[其它]清華大學(xué)微積分課件-wenkub.com
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【正文】 ],[)1()(,babaxf211)( a r c t a n)(xxxf?????[證 ] 2021/11/10 40 )()(11a rc t a na rc t a n2 baabab ??????? ??有理于是由拉格朗日中值定 ,222 111 aababbab?????????因?yàn)樗杂?2 1a r c t a na r c t a n1 aababbab???????2021/11/10 41 .)(,)(,)(lim,)()(6lafaxflxfaaUaxfax?????且可導(dǎo)在點(diǎn)則函數(shù)且外可導(dǎo)除點(diǎn)連續(xù)的鄰域在點(diǎn)若函數(shù)例使得點(diǎn)之間至少存在一與則在定理?xiàng)l件上滿足拉格朗日中值或在函數(shù)顯然且,],[],[)(,.),(cxaaxxaxfaxaUx ???)()()(cfaxafxf ????[證 ] 2021/11/10 42 從而有時(shí)因?yàn)楫?dāng) ., acax ??)(lim)(lim)()(lim cfcfax afxfacaxax?????????即有由已知條件 ,)(lim, lcfac ???lcfax afxfacax???????)(lim)()(lim.)(,)(,lafaxf??且可導(dǎo)在點(diǎn)函數(shù)由導(dǎo)數(shù)定義知2021/11/10 43 ][注意)()(lim,)(,)(lim,)(,000000xfxfxxfxfxxxxfxxxx???????且必可導(dǎo)在則函數(shù)存在且處可導(dǎo)在連續(xù)附近在點(diǎn)只要此例說(shuō)明.,。 知識(shí)擴(kuò)張所遵循的規(guī)律之一就是將欲探 索的 新問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為已掌握的 老問(wèn)題 。 2021/11/10 4 第八講 微分中值定理 一、費(fèi)爾馬 ( Fermat )定理 二、羅爾 ( Rolle )定理 三、拉格朗日 (Lagrange )定理 四、柯西 (Cauchy )定理 2021/11/10 5 ).()())()(()()(),(.)()(0000000或極小值點(diǎn)的極大值點(diǎn)為并稱或極小值取得極大值在則稱函數(shù)或有若定義有的某鄰域在點(diǎn)設(shè)函數(shù)fxxfxfxfxfxfxNxxNxxf????一、費(fèi)爾馬 ( Fermat )定理 （一）極值的定義： 2021/11/10 6 0x 1xxyo)( xfy ?極大值)( 0xf極小值)( 1xf)( 極大值點(diǎn) )( 極小值點(diǎn)極值的研究是微積分產(chǎn)生的主要?jiǎng)恿χ? 2021/11/10 7 0)(,)(,)(000?? xfxxfxxf則必有可導(dǎo)在點(diǎn)并且取得極值在點(diǎn)設(shè)函數(shù)（二）費(fèi)爾馬定理 (極值必要條件 ) ..0)(]2[00駐點(diǎn)這種點(diǎn)稱為的一個(gè)極值點(diǎn)函數(shù)不一定是的點(diǎn)滿足注意fxxf ??.0)(]1[ 0必要條件是可導(dǎo)函數(shù)取得極值的注意 ?? xf2021/11/10 8 xyo3xy ?0)0(3 2????yxy不是極值點(diǎn)0?x駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)！2021/11/10 9 [證 ] )0)(0)(:( 00 ???? xfxf 且只須證明.)( 0 處取得極大值在點(diǎn)不妨設(shè) xxf)()( 0xfxf ?有內(nèi)的鄰域在點(diǎn)即 ,),( 000 ?? ?? xxx000 )()()(xxxfxfxxf?????考察0)()(000 ?????xxxfxfxx0)()(000 ?????xxxfxfxx2021/11/10 10 并且有都存在和所以存在因?yàn)?)()(,)( 000 xfxfxf ?? ???0)()(lim)()(00000?????????? xxxfxfxfxfxx0)()(lim)()(00000????
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