【正文】 ? ? ? ?1 , 2 si n 2P x Q x x xx? ? ? ? ?? ?? ?? ?11l n l n 2 si n 2 2 si n 21 2 si n 2 c os 2P x d x P x d xd x d xxxxxy e Q x e d x ce x x e d x ce x x e d x cx x x d x cxx x c???????? ? ???????????????????????? ? ?????? ? ?????通 解 即通解為 ? ?cos 2y x x c? ? ?. 四、證明題（本題 4 分） 證明等式 ?? ???? aa a xxfxfxxf 0 )]()([)( dd。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。 (1 21 =27 623lim 222 ????? xxxxx 解： 5131lim)2)(3x( )1)(2(lim22 ?????? ???? xxxxxxx xxy 12e? ，求 y? 解： ex xy12 ?? ( ey x11? ) , ey u?1 , xu 1? , xexeey xuu x 21211 )1()1()( ?????????) eexexeexexx1x12x12x1x12x122)(2)()(y??????????????xx xx d)12( 10? ? 解： dxx? ? )12( 10 u=2x1 ,d? =2 du=2dx ∴cdududxuuux?????????? ?1121212111101010)12( cx ?? ? ）（ 12 1121 ?10 de xx x 解： dxx ex? ?10 u=x , exv?? , exv? 1)1(101010 |???? ??? ?? ee dxxdxx eeexxx 四、應(yīng)用題（本題 16分） 用鋼板焊接一個(gè)容積為 4 3m 的底為正方形的無(wú)蓋水箱，已知鋼板每平方米 10元，焊接費(fèi) 40元，問(wèn)水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？ 解：設(shè)水箱的底邊長(zhǎng)為 x，高為 h,表面積為 s，且有h=x24 所以 S(x)=x2+4xh=x2+x16? xxS 2162 ??? 令 S? （ x） =0，得 x=2 因?yàn)楸締?wèn)題存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以x=2， h=1時(shí)水箱的表面積最小。（ 2） = 2 ( a1 )=2aa2128 y′ =0 得 2a=a2128 ∴ a3=64 ∴ a=4 ∴底面邊長(zhǎng)為 4， h=1632 =2 設(shè)矩形的周長(zhǎng)為 120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。 (x1)′ =2+648 2du= ? udusin2 =2(cos)+c = 2cos c?x ⒋計(jì)算定積分 xx xde210? u=x， v′ =ex,v= ex ∴ ?10uv′ dx=uv xvdu 1010| ?? 1)( 01010101010|||??????????? ??eeeeeeeexdxxdxxxxxxx ∴原式 =2 9152lim 223 ???? x xxx 34353lim)3)(3( )3)(5(3lim ??????? ??? xxxxx xxx xxxy cosln?? ，求 yd 解： xxxy xx c oslnc osln 2321 ????? y1=lncosx y1=lnu1,u=cosx ∴xxxuxuyc o ss in)s in(1)(c o s)(ln11????????? y1=xxx cossin23 21 ? ∴ dy=( xxx cossin23 21 ? )dx xx d)21( 9? ? 解： dxx? ? )21( 9 令 u=12x , u′ = 2 ∴ dudxxdu 212 ????? ccduduxuuu???????????????20212121)21()21( 101099? xx xde10? ? 解： u=x, ee xx vv ? ?? ??? ， )()(101101010 |xddxxdxxeeeeexxxx????????????????? = 1)11(1|101 ????? ?? eeee x 45 86lim224 ????? xxxxx 3212l im)4)(1( )4)(2(l im 44 ?????? ?? ?? xxxx xx xx xy x 3sin2 ?? ，求 yd y1=sin3x y1=sinu , u=3x , xy 3c os3x3s inu1 ?????? ）（）（ ∴ y′ =2xln2+3cos3x ∴ dy=(2xln2+3cos3x)dx xxx dcos? ? xdxxcos u=x , v′ =cosx , v=sinx ?? ???????cxxxx d xxxx d xx)c o s(s i ns i ns i nc o s xx xdln51e1? ? ?????????eeeedxxxdxxxxdxxxdxx11e111ln51ln5lnln1|令 u=lnx, u′ =x1 , du=x1 dx , 1? x? e 0? lnx? 1 ∴ 2121ln |102101 ??? ?? uududxx xe ∴原式 =1+5 (2x)′ =eu（ 2） = 2 21 =27 623lim222 ????? xxxxx 解：5131lim)2)(3x( )1)(2(lim 22 ?????? ?? ?? xxxxx xx xxy 12e? ，求 y? 解： ex xy 12 ?? ( ey x11?) , ey u?1 , xu 1? , xexeey xuu x 21211 )1()1()( ????????? ) eexexeexexx1x12x12x1x12x122)(2)()(y??????????????xx xx d)12( 10? ? 