0）。 （ 1） 求雙曲線 C 的標準方程； （ 2） 若直線 mkxyl ??: 與雙曲線 C 相交于 E、 F 兩點（ E、 F 不是左右頂點），且以 EF 為直徑的圓過雙曲線 C 的右頂點 D。 （ 1） 求橢圓方程； （ 2） 求橢圓的離心率； （ 3） 若 0??OQOP ，求直線 PQ 的方程。 (解 )（ I）解：由 .),()1( NMtNCtONtOMtOC ????? 得R 知點 C 的軌跡是過 M， N 兩點的直線，故點 C 的軌跡方程是： 高 中 數(shù) 學 培 優(yōu) 教 程 高考特訓班 75866017 TEL 13626376444 3 分故由分即6..0.1616)(4)4)(4(12,16016124)4(44),1(4)3(13222????????OBOAyyxxOBOAxxxxxxyyxxxxxxxxxyxyxyxyBABABABABABABABA???????????????????????????????????????? （ II）解：假設存在 xylPmmP 4),0)(0,( 2 ?? 交拋物線的直線使得過點于 D、 E 兩點，并以線段 DE 為直徑的圓都過原點。 (解 )（ 1）設 ),(),0(),0,( yxPbBaA 分為軌跡方程點即由題意知則分即41)1(4)1(4:4)1()1(42||,0,1)1()(2),(),(,22222222222????????????????????????????????????????????????ttytxCPyttxtbaABtyttbxtaybtytxaxybxtyaxPBtAP （ 2） t=2 時， 116949 22 ?? yxC為 ………… 5 分 高 中 數(shù) 學 培 優(yōu) 教 程 高考特訓班 75866017 TEL 13626376444 2 11212121121211121212121111112121111194998|323||323|2217|323|)0(,.2),(),(yxyxSxyyxxyyxSyxxyhMNQxxxyyMNyxMNyxNyxMQ M NQ M N?????????????????????????????????分分距離為到點的方程為設直線則則設 分的最大值為等號成立時即當且僅當分而又1222,21,4323114949432321694919444991169491111121111212111221212121????????Q M NQ M NSyxyxyxyxyxyxyxSyxyx????????????????????????? 4 (棗莊市 高 中 數(shù) 學 培 優(yōu) 教 程 高考特訓班 75866017 TEL 13626376444 1 2022 屆全國百套名校高三數(shù)學模擬試題分類匯編 09 圓錐曲線 三、解答題 (第二部分 ) 4 (煙臺 理科 )在平面直角坐標系中， O 為坐標原點，已知兩點 M（ 1， — 3）、 N（ 5， 1），若動點 C 滿足 xyCtONtOMtOC 4),()1( 2 ????? 的軌跡與拋物線且點R交于 A、 B 兩點。設 ).,(),( 2211 yxEyxD 由題意，直線 l 的斜率不為零， 所以，可設直線 l 的方程為 .mkyx ?? 代入 .044,4 22 ???? mkyyxy 得 ………… 7 分 .)(,4,8.)())((,4,4,).(0,0)(162212122212122121212122式滿足解得又則分同時即則判別式????????????????????????????mmmmyyxxOEODmmyykmyykmkymkyxxmyykyymkmk???? 此時，以 DE 為直徑的圓都過原點。 解：（ 1）由已知得 22 , 2 ( )ab c cc? ? ?，解得： 224, 6ca??……………………2 分 所求橢圓方程為 22162xy??………………………………………………4 分 高 中 數(shù) 學 培 優(yōu) 教 程 高考特訓班 75866017 TEL 13626376444 6 （ 2）因 6, 2ac??，得 2636ce a? ? ?……………………………………7 分 （ 3）因點 2( ,0)aA c 即 A（ 3， 0），設直線 PQ 方程為 ( 3)y k x??………………8 分 則由方程組22( 3)2 6 12y k xxy???? ??? ，消去 y 得： 2 2 2 2(1 3 ) 18 27 6 0k x k x k? ? ? ? ? 設點 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y則 221 2 1 21 8 2 7 6,1 3 1 3kkx x x x ?? ? ???……………………10 分 因 0OPOQ? ，得 1 2 1 2 0x x y y??， 又 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( 3 ) ( 3 ) 3 ( ) 9y y k x x k x x k x x k? ? ? ? ? ? ?，代入上式得 2 2 21 2 1 2(1 ) 3 ( ) 9 0k x x k x x k? ? ? ? ?，故 2 2 2 2 222(1 ) ( 2 7 6 ) 3 1 8 901 3 1 3k k k k kkk?? ? ? ??? 解得 ： 2 15,55kk? ? ? ，所求直線 PQ 方程為 5 ( 3)5yx?? ? ……………………14 分 4 (重慶奉節(jié)長龍中學 2022 年高考數(shù)學預測卷 二 )P 是以 12FF、 為焦點的雙曲線 C：221xyab??（ a＞ 0， b＞ 0）上的一點，已知 12PF PF? =0， 12| | 2| |PF PF? ． （ 1）試求雙曲線的離心率 e ； （ 2）過點 P 作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于 P P2 兩點，當12 274OP OP? ? ?，122PP PP? = 0，求雙曲線的方程． 解（ 1） ∵ 12| | 2| |PF PF? ， 12| | | | 2PF PF a??， ∴ 1| | 4PF a? ， 2| | 2PF a? ． ∵ 12PFPF =0， ∴ (4a)2+(2a)2=(2c)2， ∴ 5cea??． ……………………4 分 （ 2）由（ 1）知，雙曲線的方程可設為 2214xyaa??，漸近線方程為 2yx?? ． …5 分 設 P1(x1， 2x1)， P2(x2， 2x2)， P(x， y)． ∵1 2 1 2 273 4OP OP x x? ? ? ?， ∴1294xx?