解： dxx? ? )12( 10 u=2x1 ,d? =2 du=2dx ∴cdududxuuux?????????? ?1121212111101010)12( cx ?? ? ）（ 12 1121 ?10 de xx x 解： dxx ex? ?10 u=x , exv?? , exv? 1)1(101010 |???? ??? ?? ee dxxdxx eeexxx 四、應(yīng)用題（本題 16分 ） 用鋼板焊接一個(gè)容積為 4 3m 的底為正方形的無(wú)蓋水箱，已知鋼板每平方米 10元，焊接費(fèi) 40元，問(wèn)水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？ 解：設(shè)水箱的底邊長(zhǎng)為 x，高為 h,表面積為 s，且有h=x24 所以 S(x)=x2+4xh=x2+x16? xxS 2162 ??? 令 S? （ x） =0，得 x=2 因?yàn)楸締?wèn)題存在 最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以 x=2，h=1時(shí)水箱的表面積最小。 (1試求矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。 e2x ∴ y′ = 2e2x+ x2123 ∴ dy=(2 此時(shí)的費(fèi)用為 S（ 2） 10+40=160元 欲用圍墻圍成面積為 216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問(wèn)這塊土地的長(zhǎng)和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 設(shè)長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為 x，∵ S=216 ∴另一邊長(zhǎng)為 216/x ∴總材料 y=2x+3 ) =2 x2648 y′ =0得 2 = x2648 ∴ x2=324 ∴ x=18 ∴一邊長(zhǎng)為 18，一邊長(zhǎng)為 12時(shí)，用料最省 . 欲做一個(gè)底為正方形，容積為 32立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最??？ 設(shè)底邊長(zhǎng)為 a ∴底面積為 a2 a2h=v=32 ∴ h=a232 ∴表面積為 a2+4ah= a2+4a 解：設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為 x ，另一邊為 60x 以 AD為軸轉(zhuǎn)一周得圓柱，底面半徑 x，高 60x ∴ V= xxx x 322 60)60( ??? ???? xx xxv 22 31 2 03602 ???? ?????? 0??v 得： 403120 2 ??? xx x?? ∴矩形一邊長(zhǎng)為 40 ，另一邊長(zhǎng)為 20時(shí)， Vmax 作業(yè)（一） ———— 函數(shù)，極限和連續(xù) 一、填空題 （每小題 2 分，共 20 分 ） )2ln(1)( ?? xxf的定義域是 ． 答案：),3()3,2[ ??? 2． 函數(shù)xxf ?? 51)(的定義域是 ． 答案：)5,(?? 3. 函數(shù) 24)2l n(1)( xxxf ???? 的定義域是 ． 答案： ]2,1()1,2( ??? ? 72)1( 2 ???? xxxf ，則 ?)(xf ． 答案：62?x 5．函數(shù)??? ???? 0e 02)( 2 xxxxf x，則 ?)0(f ． 答案： 2 6．函數(shù) xxxf 2)1( 2 ??? ，則 ?)(xf ． 答案： 12?x 7．函數(shù) 1 322 ? ??? x xxy 的 間斷點(diǎn)是 ． 答案： 1??x 8. ??? xxx1sinlim ． 答案： 1 9．若 2sin 4sinlim0 ?? kxxx，則 ?k ． 答案： 2 10．若 23sinlim0 ?? kxxx，則 ?k ． 答案： ； 二、單項(xiàng)選擇題（每小題 2 分，共 24 分） 1．設(shè)函數(shù) 2 ee xxy ?? ? ，則該函數(shù)是（ ）．答案： B A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù) 2．設(shè)函數(shù) xxy sin2? ，則該函數(shù)是（ ）．答案： A A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù) 3．函數(shù) 2 22)( xxxxf ??? 的圖形是關(guān)于（ ）對(duì)稱．答案：D A． xy? B． x 軸 C． y 軸 D．坐 標(biāo)原點(diǎn) 4．下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（ C ）． A． xxsin B ． xln C ． )1ln( 2xx ?? D． 2xx? 5．函數(shù) )5ln(41 ???? xxy的定義域?yàn)椋? ）．答案 ： D A ． 5??x B ． 4??x C ． 5??x 且 0?x D． 5??x 且 4??x 6．函數(shù))1ln( 1)( ?? xxf的定義域是（ ）．答案： D A． ),1( ?? B． ),1()1,0( ??? C． ),2()2,0( ??? D． ),2()2,1( ??? 7．設(shè) 1)1( 2 ??? xxf ，則 ?)(xf （ ）答案： C A ． )1( ?xx B ． 2x C ． )2( ?xx D． )1)(2( ?? xx 8．下列各函數(shù)對(duì)中，（ ）中的兩個(gè)函數(shù)相等．答案： D A． 2)()( xxf ? ， xxg ?)( B． 2)( xxf ? ，x